Rata-rata Hitung Data Berkelompok


Data berkelompok adalah data yang disajikan dalam bentuk kelas-kelas interval. Setiap kelas biasanya memiliki panjang interval yang sama.

Ada tiga cara menghitung rata-rata data berkelompok, yaitu dengan menggunakan titik tengah, menggunakan simpangan rata-rata sementara dan menggunakan kode (coding). Rumus ketiga cara penghitungan rata-rata data berkelompok tersebut adalah sebagai berikut.

  1. Menggunakan titik tengah (cara biasa)
    \[\bar x = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{k} {f_ix_i}}{\displaystyle \sum_{i=1}^{k} {f_i}}\]
  2. Menggunakan simpangan rata-rata sementara
    \[\bar x = {\bar x}_s + \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{k} {f_id_i}}{ \displaystyle \sum_{i=1}^{k} {f_i}}\] dimana $d_i = {\bar x}_s - x_i$.

  3. Menggunakan pengkodean (coding)
    \[\bar x = {\bar x}_s + \left (\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{k} {f_ic_i}}{\displaystyle \sum_{i=1}^{k} {f_i}} \right ) \cdot p\] Keterangan:
    $\bar x$ = rata-rata hitungdata berkelompok
    ${\bar x}_s$ = rata-rata sementara
    $f_i$ = frekuensi data kelas ke-i
    $x_i$ = nilai tengah kelas ke-i
    $c_i$ = kode kelas ke-i
    $p$ = panjang interval
Berikut ini diberikan contoh penggunaan ketiga metode di atas.

Sebanyak 21 orang pekerja dijadikan sampel dan dihitung tinggi badannya. Data tinggi badan dibuat dalam bentuk kelas-kelas interval. Hasil pengukuran tinggi badan adalah sebagai berikut.
Tinggi Badan Frekuensi
$(f_i)$
151 - 155 3
156 - 160 4
161 - 165 4
166 - 170 5
171 - 175 3
176 - 180 2

Hitunglah rata-rata tinggi badan pekerja dengan menggunakan titik tengah, simpangan rata-rata sementara dan cara koding!

Jawab:

1. Menggunakan titik tengah (cara biasa)

Proses penghitungan rata-rata dengan menggunakan titik tengah dibantu dengan menggunakan tabel di bawah ini.

Tinggi Badan Titik Tengah
$(x_i)$
Frekuensi
$(f_i)$

$f_i \cdot x_i$
151 - 155 153 3 459
156 - 160 158 4 632
161 - 165 163 4 652
166 - 170 168 5 840
171 - 175 173 3 519
176 - 180 178 2 356
Jumlah   21 3458

Dari tabel di atas diperoleh \[\sum_{i=1}^k f_i = 21 \qquad \sum_{i=1}^k f_ix_i = 3458\] Dengan begitu dapat kita hitung rata-rata data berkelompok sebagai berikut. \[\bar x = \frac {3458}{21} = 164,67\]
2. Dengan menggunakan simpangan rata-rata sementara

Sebelum menghitung rata-rata data berkelompok menggunakan simpangan rata-rata sementara, kita terlebih dahulu menetapkan rata-rata sementaranya. Misalkan rata-rata sementara yang kita tetapkan adalah 160. Selanjutnya kita bisa membuat tabel penghitungan sebagai berikut.

Tinggi Badan Titik Tengah
$(x_i)$
Frekuensi
$(f_i)$
$d_i=$
$160 - x_i$
$f_1 \cdot d_i$
151 - 155 153 3 -7 -21
156 - 160 158 4 -2 -8
161 - 165 163 4 3 12
166 - 170 168 5 8 40
171 - 175 173 3 13 39
176 - 180 178 2 18 36
Jumlah   21   98

Dari tabel di atas diperoleh \[{\bar x}_s =160 \qquad \sum_{i=1}^k f_i = 21 \qquad \sum_{i=1}^k f_id_i = 98\] Hasil rata-rata hitung menggunakan simpangan rata-rata adalah \[\bar x = 160 + \left (\frac {98}{21} \right ) = 160 + 4,67 = 164,67\]
3. Cara coding

Sama dengan menggunakan simpangan rata-rata sementara, sebelum menghitung rata-rata dengan cara coding, kita juga harus menetapkan rata-rata sementara. Namun rata-rata sementara yang kita tetapkan harus sama dengan salah satu nilai tengah salah satu kelas interval.

Misalkan kita menetapkan rata-rata sementara adalah nilai tengah kelas keempat, yaitu 168. Dengan begitu kita bisa membuat tabel dan pengkodean seperti di bawah ini.

