Regresi Campuran Nonparametrik Spline Linier Truncated dan Fungsi Kernel untuk Pemodelan Data Kemiskinan di Provinsi Papua

Rory, I Nyoman Budiantara, dan Wahyu Wibowo
Institut Teknologi Sepuluh Nopember


ABSTRAK

Model regresi campuran nonparametrik \(y_i=f(u_i,\widetilde{v}_i)+\epsilon_i,\) \(i=1,2,\cdots,n,\) \(\widetilde{v}_i={(v_{1i},v_{2i},\cdots,v_{mi})}^T,\) memiliki kurva regresi bersifat aditif \(f(u_i,\widetilde{v}_i)=g(u_i)+\sum_{j=1}^{m}h_j(v_{ji}).\) Komponen \(g(u_i)\) dihampiri dengan spline linier truncated, sedangkan komponen \(h_j(v_{ji})\) dihampiri dengan kernel Nadaraya-Watson. Error random \(\epsilon_i\) mengikuti distribusi normal \(N(0,\sigma^2)\). Tujuan dari penelitian ini adalah melakukan kajian mengenai estimator kurva regresi campuran nonparametrik spline dan kernel \(f(u_i,\widetilde{v}_i)\) dan mengaplikasikannya pada data kemiskinan di Provinsi Papua. Hasil kajian menunjukkan bahwa estimator kurva regresi spline \(g(\widetilde{u})\) adalah \( \widehat{\widetilde{g}}_{\widetilde{\phi},\widetilde{\xi}}(u,\widetilde{v}) = \boldsymbol {S \left ( \widetilde{\xi},\widetilde{\phi} \right )} \widetilde{y} \) dan estimator kurva regresi kernel \(\sum_{j=1}^{m} \widetilde{h}_j(v_{j})\) adalah \(\sum_{j=1}^{m} \widehat{\widetilde{h}}_j(v_{j}) = \boldsymbol {V\left (\widetilde{\phi}\right )} \widetilde{y}.\) Selanjutnya, estimator kurva regresi campuran nonparametrik spline dan kernel \(\widetilde {f}(u,\widetilde{v})\) adalah \(\widehat{\widetilde{f}}_{\widetilde{\phi},\widetilde{\xi}}(u,\widetilde{v})= \boldsymbol {Z \left ( \widetilde{\xi},\widetilde{\phi} \right )} \widetilde{y},\) dimana \(\boldsymbol {Z \left ( \widetilde{\xi},\widetilde{\phi} \right ) = S \left ( \widetilde{\xi},\widetilde{\phi} \right ) + V\left (\widetilde{\phi}\right )}.\) Matriks \(\boldsymbol {S \left ( \widetilde{\xi},\widetilde{\phi} \right )},\) \(\boldsymbol {V\left (\widetilde{\phi}\right )}\) dan \(\boldsymbol {Z \left ( \widetilde{\xi},\widetilde{\phi} \right )} \) tergantung pada lokasi titik-titik knot \(\widetilde{\phi}\) dan bandwidth \(\widetilde{\xi}.\) Estimator-estimator tersebut adalah estimator bias, namun masih kelas estimator linier. Model regresi campuran nonparametrik terbaik adalah model yang menggunakan banyaknya titik knot, lokasi titik-titik knot dan bandwidth optimum yang diperoleh dengan meminimumkan fungsi Generalized Cross Validation (GCV). Pemilihan lokasi titik-titik knot dan bandwidth dilakukan secara simultan. Model regresi campuran nonparametrik spline dan kernel diterapkan pada data kemiskinan di Provinsi Papua, dimana sebagai variabel responnya adalah persentase penduduk miskin \((y)\), variabel prediktor yang mengikuti kurva regresi spline adalah PDRB perkapita \((u)\), dan variabel-variabel prediktor yang mengikuti kurva regresi kernel adalah gini ratio \((v_1),\) rata-rata lama sekolah \((v_2),\) tingkat pengangguran terbuka \((v_3)\) dan laju pertumbuhan ekonomi \((v_4).\) Model terbaik diperoleh ketika model menggunakan 3 titik knot. Estimasi model memberikan \(R^2\) sebesar 92,02%. Model dapat digunakan untuk skenario kebijakan.

Kata kunci: kernel nadaraya-watson, regresi campuran nonparametrik, regresi nonparametrik aditif, spline linier truncated.



