Estimasi parameter (penaksiran parameter) adalah pendugaan karakteristik populasi (parameter) dengan menggunakan karakteristik sampel (statistik).
Populasi biasanya memiliki ukuran yang sangat banyak, sehingga untuk mengetahui karakteristiknya melalui sensus sangat sulit dilakukan. Sensus sangat tidak ekonomis dari segi waktu, tenaga dan biaya.
Oleh karena itu, kita dapat melakukan pendugaan dengan melakukan survei terhadap sampel yang diambil secara acak dari populasi tersebut yang selanjutnya hasil karakteristik sampel dari survei tersebut kita gunakan untuk menduga karakteristik populasi. Sampel yang digunakan dalam survei adalah sampel yang benar-benar mewakili populasi.
Parameter populasi disebut juga dengan nilai sebenarnya (true value) dan biasanya dilambangkan dengan \(\theta\) (dibaca: theta). Parameter \(\theta\) dapat berupa rata-rata populasi \((\mu),\) varian populasi \((\sigma^2)\) atau proporsi populasi \((p).\)
Sedangkan statistik sampel disebut juga dengan nilai estimasi (estimate value) dan dilambangkan dengan \(\hat{\theta}\) (dibaca: theta hat atau estimator theta). Statistik \(\hat{\theta}\) dapat berupa rata-rata sampel \((\bar{x}),\) varian sampel \((s^2)\) atau proporsi sampel \((\hat{p}).\)
Dalam statistika, nilai statistik \(\hat{\theta}\) digunakan untuk menduga parameter \(\theta,\) sehingga
Karena sifatnya adalah estimasi atau penaksiran maka nilai dari estimator \(\hat{\theta}\) tentu saja tidak akan sama persis dengan nilai parameter \(\theta.\) Namun kita mengharapkan nilai estimator \(\hat{\theta}\) mendekati nilai parameter \(\theta.\)
Sifat estimator yang baik adalah tidak bias (unbiased) yang artinya nilai harapan dari estimator sama dengan nilai parameter \((\text{E}(X)=\mu).\) Selain itu estimator yang digunakan sebaiknya adalah estimator yang efisien, maksudnya estimator tersebut memiliki varian yang paling kecil. Estimator yang baik juga harus konsisten, artinya semakin banyak sampel maka estimator akan semakin mendekati parameter.
Estimasi titik adalah penaksiran karakteristik populasi dengan sebuah nilai karakteristik dari sampel. Contoh parameter dan estimasi titiknya:
Estimasi titik lebih mudah dalam hal penghitungan, tetapi penaksirannya sangat diragukan karena sangat jarang nilai karakteristik populasi sama persis dengan nilai karakteristik sampel. Hasil estimasi titik juga tidak memberikan tingkat kepercayaan tertentu.
Estimasi interval adalah penaksiran populasi dengan nilai-nilai dalam suatu interval tertentu. Dasar adanya estimasi interval adalah karena pada setiap penaksiran pasti mengandung peluang kesalahan.
Misalkan parameter yang akan diestimasi adalah \(\theta\) maka estimasi intervalnya adalah \(\hat{\theta}\pm d\) atau \[\hat{\theta}-d<\theta<\hat{\theta}+d\] dimana \(d\) adalah margin of error.
Estimasi interval \(\hat{\theta}\pm d\) menunjukkan dua nilai yaitu batas bawah dan batas atas dimana posisi parameter \(\theta\) berada. Batas atas dan batas bawah tersebut memiliki simpangan sebesar \(d\) dari estimatornya. Besarnya \(d\) tergantung pada banyaknya sampel, tingkat kepercayaan dan distribusi peluang yang digunakan.
Sebelum melakukan estimasi, tingkat kepercayaan ditetapkan terlebih dahulu yaitu sebesar \(1-\alpha,\) sehingga \[P\left(\hat{\theta}-d<\theta<\hat{\theta}+d\right)=1-\alpha\] dimana \(\alpha\) adalah tingkat signifikansi.