Tinggi Badan Titik Tengah
$(x_i)$
Frekuensi
$(f_i)$

Coding
$(c_i)$

$f_1 \cdot c_i$
151 - 155 153 3 -3 -9
156 - 160 158 4 -2 -8
161 - 165 163 4 -1 -4
166 - 170 168 5 0 0
171 - 175 173 3 1 3
176 - 180 178 2 2 4
Jumlah   21   -14

Pengkodean dimulai dari angka 0 untuk kelas interval dimana rata-rata sementara ditetapkan. Kemudian dengan kelas sebelumnya berturut-turut menjadi angka negatif (-1, -2, -3 dan seterusnya) menjauhi kelas rata-rata sementara. Berikutnya dengan kelas sesudahnya berturut-turut pengkodeannya menjadi angka positif (1,2 3 dan seterusnya) menjauhi kelas rata-rata sementara tersebut.

Dari tabel di atas diperoleh \[{\bar x}_s =168 \qquad \sum_{i=1}^k f_i = 21 \qquad \sum_{i=1}^k f_ic_i = -14 \qquad p=5\] Hasil rata-rata hitung menggunakan coding adalah sebagai berikut. \[\bar x = 168 + \left (\frac {-14}{21} \right ) \cdot 5 = 168 + (-3,33) =- 164,67\]
Dari ketiga cara mencari rata-rata data berkelompok di atas, metode menggunakan titik tengah atau cara biasa merupakan metode yang paling banyak digunakan karena proses penghitungannya sangat mudah. Oleh karena itu untuk penghitungan-penghitungan selanjutnya sangat disarankan untuk menggunakan tersebut.

Contoh Soal No. 1

Nilai mahasiswa jurusan statistika untuk mata kuliah statistik deskriptif adalah sebagai berikut.

Nilai Frekuensi
41 - 45 18
46 - 50 19
51 - 55 30
56 - 60 17
61 - 65 26
66 - 70 24
71 - 75 28
76 - 80 35
81 - 85 20

Hitunglah rata-rata dari nilai mahasiswa tersebut!

Jawab:

Rumus yang digunakan untuk mencari rata-rata data berkelompok di atas adalah \[\bar x = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{k} {f_ix_i}}{\displaystyle \sum_{i=1}^{k} {f_i}}\] Untuk menyelesaikannya dengan menggunakan rumus tersebut, kita harus mencari komponen-komponen dari rumus tersebut yaitu komponen $\sum_{i=1}^{k} {f_i}$ dan komponen $\sum_{i=1}^{k} {f_ix_i}$.

Nilai
(Kelas Interval)
Titik Tengah
$(x_i)$
Frekuensi
$(f_i)$
$f_i \cdot x_i$
41 - 45 43 18 774
46 - 50 48 19 912
51 - 55 53 30 1590
56 - 60 58 17 986
61 - 65 63 26 1638
66 - 70 68 24 1632
71 - 75 73 28 2044
76 - 80 78 35 2730
81 - 85 83 20 1660
Jumlah   217 13966

Dari tabel di atas diperoleh komponen \[\sum_{i=1}^{k}{f_i} = 217 \text { dan } \sum_{i=1}^{k} {f_ix_i} = 13966\] Dengan begitu dapat kita hitung rata-rata data berkelompok sebagai berikut. \[\bar x = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{k} {f_ix_i}}{\displaystyle \sum_{i=1}^{k} {f_i}} = \frac{13966}{217}=64,36\] Rata-rata nilai mahasiswa jurusan statistika untuk mata kuliah statistik deskriptif adalah 64,36.

Contoh Soal No. 2

Sebanyak 30 pelajar dikelompokkan menurut kelompok umur seperti tabel berikut.

Kelompok Umur Banyaknya Pelajar
7 - 9 8
10 - 12 5
13 - 15 6
16 - 18 7
19 - 21 4

Hitunglah rata-rata umur para pelajar tersebut!

Jawab:

Tentukan titik tengah setiap kelas interval terlebih dahulu, kemudian kalikan dengan banyaknya pelajar (frekuensi).

Kelompok Umur
Kelas Interval
Titik Tengah
$(x_i)$
Banyaknya Pelajar
(Frekuensi $f_i$)
$(f_i \cdot x_i)$
7 - 9 8 8 64
10 - 12 11 5 55
13 - 15 14 6 84
16 - 18 17 7 119
19 - 21 20 4 80
Jumlah   30 402

Dari tabel diperoleh \[\sum_{i=1}^{k}{f_i} = 30 \quad \sum_{i=1}^{k} {f_ix_i} = 402\] Selanjutnya kita bisa menghitung rata-rata \[\bar x = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{k} {f_ix_i}}{\displaystyle \sum_{i=1}^{k} {f_i}} = \frac{402}{30}=13,4\] Dengan demikian rata-rata umur para pelajar adalah 13,4.

3 Responses to "Rata-rata Hitung Data Berkelompok"

  1. Angka 13966 itu dri mana ..?

    BalasHapus
    Balasan
    1. itu sbenarnya 13,970 dan hasilnya itu didapatkan dari nilai frekuensi dikalikan nilai titik tengah ... lalu keseluruhan dijumlahkan...

      Hapus
  2. Coding itu apa ya?

    BalasHapus

Powered by MathJax