I. PENDAHULUAN

Analisis regresi adalah salah satu metode statistika yang sering digunakan di berbagai bidang penelitian. Analisis ini digunakan untuk mengetahui pola hubungan dua atau lebih variabel dalam bentuk fungsional. Masing-masing variabel tersebut dikelompokkan ke dalam variabel respon dan variabel prediktor. Identifikasi awal adanya pola hubungan dapat dilakukan dengan memanfaatkan pengalaman masa lalu atau menggunakan diagram pencar (scatter plot). Jika bentuk pola hubungan fungsionalnya diketahui, maka model regresi yang digunakan adalah model regresi parametrik. Sebaliknya, jika bentuk pola hubungan fungsionalnya tidak diketahui, maka model regresi yang digunakan adalah model regresi nonparametrik [1].

Model regresi nonparametrik sangat baik digunakan untuk pola data yang tidak diketahui karena memiliki fleksibilitas yang tinggi, dimana data diharapkan mencari sendiri bentuk estimasi kurva regresinya tanpa dipengaruhi oleh subyektifitas peneliti [1]. Ada banyak estimator kurva regresi nonparametrik yang telah dikembangkan oleh para peneliti, diantaranya spline [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] dan kernel [1] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15]. Kelebihan dari kurva regresi spline adalah memiliki kemampuan yang sangat baik dalam menangani data yang perilakunya berubah-ubah pada sub-sub interval tertentu [8], sedangkan kelebihan dari estimator kernel adalah memiliki kemampuan yang baik dalam memodelkan data yang tidak mempunyai pola tertentu [11].

Menurut Budiantara, Ratnasari, Ratna, & Zain [16], model-model regresi nonparametrik maupun semiparametrik yang dikembangkan oleh para peneliti selama ini, jika ditelusuri lebih mendalam, pada dasarnya terdapat asumsi yang sangat berat dan mendasar pada modelnya. Masing-masing prediktor dalam regresi nonparametrik multiprediktor dianggap memiliki pola yang sama sehingga para peneliti memaksakan penggunaan hanya satu bentuk estimator model untuk semua variabel prediktornya. Oleh karena itu, menggunakan hanya satu bentuk estimator saja dalam berbagai bentuk pola hubungan data yang berbeda-beda tentu akan mengakibatkan estimator yang dihasilkan kurang cocok dengan pola data. Akibatnya estimasi model regresi menjadi kurang baik dan menghasilkan error yang besar. Oleh karena itu, untuk mengatasi masalah tersebut beberapa peneliti telah mengembangkan estimator kurva regresi campuran nonparametrik dimana masing-masing pola data dalam model regresi nonparametrik dihampiri dengan estimator kurva yang sesuai.

Tujuan dari penelitian ini adalah melakukan kajian mengenai estimator kurva regresi campuran nonparametrik spline dan kernel dalam model regresi campuran nonparametrik multiprediktor aditif dan mengaplikasikannya pada data kemiskinan di Provinsi Papua. Provinsi Papua merupakan provinsi yang persentase penduduk miskinnya tertinggi di Indonesia tahun 2013 yaitu sebesar 31,52 persen.


II. KAJIAN PUSTAKA

A. Regresi Nonparametrik Spline Truncated

Diberikan data berpasangan \((u_i,y_i ),\) \(i=1,2,\cdots,n,\) dimana pola hubungannya dapat dinyatakan dalam model regresi \(y_i=g(u_i)+\epsilon_i.\) Kurva regresi \(g(u_i)\) dihampiri dengan kurva regresi spline truncated, sehingga \[g(u_i)=\sum_{k=0}^{p} \beta_k u_i^k+ \sum_{l=1}^q \lambda_l {\left(u_i-\xi_l\right)}_+^p\] dimana \[{\left(u_i-\xi_l\right)}_+^p = \begin{cases} {\left(u_i-\xi_l\right)}_+ & u_i \geq \xi_l \\ \\ 0 & u_i \lt \xi_l. \end{cases}\] Kurva regresi \(g(u_i)\) merupakan kurva regresi nonparametrik spline truncated derajat \(p\) dengan banyaknya titik-titik knot adalah \(q.\) Derajat \(p\) merupakan derajat pada persamaan polinomial. Kurva regresi polinomial derajat 1 disebut dengan kurva regresi linier, kurva regresi polinomial derajat 2 disebut dengan kurva regresi kuadratik, sedangkan kurva regresi polinomial derajat 3 disebut dengan kurva regresi kubik. Titik-titik knot \(\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_q\) adalah titik-titik yang menunjukkan pola perilaku dari kurva pada sub-sub interval yang berbeda, dimana \(\xi_1 \lt \xi_2 \lt \cdots \lt \xi_q.\)