Estimasi interval didasarkan pada suatu distribusi peluang, biasa yang digunakan adalah Distribusi Normal, Distribusi Student-T, Distribusi F dan Distribusi Khi-Kuadrat. Misalnya estimasi interval menggunakan distribusi normal \[P\left(\hat{\theta}-Z_{\alpha/2}Se(\hat{\theta})<\theta<\hat{\theta}+Z_{\alpha/2}Se(\hat{\theta})\right)=1-\alpha\] dimana \(Z_{\alpha/2}\) nilai Distribusi Normal Baku dan \(Se(\hat{\theta})\) adalah standar error.
Sebelum mempeajari estimasi selang, sebaiknya mempelajari materi Distribusi Sampling terlebih dahulu.
Beberapa Estimasi Interval
Materi selanjutnya :
Populasi biasanya memiliki ukuran yang sangat banyak, sehingga untuk mengetahui karakteristiknya melalui sensus sangat sulit dilakukan. Sensus sangat tidak ekonomis dari segi waktu, tenaga dan biaya.
Oleh karena itu, kita dapat melakukan pendugaan dengan melakukan survei terhadap sampel yang diambil secara acak dari populasi tersebut yang selanjutnya hasil karakteristik sampel dari survei tersebut kita gunakan untuk menduga karakteristik populasi. Sampel yang digunakan dalam survei adalah sampel yang benar-benar mewakili populasi.
Parameter populasi disebut juga dengan nilai sebenarnya (true value) dan biasanya dilambangkan dengan \(\theta\) (dibaca: theta). Parameter \(\theta\) dapat berupa rata-rata populasi \((\mu),\) varian populasi \((\sigma^2)\) atau proporsi populasi \((p).\)
Sedangkan statistik sampel disebut juga dengan nilai estimasi (estimate value) dan dilambangkan dengan \(\hat{\theta}\) (dibaca: theta hat atau estimator theta). Statistik \(\hat{\theta}\) dapat berupa rata-rata sampel \((\bar{x}),\) varian sampel \((s^2)\) atau proporsi sampel \((\hat{p}).\)
Dalam statistika, nilai statistik \(\hat{\theta}\) digunakan untuk menduga parameter \(\theta,\) sehingga
- \(\bar{x}\) digunakan untuk menduga \(\mu,\)
- \(s^2\) digunakan untuk menduga \(\sigma^2,\) dan
- \(\hat{p}\) digunakan untuk menduga \(p.\)
Karena sifatnya adalah estimasi atau penaksiran maka nilai dari estimator \(\hat{\theta}\) tentu saja tidak akan sama persis dengan nilai parameter \(\theta.\) Namun kita mengharapkan nilai estimator \(\hat{\theta}\) mendekati nilai parameter \(\theta.\)
Sifat estimator yang baik adalah tidak bias (unbiased) yang artinya nilai harapan dari estimator sama dengan nilai parameter \((\text{E}(X)=\mu).\) Selain itu estimator yang digunakan sebaiknya adalah estimator yang efisien, maksudnya estimator tersebut memiliki varian yang paling kecil. Estimator yang baik juga harus konsisten, artinya semakin banyak sampel maka estimator akan semakin mendekati parameter.
Baca: Sifat-sifat Estimator yang Baik
Estimasi Titik
Estimasi titik adalah penaksiran karakteristik populasi dengan sebuah nilai karakteristik dari sampel. Contoh parameter dan estimasi titiknya:
| Parameter | Estimator Titik | |
|---|---|---|
| Rata-rata | \[\mu=\frac{1}{N}\sum_{i=0}^N{x_i}\] | \[\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^n{x_i}\] |
| Varian | \[\sigma^2=\frac{1}{N}\sum_{i=0}^N{(x_{i}-\bar{x})^2}\] | \[s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=0}^n{(x_{i}-\bar{x})^2}\] |
| Proporsi | \[p=\frac{X}{N}\] | \[\hat{p}=\frac{x}{n}\] |
Estimasi titik lebih mudah dalam hal penghitungan, tetapi penaksirannya sangat diragukan karena sangat jarang nilai karakteristik populasi sama persis dengan nilai karakteristik sampel. Hasil estimasi titik juga tidak memberikan tingkat kepercayaan tertentu.
