Rata-rata Hitung Data Berkelompok

Data berkelompok adalah data yang disajikan dalam bentuk kelas-kelas interval. Setiap kelas biasanya memiliki panjang interval yang sama.

Ada tiga cara menghitung rata-rata data berkelompok, yaitu dengan menggunakan titik tengah, menggunakan simpangan rata-rata sementara dan menggunakan kode (coding). Rumus ketiga cara penghitungan rata-rata data berkelompok tersebut adalah sebagai berikut.

  1. Menggunakan titik tengah (cara biasa)
    \[\bar x = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{k} {f_ix_i}}{\displaystyle \sum_{i=1}^{k} {f_i}}\]
  2. Menggunakan simpangan rata-rata sementara
    \[\bar x = {\bar x}_s + \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{k} {f_id_i}}{ \displaystyle \sum_{i=1}^{k} {f_i}}\] dimana $d_i = {\bar x}_s - x_i$.

  3. Menggunakan pengkodean (coding)
    \[\bar x = {\bar x}_s + \left (\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{k} {f_ic_i}}{\displaystyle \sum_{i=1}^{k} {f_i}} \right ) \cdot p\] Keterangan:
    $\bar x$ = rata-rata hitungdata berkelompok
    ${\bar x}_s$ = rata-rata sementara
    $f_i$ = frekuensi data kelas ke-i
    $x_i$ = nilai tengah kelas ke-i
    $c_i$ = kode kelas ke-i
    $p$ = panjang interval
Berikut ini diberikan contoh penggunaan ketiga metode di atas.

Sebanyak 21 orang pekerja dijadikan sampel dan dihitung tinggi badannya. Data tinggi badan dibuat dalam bentuk kelas-kelas interval. Hasil pengukuran tinggi badan adalah sebagai berikut.
Tinggi Badan Frekuensi
$(f_i)$
151 - 155 3
156 - 160 4
161 - 165 4
166 - 170 5
171 - 175 3
176 - 180 2

Hitunglah rata-rata tinggi badan pekerja dengan menggunakan titik tengah, simpangan rata-rata sementara dan cara koding!

Jawab:

1. Menggunakan titik tengah (cara biasa)

Proses penghitungan rata-rata dengan menggunakan titik tengah dibantu dengan menggunakan tabel di bawah ini.

Tinggi Badan Titik Tengah
$(x_i)$
Frekuensi
$(f_i)$

$f_i \cdot x_i$
151 - 155 153 3 459
156 - 160 158 4 632
161 - 165 163 4 652
166 - 170 168 5 840
171 - 175 173 3 519
176 - 180 178 2 356
Jumlah   21 3458

Dari tabel di atas diperoleh \[\sum_{i=1}^k f_i = 21 \qquad \sum_{i=1}^k f_ix_i = 3458\] Dengan begitu dapat kita hitung rata-rata data berkelompok sebagai berikut. \[\bar x = \frac {3458}{21} = 164,67\]
2. Dengan menggunakan simpangan rata-rata sementara

Sebelum menghitung rata-rata data berkelompok menggunakan simpangan rata-rata sementara, kita terlebih dahulu menetapkan rata-rata sementaranya. Misalkan rata-rata sementara yang kita tetapkan adalah 160. Selanjutnya kita bisa membuat tabel penghitungan sebagai berikut.

Tinggi Badan Titik Tengah
$(x_i)$
Frekuensi
$(f_i)$
$d_i=$
$160 - x_i$
$f_1 \cdot d_i$
151 - 155 153 3 -7 -21
156 - 160 158 4 -2 -8
161 - 165 163 4 3 12
166 - 170 168 5 8 40
171 - 175 173 3 13 39
176 - 180 178 2 18 36
Jumlah   21   98

Dari tabel di atas diperoleh \[{\bar x}_s =160 \qquad \sum_{i=1}^k f_i = 21 \qquad \sum_{i=1}^k f_id_i = 98\] Hasil rata-rata hitung menggunakan simpangan rata-rata adalah \[\bar x = 160 + \left (\frac {98}{21} \right ) = 160 + 4,67 = 164,67\]
3. Cara coding

Sama dengan menggunakan simpangan rata-rata sementara, sebelum menghitung rata-rata dengan cara coding, kita juga harus menetapkan rata-rata sementara. Namun rata-rata sementara yang kita tetapkan harus sama dengan salah satu nilai tengah salah satu kelas interval.

Misalkan kita menetapkan rata-rata sementara adalah nilai tengah kelas keempat, yaitu 168. Dengan begitu kita bisa membuat tabel dan pengkodean seperti di bawah ini.