B. Regresi Nonparametrik Kernel

Diberikan pasangan pengamatan independen \((v_i,y_i ),\) \(i=1,2,\cdots,n\) yang hubungannya dimodelkan secara fungsional dalam bentuk \(y_i = h(v_i )+\epsilon_i ,\) dimana kurva regresi \(h(v_i)\) merupakan kurva yang tidak diketahui bentuknya. Kurva h(v_i ) dapat diestimasi menggunakan estimator kernel Nadaraya-Watson. Estimator kernel Nadaraya-Watson adalah \[\widehat{h}_\phi(v_i)=n^{-1}\sum_{i=1}^{n}W_{\phi i}(v)y_i.\] Fungsi \(W_{\phi_j i} (v_j)\) merupakan fungsi pembobot \[W_{\phi i}(v) = \frac {K_\phi(v_i-v)} {n^{-1} \sum_{i=1}^{n} K_\phi(v_i-v)},\] dimana \(K_{\phi_j} (v_j-v_{ji})\) adalah fungsi kernel \[ K_{\phi} (v_i-v) = \frac{1}{\phi}K\left ( \frac{v_i-v}{\phi} \right ).\] Fungsi kernel \(K\) adalah fungsi yang bernilai riil, kontinu, terbatas dan simetris dengan integralnya sama dengan satu atau \(\int K(z)dz=1\). Fungsi kernel \(K\) dapat berupa kernel uniform, kernel segitiga, kernel epanechnikov, kernel kuadrat, kernel triweight, kernel kosinus atau kernel gaussian [17]. Kernel gaussian cukup sering digunakan, dimana fungsi ini lebih smooth dibandingkan dengan fungsi kernel yang lain. Bentuk fungsi kernel gaussian adalah \[K(z) = \frac {1}{\sqrt {2\pi}}\exp{\left(-\frac{1}{2}z^2\right)} \quad \cdots \cdots \cdots \quad (1)\] dimana \(-\infty \lt z \lt \infty.\)

C. Tinjauan Kemiskinan

Kemiskinan diartikan sebagai kekurangan sumber daya yang dapat digunakan untuk meningkatkan kesejahteraan sekelompok orang, baik secara finansial maupun semua jenis kekayaan yang dapat meningkatkan kesejahteraan masyarakat. Dikategorikan miskin bilamana seseorang atau keluarga tidak dapat memenuhi kebutuhan pokok minimumnya sandang, pangan, papan, kesehatan, dan pendidikan. Dimensi ekonomi dapat diukur dengan nilai rupiah meskipun harganya selalu berubah-ubah setiap tahunnya tergantung pada tingkat inflasi [18]. Untuk mengukur kemiskinan, BPS menggunakan konsep kemampuan memenuhi kebutuhan dasar (basic needs approach), dimana kemiskinan dipandang sebagai ketidakmampuan dari sisi ekonomi untuk memenuhi kebutuhan dasar makanan dan bukan makanan yang diukur dari sisi pengeluaran.

Sejumlah variabel dapat dipakai untuk melacak persoalan kemiskinan. Dari variabel-variabel tersebut dapat dihasilkan serangkaian strategi dan kebijakan penanggulangan kemiskinan yang tepat sasaran dan berkesinambungan. Variabel-variabel yang mempengaruhi kemiskinan diantaranya adalah ketimpangan pendapatan [19], pendidikan [20] [21], pengangguran [22] [23], pertumbuhan ekonomi [19] [24] [25] dan PDRB perkapita [24] [25].


III. METODE PENELITIAN

A. Data dan Variabel

Penelitian ini menggunakan data sekunder tahun 2013 yang diperoleh dari publikasi terbitan Badan Pusat Statistik (BPS). Unit observasi yang digunakan adalah seluruh kabupaten/kota yang ada di Provinsi Papua, yaitu sebanyak 29 kabupaten/kota. Jenis variabel terdiri dari variabel respon dan variabel prediktor. Sebagai variabel respon adalah persentase penduduk miskin, sedangkan sebagai variabel prediktor adalah rata-rata lama sekolah, tingkat pengangguran terbuka (TPT), gini ratio, laju pertumbuhan ekonomi dan PDRB perkapita.

