Diambil sampel sebanyak 700 penduduk secara acak. Ternyata 96 orang di antaranya adalah pegawai negeri. Berapakah 80% selang kepercayaan proporsi penduduk provinsi tersebut yang bukan pegawai negeri?
Jawab
Untuk menghitung selang kepercayaan 80%, kita perlu menghitung margin of error terlebih dahulu, yaitu seberapa jauh perkiraan populasi yang dihasilkan dari sampel sebenarnya dapat berbeda.
Margin of error \((e)\) dapat dihitung dengan menggunakan rumus:
\[e = z \times \sqrt {\frac{p\times q}{n}}\]
di mana:
\(z\) adalah nilai \(z\)-score untuk selang kepercayaan tertentu. Untuk selang kepercayaan 80%, \(z\)-score nya adalah 1,28.
\(p\) adalah proporsi kejadian di populasi yang ingin diestimasi. Dalam hal ini, kita ingin mengestimasi proporsi penduduk yang bukan pegawai negeri, sehingga \(p\) = 1 - 96/700 = 0,8629.
\(q\) adalah proporsi kejadian lainnya di populasi. Dalam hal ini, \(q\) = 1 - \(p\) = 0,1371.
\(n\) adalah ukuran sampel, yaitu 700.
Substitusi nilai ke dalam rumus, kita dapatkan:
\[e = 1.28 \times \sqrt{\frac{0.8629 \times 0.1371}{700}} = 0.0385\]
Margin of error sebesar 0,0385 berarti bahwa perkiraan proporsi populasi yang dihasilkan dari sampel memiliki selisih maksimal sebesar 0,0385 dengan proporsi populasi sebenarnya.
Untuk menghitung selang kepercayaan (confidence interval) 80%, kita dapat menggunakan rumus:
\[CI = p \pm \left( z \times \sqrt {\frac{p\times q}{n}} \right)\]
di mana:
\(CI\) adalah selang kepercayaan dengan tingkat kepercayaan tertentu. Dalam hal ini, kita ingin menghitung selang kepercayaan 80%.
\(p\) dan \(q\) adalah seperti yang telah dijelaskan sebelumnya.
\(n\) adalah ukuran sampel, yaitu 700.
\(z\) adalah nilai \(z\)-score untuk selang kepercayaan tertentu. Untuk selang kepercayaan 80%, z-score nya adalah 1.28.
Substitusi nilai ke dalam rumus, kita dapatkan:
\[\begin{aligned}
CI &= 0.8629 \pm 1.28 \times \sqrt{\frac{0.8629 \times 0.1371}{700}}\\
&= 0.8629 \pm 0.0493\\
&= (0.8136, 0.9122)
\end{aligned}\]
Jadi, selang kepercayaan 80% untuk proporsi penduduk propinsi tersebut yang bukan pegawai negri adalah antara 0,8136 dan 0,9122.