Skip to main content

Soal dan Pembahasan Selang Kepercayaan Proporsi

Diambil sampel sebanyak 700 penduduk secara acak. Ternyata 96 orang di antaranya adalah pegawai negeri. Berapakah 80% selang kepercayaan proporsi penduduk provinsi tersebut yang bukan pegawai negeri?

Jawab

Untuk menghitung selang kepercayaan 80%, kita perlu menghitung margin of error terlebih dahulu, yaitu seberapa jauh perkiraan populasi yang dihasilkan dari sampel sebenarnya dapat berbeda.

Margin of error \((e)\) dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

\[e = z \times \sqrt {\frac{p\times q}{n}}\]

di mana:

\(z\) adalah nilai \(z\)-score untuk selang kepercayaan tertentu. Untuk selang kepercayaan 80%, \(z\)-score nya adalah 1,28.
\(p\) adalah proporsi kejadian di populasi yang ingin diestimasi. Dalam hal ini, kita ingin mengestimasi proporsi penduduk yang bukan pegawai negeri, sehingga \(p\) = 1 - 96/700 = 0,8629.
\(q\) adalah proporsi kejadian lainnya di populasi. Dalam hal ini, \(q\) = 1 - \(p\) = 0,1371.
\(n\) adalah ukuran sampel, yaitu 700.

Substitusi nilai ke dalam rumus, kita dapatkan:

\[e = 1.28 \times \sqrt{\frac{0.8629 \times 0.1371}{700}} = 0.0385\]

Margin of error sebesar 0,0385 berarti bahwa perkiraan proporsi populasi yang dihasilkan dari sampel memiliki selisih maksimal sebesar 0,0385 dengan proporsi populasi sebenarnya.

Untuk menghitung selang kepercayaan (confidence interval) 80%, kita dapat menggunakan rumus:

\[CI = p \pm \left( z \times \sqrt {\frac{p\times q}{n}} \right)\]

di mana:

\(CI\) adalah selang kepercayaan dengan tingkat kepercayaan tertentu. Dalam hal ini, kita ingin menghitung selang kepercayaan 80%.
\(p\) dan \(q\) adalah seperti yang telah dijelaskan sebelumnya.
\(n\) adalah ukuran sampel, yaitu 700.
\(z\) adalah nilai \(z\)-score untuk selang kepercayaan tertentu. Untuk selang kepercayaan 80%, z-score nya adalah 1.28.

Substitusi nilai ke dalam rumus, kita dapatkan:

\[\begin{aligned} CI &= 0.8629 \pm 1.28 \times \sqrt{\frac{0.8629 \times 0.1371}{700}}\\ &= 0.8629 \pm 0.0493\\ &= (0.8136, 0.9122) \end{aligned}\]

Jadi, selang kepercayaan 80% untuk proporsi penduduk propinsi tersebut yang bukan pegawai negri adalah antara 0,8136 dan 0,9122.