B. Tahapan Penelitian

Tahapan penelitian dimulai dengan pengenalan bentuk model regresi campuran nonparametrik spline dan kernel, yang dilanjutkan dengan kajian estimasi kurva regresinya, sifat estimator kurva regresi, pemilihan banyak titik knot, lokasi titik knot dan bandwidth optimum. Terakhir adalah mengaplikasikan model pada data kemiskinan.


V. KESIMPULAN

Kurva regresi campuran nonparametrik spline dan kernel merupakan suatu kurva regresi yang mengombinasikan dua jenis kurva regresi, yaitu spline dan kernel. Kurva ini diharapkan dapat mendekati pola data dengan baik karena masing-masing pola data telah didekati oleh kurva yang sesuai.

Kurva regresi spline yang digunakan dalam penelitian ini adalah kurva regresi spline linier truncated, sedangkan kurva regresi kernel yang digunakan adalah kurva regresi kernel Nadaraya-Watson. Untuk saran penelitian selanjutnya, dapat dilakukan kajian mengenai model regresi campuran nonparametrik spline dan kernel dimana kurva regresi spline yang digunakan adalah spline kuadratik atau kubik, sedangkan kurva regresi kernel yang digunakan adalah linier konstan.


DAFTAR PUSTAKA

[1] R. L. Eubank, Nonparametric Regression and Spline Smoothing, New York: Marcel Dekker, Inc, 1999.
[2] C. H. Reinsch, "Smoothing by Spline Functions", Numerische Mathematik, Vol. 10, hal. 77-183, 1967.
[3] B. W. Silverman, "Some Aspects of The Spline Smoothing Approach to Non-parametric Regression Curve Fitting", Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological), Vol. 47, No. 1, hal. 1-52, 1985.
[4] G. Wahba, Spline Models for Observational Data, Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1990.
[5] H. Liang, "Estimation in Partially Linear Models and Numerical Comparisons", Computational Statistics & Data Analysis, Vol. 50, No .3, hal. 675-687, 2006.
[6] Y. Lin and H. H. Zhang, "Component Selection and Smoothing in Multivariate Nonparametric Regression", The Annals of Statistics, Vol. 34, No. 5, hal. 2272-2297, 2006.
[7] A. Islamiyati and I. N. Budiantara, "Model Spline dengan Titik-titik Knots dalam Regresi Nonparametrik", Jurnal INFERENSI, Vol. 3, hal. 11-21, 2007.
[8] I. N. Budiantara, Spline dalam Regresi Nonparametrik dan Semiparametrik: Sebuah Pemodelan Statistika Masa Kini dan Masa Mendatang, Surabaya: ITS Press, 2009.
[9] E. A. Nadaraya, Nonparametric Estimation of Probability Densities and Regression Curves, Kluwcer Academic Publishers, 1989.
[10] T. Gasser and H.-G. Muller, Kernel Estimation of Regression Functions, Springer Berlin Heidelberg, 1979.
[11] W. Hardle, Applied Nonparametric Regression, Berlin: Humboldt-Universit├Ąt zu Berlin, 1994.
[12] M. P. Wand and M. C. Jones, Kernel Smoothing, London: Chapman & Hall, 1995.
[13] J. You and G. Chen, "Semiparametric Generalized Least Squares Estimation in Partially Linear Regression Models with Correlated Errors", Journal of Statistical Planning and Inference, Vol. 137, No. 1, hal. 117-132, 2007.
[14] M. Kayri and Zirhhoglu, "Kernel Smoothing Function and Choosing Bandwidth for Nonparametric Regression Methods", Ozean Journal of Applied Sciences, 2(1), 49-54, 2009.
[15] J. Klemela, Multivariate Nonparametric Regression and Visualization: with R and Applications to Finance, New Jersey: John Wiley & Sons, Inc, 2014.
[16] I. N. Budiantara, M. Ratna, I. Zain and W. Wibowo, "Modeling the Percentage of Poor People in Indonesia Using Spline Nonparametric Regression Approach", International Journal of Basic & Applied Sciences IJBAS-IJENS, Vol. 12 No. 06, hal. 119-124, 2012.
[17] W. Hardle, M. Muller, S. Sperlich and A. Werwatz, Nonparametric and Semiparametric Models, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2004.
[18] S. Ellies, The Dimension of Poverty, Kumarian Press, 1994.
[19] S. Fan, "Public Investment and Poverty Reduction Case Studies from Asia and Implications for Latin America", in Seminario Internacional: Tendencias Y Desafion Del Gato Publiko Para El Desarollo Agricola Y Rural En America Latina Y El Caribe, Santo Domingo, 2003.
[20] J. B. G. Tilak, Post‐Elementary Education, Poverty and Development in India, New Delhi: Working Paper Series - No. 6, Centre of African Studies, University of Edinburgh, 2005.
[21] A. H. Naja, "Pendidikan Berkualitas dan Pembangunan Sumber Daya Manusia: Solusi Utama Masalah Pengangguran dan Kemiskinan di Indonesia", Jurnal Bisnis dan Ekonomi Politik, Vol. 7 No. 1, hal. 67-79, 2006.
[22] P. R. Agenor, Unemployment-Poverty Trade-Offs, Washington DC: The World Bank, 2004.
[23] J. P. Formby, G. A. Hoover and K. Hoseong, Economic Growth and Poverty in the United States: Comparisons of Estimates Based Upon Official Poverty Statistics and Sen's Index of Poverty, Working Paper No. 00-11-01, Univ. of Alabama, Department of Economics, Finance, and Legal Studies, 2000.
[24] G. Iradian, Inequality, Poverty, and Growth: Cross-Country Evidence, IMF Working Paper, 1-39, 2005.
[25] P. Agrawal, "Economic Growth and Poverty Reduction: Evidence from Kazakhstan", Asian Development Review, Vol. 24, No. 2, hal. 90-115, 2008.

