Varian dan Standar Deviasi Data Berkelompok

Rumus varian dan standar deviasi data berkelompok tidak jauh berbeda dengan rumus varian dan standar deviasi data tunggal. Berikut adalah varian dan standar deviasi untuk data berkelompok.

Rumus Varian \[ \begin{align*} s^2 &= \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{k}f_i\left (x_i-\bar {x} \right )^2\\ &= \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{k} f_ix_i^2-\frac{\left (\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_ix_i \right )^2}{n}}{n-1} \end{align*} \] Rumus Standar Deviasi \[ \begin{align*} s &= \sqrt{ \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{k}f_i\left (x_i-\bar {x} \right )^2}\\ &= \sqrt{\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{k} f_ix_i^2-\frac{\left (\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_ix_i \right )^2}{n}}{n-1}} \end{align*} \] Contoh Penghitungan

Misalnya diberikan data seperti pada contoh penghitungan pada artikel Rata-rata Data Berkelompok, yaitu:

Tinggi Badan Frekuensi
$(f_i)$
151 - 155 3
156 - 160 4
161 - 165 4
166 - 170 5
171 - 175 3
176 - 180 2

Hitunglah varian dan standar deviasi data tersebut!

Jawab:

Dari soal telah diketahui kelas-kelas interval dan frekuensi tiap kelas interval $(f_i)$. Selanjutnya, dibuat kembali tabel untuk memperoleh banyaknya data $(n), $titik tengah $(x_i)$, $f_ix_i$ dan $f_ix_i^2.$

$x_i$ $f_i$ $(f_ix_i)$ $(f_ix_i^2)$
153 3 459 70277
158 4 632 99856
163 4 652 106276
168 5 840 141120
173 3 519 89787
178 2 356 63368
  21 3458 570634

Dari tabel di atas, diperoleh: \[ \begin{align*} n &= 21 \\ \displaystyle \sum_{i=1}^{k}f_ix_i &= 3458\\ \displaystyle \sum_{i=1}^{k} f_ix_i^2 &= 570634 \end{align*} \] Dari data-data tersebut dapat diperoleh varian data berkelompok, yaitu \[ \begin{align*} s^2 &= \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{k} f_ix_i^2-\frac{\left (\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_ix_i \right )^2}{n}}{n-1}\\ &= \frac{570634-\frac{\left (3458 \right )^2}{21}}{21-1}\\ &= 60\text{,}83 \end{align*} \] Selanjutnya, karena standar deviasi merupakan akar kuadrat dari varian, maka standar deviasi data berkelompok adalah \[ \begin{align*} s &= \sqrt{s^2} \\ &= \sqrt{60\text{,}83}\\ &= 7\text{,}80 \end{align*} \]

Data Time Series

Data time series adalah data yang dikumpulkan dari elemen-elemen atau variabel-variabel yang sama dan dilakukan pada titik waktu atau periode yang berbeda.

Data Cross Section

Data cross section adalah data yang dikumpulkan dari elemen-elemen atau variabel-variabel yang berbeda dan dilakukan pada titik waktu atau periode yang sama.

Data Ordinal

Data ordinal adalah data yang diperoleh melalui proses pengkategorian (pengklasifikasian) tiap elemen yang diteliti. Kategori-kategori yang menjadi dasar pengkategorian tersebut memiliki urutan atau tingkatan.

Misalnya pengkategorian terhadap makanan : Sangat Suka, Suka, Cukup Suka, Tidak Suka dan Sangat Tidak Suka.

Data Nominal

Data nominal adalah data yang diperoleh melalui proses pengkategorian (pengklasifikasian) tiap elemen yang diteliti, dimana kategori-kategori yang menjadi dasar pengkategorian tersebut tidak memiliki urutan atau tingkatan.

Misalnya pengkategorian siswa menurut jenis kelamin: Laki-laki dan Perempuan.