Estimasi Interval
Estimasi interval adalah penaksiran populasi dengan nilai-nilai dalam suatu interval tertentu. Dasar adanya estimasi interval adalah karena pada setiap penaksiran pasti mengandung peluang kesalahan.
Misalkan parameter yang akan diestimasi adalah \(\theta\) maka estimasi intervalnya adalah \(\hat{\theta}\pm d\) atau \[\hat{\theta}-d<\theta<\hat{\theta}+d\] dimana \(d\) adalah margin of error.
Estimasi interval \(\hat{\theta}\pm d\) menunjukkan dua nilai yaitu batas bawah dan batas atas dimana posisi parameter \(\theta\) berada. Batas atas dan batas bawah tersebut memiliki simpangan sebesar \(d\) dari estimatornya. Besarnya \(d\) tergantung pada banyaknya sampel, tingkat kepercayaan dan distribusi peluang yang digunakan.
Sebelum melakukan estimasi, tingkat kepercayaan ditetapkan terlebih dahulu yaitu sebesar \(1-\alpha,\) sehingga \[P\left(\hat{\theta}-d<\theta<\hat{\theta}+d\right)=1-\alpha\] dimana \(\alpha\) adalah tingkat signifikansi.
Estimasi interval didasarkan pada suatu distribusi peluang, biasa yang digunakan adalah Distribusi Normal, Distribusi Student-T, Distribusi F dan Distribusi Khi-Kuadrat. Misalnya estimasi interval menggunakan distribusi normal \[P\left(\hat{\theta}-Z_{\alpha/2}Se(\hat{\theta})<\theta<\hat{\theta}+Z_{\alpha/2}Se(\hat{\theta})\right)=1-\alpha\] dimana \(Z_{\alpha/2}\) nilai Distribusi Normal Baku dan \(Se(\hat{\theta})\) adalah standar error.
Sebelum mempeajari estimasi selang, sebaiknya mempelajari materi Distribusi Sampling terlebih dahulu.
Beberapa Estimasi Interval
- Estimasi rata-rata sampel besar (\(n>30\)) dan varian (\(\sigma^2\)) diketahui \[P\left(\bar{x}-Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}<\mu<\bar{x}+Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}\right)=1-\alpha\]
- Estimasi rata-rata sampel besar (\(n>30\)) dan varian (\(\sigma^2\)) tidak diketahui \[P\left(\bar{x}-Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{s^2}{n}}<\mu<\bar{x}+Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{s^2}{n}}\right)=1-\alpha\]
- Estimasi rata-rata sampel kecil (\(n<30\)) \[P\left(\bar{x}-t_{\alpha/2,(n-1)}\sqrt{\frac{s^2}{n}}<\mu<\bar{x}+t_{\alpha/2,(n-1)}\sqrt{\frac{s^2}{n}}\right)=1-\alpha\]
- Estimasi proporsi sampel besar (\(n>30\)) \[P\left(\hat{p}-Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}<p<\hat{p}+Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\right)=1-\alpha\]
- Estimasi proporsi sampel kecil (\(n<30\)) \[P\left(\hat{p}-t_{\alpha/2,(n-1)}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}<p<\hat{p}+t_{\alpha/2,(n-1)}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\right)=1-\alpha\]
- Estimasi varian \[P\left(\frac{(n-1)s^2}{\chi_{\frac{\alpha}{2}}^2}<p<\frac{(n-1)s^2}{\chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^2}\right)=1-\alpha\]
Materi selanjutnya :
- Selang kepercayaan rata-rata untuk sampel besar dan varian diketahui
- Selang kepercayaan rata-rata untuk sampel besar dan varian tidak diketahui
- Selang kepercayaan rata-rata untuk sampel kecil
- Selang kepercayaan proporsi sampel besar (\(n>30\))
- Selang kepercayaan proporsi sampel kecil (\(n<30\))
- Selang kepercayaan varian