Distribusi Peluang Diskrit

Pada artikel ini akan dibahas mengenai fungsi massa peluang atau probability mass function (pmf) dan fungsi distribusi kumulatif atau cumulative distribution function (cdf) dari distribusi peluang diskrit.

Distribusi peluang diskrit adalah distribusi peluang terjadinya setiap nilai variabel random diskrit. Sedangkan variabel random diskrit artinya adalah variabel random yang memiliki nilai yang dapat dihitung.

Setiap kemungkinan nilai dari fungsi variabel random diskrit selalu memiliki nilai yang tidak sama dengan nol.

Fungsi Massa Peluang

Misalkan \(X\) adalah variabel random diskrit, dimana fungsi peluangnya adalah \(P(X=x)=f(x).\) Fungsi peluang \(f(x)\) berlaku untuk semua nilai \(x\) yang mungkin, yaitu \(x_1,x_2,\cdots,\) sehingga \(P(X=x_i)=f(x_i),\) dimana \(i=1,2,\cdots.\) Untuk nilai selain \(x,\) fungsi peluangnya adalah \(0\). Distribusi peluang diskrit biasa disajikan dalam bentuk tabel.

Fungsi \(f(x)\) disebut sebagai fungsi peluang apabila memenuhi dua syarat berikut.
  1. \( f(x)\geq0.\)
  2. \(\displaystyle\sum_x f(x)=1,\) untuk semua nilai \(x\) yang mungkin.

Fungsi Distribusi Kumulatif

Fungsi distribusi kumulatif variabel random diskrit \(X\) adalah \(F(x)=P(X \leq x),\) dimana \(-\infty \leq x \leq \infty.\) Fungsi distribusi kumulatif \(F(x)\) memiliki sifat-sifat sebagai berikut.
  1. \(F(x_j) \leq F(x_k)\) jika \(x_j \leq x_k,\)
  2. \( \displaystyle \lim_{x \to -\infty} F(x)=0\) dan \( \displaystyle \lim_{x \to \infty} F(x)=1,\)
  3. \( \displaystyle \lim_{x \to 0^+} F(x+h)=F(x) \), untuk semua \(x.\)

Fungsi distribusi kumulatif \(F(x)\) dapat diperoleh melalui fungsi peluangnya, yaitu \[ F(x)= \begin{cases} 0 & -\infty \leq x < x_1 \\ f(x_1) & x_1 \leq x < x_2 \\ f(x_1) + f(x_2) & x_2 \leq x < x_3 \\ \vdots \\ f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_n) & x_n \leq x \leq \infty \end{cases} \] atau \[ F(x)=P(X \leq x)=\sum_{i=-\infty}^{x} f(i) \]
Contoh