Tinggi Badan Titik Tengah
$(x_i)$
Frekuensi
$(f_i)$

Coding
$(c_i)$

$f_1 \cdot c_i$
151 - 155 153 3 -3 -9
156 - 160 158 4 -2 -8
161 - 165 163 4 -1 -4
166 - 170 168 5 0 0
171 - 175 173 3 1 3
176 - 180 178 2 2 4
Jumlah   21   -14

Pengkodean dimulai dari angka 0 untuk kelas interval dimana rata-rata sementara ditetapkan. Kemudian dengan kelas sebelumnya berturut-turut menjadi angka negatif (-1, -2, -3 dan seterusnya) menjauhi kelas rata-rata sementara. Berikutnya dengan kelas sesudahnya berturut-turut pengkodeannya menjadi angka positif (1,2 3 dan seterusnya) menjauhi kelas rata-rata sementara tersebut.

Dari tabel di atas diperoleh \[{\bar x}_s =168 \qquad \sum_{i=1}^k f_i = 21 \qquad \sum_{i=1}^k f_ic_i = -14 \qquad p=5\] Hasil rata-rata hitung menggunakan coding adalah sebagai berikut. \[\bar x = 168 + \left (\frac {-14}{21} \right ) \cdot 5 = 168 + (-3,33) =- 164,67\]
Dari ketiga cara mencari rata-rata data berkelompok di atas, metode menggunakan titik tengah atau cara biasa merupakan metode yang paling banyak digunakan karena proses penghitungannya sangat mudah. Oleh karena itu untuk penghitungan-penghitungan selanjutnya sangat disarankan untuk menggunakan tersebut.

Contoh Soal No. 1

Nilai mahasiswa jurusan statistika untuk mata kuliah statistik deskriptif adalah sebagai berikut.

Nilai Frekuensi
41 - 45 18
46 - 50 19
51 - 55 30
56 - 60 17
61 - 65 26
66 - 70 24
71 - 75 28
76 - 80 35
81 - 85 20

Hitunglah rata-rata dari nilai mahasiswa tersebut!

Jawab:

Rumus yang digunakan untuk mencari rata-rata data berkelompok di atas adalah \[\bar x = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{k} {f_ix_i}}{\displaystyle \sum_{i=1}^{k} {f_i}}\] Untuk menyelesaikannya dengan menggunakan rumus tersebut, kita harus mencari komponen-komponen dari rumus tersebut yaitu komponen $\sum_{i=1}^{k} {f_i}$ dan komponen $\sum_{i=1}^{k} {f_ix_i}$.

Nilai
(Kelas Interval)
Titik Tengah
$(x_i)$
Frekuensi
$(f_i)$
$f_i \cdot x_i$
41 - 45 43 18 778
46 - 50 48 19 912
51 - 55 53 30 1590
56 - 60 58 17 986
61 - 65 63 26 1638
66 - 70 68 24 1632
71 - 75 73 28 2044
76 - 80 78 35 2730
81 - 85 83 20 1660
Jumlah   217 13966

Dari tabel di atas diperoleh komponen \[\sum_{i=1}^{k}{f_i} = 217 \text { dan } \sum_{i=1}^{k} {f_ix_i} = 13966\] Dengan begitu dapat kita hitung rata-rata data berkelompok sebagai berikut. \[\bar x = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{k} {f_ix_i}}{\displaystyle \sum_{i=1}^{k} {f_i}} = \frac{13966}{217}=64,36\] Rata-rata nilai mahasiswa jurusan statistika untuk mata kuliah statistik deskriptif adalah 64,36.

Contoh Soal No. 2

Sebanyak 30 pelajar dikelompokkan menurut kelompok umur seperti tabel berikut.

Kelompok Umur Banyaknya Pelajar
7 - 9 8
10 - 12 5
13 - 15 6
16 - 18 7
19 - 21 4

Hitunglah rata-rata umur para pelajar tersebut!

Jawab:

Tentukan titik tengah setiap kelas interval terlebih dahulu, kemudian kalikan dengan banyaknya pelajar (frekuensi).

Kelompok Umur
Kelas Interval
Titik Tengah
$(x_i)$
Banyaknya Pelajar
(Frekuensi $f_i$)
$(f_i \cdot x_i)$
7 - 9 8 8 64
10 - 12 11 5 55
13 - 15 14 6 84
16 - 18 17 7 119
19 - 21 20 4 80
Jumlah   30 402

Dari tabel diperoleh \[\sum_{i=1}^{k}{f_i} = 30 \quad \sum_{i=1}^{k} {f_ix_i} = 402\] Selanjutnya kita bisa menghitung rata-rata \[\bar x = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{k} {f_ix_i}}{\displaystyle \sum_{i=1}^{k} {f_i}} = \frac{402}{30}=13,4\] Dengan demikian rata-rata umur para pelajar adalah 13,4.

2 komentar:

  1. Angka 13966 itu dri mana ..?

    BalasHapus
    Balasan
    1. Maaf, tabel untuk mendapatkan angka tersebut belum terlengkapi. Saat ini tabel tersebut telah kami lengkapi. Terimakasih.

      Hapus