Sebuah uang logam memiliki sisi Gambar \((G)\) dan sisi Angka \((A)\) yang seimbang. Misalkan \(X\) adalah banyaknya sisi \(A\) yang muncul apabila uang logam tersebut dilemparkan sebanyak dua kali. Tentukan fungsi peluang yang sesuai dengan variabel random \(X!\)

Ada empat kemungkinan hasil yang diperoleh dari pelemparan uang logam sebanyak dua kali. Keempat hasil tersebut diajikan dalam ruang sampel \(S = \{GG, GA, AG, AA\}.\) Nilai-nilai variabel random \(X\) berdasarkan ruang sampel tersebut adalah \(0,1\) dan \(2.\)

Titik Sampel GG GA AG AA
\(x\) 0 1 1 2

Nilai fungsi peluang \(f(x)\) untuk \(x=0,1,2\) adalah \(f(0)=\displaystyle \frac{1}{4},\) \(f(1)=\displaystyle \frac{1}{2}\) dan \(f(2) = \displaystyle \frac{1}{4}.\) Nilai untuk selain \(x\) adalah \(0\). Tabel fungsi distribusi peluangnya adalah sebagai berikut.

\(x\) 0 1 2
\( f(x) \) \( \frac{1}{4} \) \( \frac{1}{2} \) \( \frac{1}{4} \)
Fungsi distribusi peluang juga dapat disajikan seperti berikut ini. \[f(x)= \begin{cases} \frac{1}{4} && x=0 \\ \frac{1}{2} && x=1 \\ \frac{1}{4} && x=2 \\ 0 && \text{lainnya} \end{cases} \] Fungsi distribusi kumulatif adalah sebagai berikut. \[F(x)= \begin{cases} 0 && -\infty \leq x < 0 \\\frac{1}{4} && 0 \leq x < 1 \\ \frac{3}{4} && 1 \leq x < 2 \\ 1 && 2 \leq x < \infty \end{cases} \] Berikut ini adalah beberapa contoh distribusi peluang diskrit yang sering digunakan dalam pemodelan statistik.

  1. Distribusi Bernoulli
  2. pmf:
    \(f(x)= p^x \left(1-p\right)^{1-x} \qquad x=0,1 \)
    cdf:
    \(F(x)= \displaystyle \sum_{i=0}^x p^i \left(1-p\right)^{1-i} \qquad x=0,1 \)

  3. Distribusi Binomial
  4. pmf:
    \(f(x)= \displaystyle \binom{n}{x}p^x \left( 1-p\right)^{n-x} \qquad x=0,1,\cdots,n \)
    cdf:
    \(F(x)= \displaystyle \sum_{i=0}^x \binom{n}{i}p^i \left( 1-p\right)^{n-i} \qquad x=0,1,\cdots,n \)

  5. Distribusi Binomial Negatif
  6. pmf:
    \( \displaystyle f(x)=\binom{x-1}{k-1}p^k\left( 1-p\right)^{x-k} \qquad x=k,k+1,k+2,\cdots \)
    cdf:
    \( \displaystyle f(x)= \sum_{i=k}^x \binom{i-1}{k-1}p^k\left( 1-p\right)^{i-k} \qquad x=k,k+1,k+2,\cdots \)

  7. Distribusi Poisson
  8. pmf:
    \( \displaystyle f(x) = \frac {e^x \lambda^x}{x!} \qquad x=0,1, \cdots \)
    cdf:
    \( \displaystyle F(x) = \sum_{i=0}^x \frac {e^i \lambda^i}{i!} \qquad x=0,1, \cdots \)

  9. Distribusi Geometrik
  10. pmf:
    \(f(x)=p^k{(1-p)}^{x-1} \qquad x=1,2,\cdots \)
    cdf:
    \(\displaystyle F(x)=\sum_{x=0}^k p{(1-p)}^{x-1} \qquad x=1,2,\cdots \)

  11. Distribusi Hipergeometrik
  12. pmf:
    \( \displaystyle f(x)= \frac {\binom {k}{x} \binom {N-k}{n-x}}{\binom{N}{n}} \qquad x=1,2, \cdots ,n \)
    cdf:
    \( \displaystyle F(x)= \sum_{i=0}^{x} \frac {\binom {k}{i} \binom {N-k}{n-i}}{\binom{N}{n}} \qquad x=1,2, \cdots ,n \)

  13. Distribusi Seragam Diskrit
  14. pmf:
    \( \displaystyle f(x)= \frac {1}{n} \qquad x=1,2, \cdots ,n\)
    cdf:
    \( \displaystyle F(x)= \frac {x}{n} \qquad x=1,2, \cdots ,n\)

Varian dan Standar Deviasi Data Berkelompok

Rumus varian dan standar deviasi data berkelompok tidak jauh berbeda dengan rumus varian dan standar deviasi data tunggal. Berikut adalah varian dan standar deviasi untuk data berkelompok.

Rumus Varian \[ \begin{align*} s^2 &= \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{k}f_i\left (x_i-\bar {x} \right )^2\\ &= \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{k} f_ix_i^2-\frac{\left (\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_ix_i \right )^2}{n}}{n-1} \end{align*} \] Rumus Standar Deviasi \[ \begin{align*} s &= \sqrt{ \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{k}f_i\left (x_i-\bar {x} \right )^2}\\ &= \sqrt{\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{k} f_ix_i^2-\frac{\left (\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_ix_i \right )^2}{n}}{n-1}} \end{align*} \] Contoh Penghitungan

Misalnya diberikan data seperti pada contoh penghitungan pada artikel Rata-rata Data Berkelompok, yaitu:

Tinggi Badan Frekuensi
$(f_i)$
151 - 155 3
156 - 160 4
161 - 165 4
166 - 170 5
171 - 175 3
176 - 180 2

Hitunglah varian dan standar deviasi data tersebut!

Jawab:

Dari soal telah diketahui kelas-kelas interval dan frekuensi tiap kelas interval $(f_i)$. Selanjutnya, dibuat kembali tabel untuk memperoleh banyaknya data $(n), $titik tengah $(x_i)$, $f_ix_i$ dan $f_ix_i^2.$

$x_i$ $f_i$ $(f_ix_i)$ $(f_ix_i^2)$
153 3 459 70277
158 4 632 99856
163 4 652 106276
168 5 840 141120
173 3 519 89787
178 2 356 63368
  21 3458 570634

Dari tabel di atas, diperoleh: \[ \begin{align*} n &= 21 \\ \displaystyle \sum_{i=1}^{k}f_ix_i &= 3458\\ \displaystyle \sum_{i=1}^{k} f_ix_i^2 &= 570634 \end{align*} \] Dari data-data tersebut dapat diperoleh varian data berkelompok, yaitu \[ \begin{align*} s^2 &= \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{k} f_ix_i^2-\frac{\left (\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_ix_i \right )^2}{n}}{n-1}\\ &= \frac{570634-\frac{\left (3458 \right )^2}{21}}{21-1}\\ &= 60\text{,}83 \end{align*} \] Selanjutnya, karena standar deviasi merupakan akar kuadrat dari varian, maka standar deviasi data berkelompok adalah \[ \begin{align*} s &= \sqrt{s^2} \\ &= \sqrt{60\text{,}83}\\ &= 7\text{,}80 \end{align*} \]

Data Time Series

Data time series adalah data yang dikumpulkan dari elemen-elemen atau variabel-variabel yang sama dan dilakukan pada titik waktu atau periode yang berbeda.

Data Cross Section

Data cross section adalah data yang dikumpulkan dari elemen-elemen atau variabel-variabel yang berbeda dan dilakukan pada titik waktu atau periode yang sama.

Data Ordinal

Data ordinal adalah data yang diperoleh melalui proses pengkategorian (pengklasifikasian) tiap elemen yang diteliti. Kategori-kategori yang menjadi dasar pengkategorian tersebut memiliki urutan atau tingkatan.

Misalnya pengkategorian terhadap makanan : Sangat Suka, Suka, Cukup Suka, Tidak Suka dan Sangat Tidak Suka.

Data Nominal

Data nominal adalah data yang diperoleh melalui proses pengkategorian (pengklasifikasian) tiap elemen yang diteliti, dimana kategori-kategori yang menjadi dasar pengkategorian tersebut tidak memiliki urutan atau tingkatan.

Misalnya pengkategorian siswa menurut jenis kelamin: Laki-laki dan Perempuan.

Data Kualitatif

Data kualitatif adalah data yang diperoleh dari hasil pengukuran pada objek observasi dengan menggunakan skala kategorik. Data kualitatif sering juga disebut dengan data kategorik.

Data kategorik terdiri dari dua bentuk, yaitu data nominal dan data ordinal.