Rata-rata Gabungan | Rumus Statistik

Rata-rata Gabungan

Jika kita mempunyai beberapa buah nilai rata-rata, maka untuk mendapatkan nilai rata-rata gabungannya kita tidak boleh langsung merata-ratakan beberapa buah nilai rata-rata tersebut. Hal ini disebabkan karena masing-masing rata-rata tersebut mungkin saja berasal dari jumlah sampel yang berbeda-beda. Oleh karena itu, untuk menghitung rata-rata gabungannya, kita harus mempertimbangkan jumlah sampel masing-masing rata-rata.

Rumus yang digunakan untuk menghitung rata-rata gabungan dari sejumlah p rata-rata dengan mempertimbangkan ukuran sampel (n) adalah sebagai berikut. \[\bar x_{gab} = \frac{n_1\bar x_1 + n_2\bar x_2+ \cdots +n_k\bar x_k}{n_1 + n_2 + \cdots + n_k}\] dimana $\bar x_{gab}$ adalah rata-rata gabungan, $\bar x_1$ adalah rata-rata pertama dan $n_1$ adalah jumlah sampelnya, $\bar x_2$ adalah rata-rata kedua dan $n_2$ adalah jumlah sampelnya, begitu seterusnya hingga rata-rata ke-$k$.

Persamaan tersebut dapat disederhanakan dengan menuliskannya dalam bentuk notasi sigma sebagai berikut. \[\bar x_{gab} = \frac{\displaystyle \sum_{j=1}^{k} {n_j \bar x_j}} {\displaystyle \sum_{j=1}^{k} {n_j}}\] Dimana $\bar x_j$ adalah rata-rata ke-$j$ dan $n_j$ adalah jumlah sampelnya.

Berikut ini diberikan contoh menghitung rata-rata gabungan menggunakan rumus di atas.

Rata-rata tinggi badan 10 siswa di kelas A adalah 170,1 cm, rata-rata tinggi badan 15 siswa di kelas B adalah 173,4 cm. Selanjutnya, rata-rata tinggi badan 5 siswa di kelas C adalah 168,9. Berapakah rata-rata gabungan tinggi badan 30 siswa diketiga kelas tersebut?

Jawab:

Diketahui bahwa
  1. $\bar x_1 = 170\text{,}1$ dan $n_1 = 10$
  2. $\bar x_2 = 173\text{,}4$ dan $n_2 = 15$
  3. $\bar x_3 = 168\text{,}9$ dan $n_3 = 5$
Dengan menggunakan rumus rata-rata gabungan di atas, penghitungannya menjadi: \begin{align*} \bar x_{gab} &= \frac{n_1\bar x_1 + n_2\bar x_2+ n_3\bar x_3}{n_1 + n_2 + n_3}\\ &= \frac{(10 \times 170\text{,}1) + (15\times 173\text{,}4) + (5 \times 168\text{,}9)}{10 + 15 + 5}\\ &= 171\text{,}55 \end{align*} Dengan demikian rata-rata gabungan 30 siswa di ketiga kelas tersebut adalah 171,55 cm.

Perhatian!!!

Jika kita langsung merata-ratakan ketiga rata-rata tersebut tanpa mempertimbangkan jumlah sampelnya, maka rata-ratanya menjadi \[\bar x = \frac {\left (170\text{,}1 + 173\text{,}4 + 168\text{,}9\right)} {3} = 170\text{,}8\] Ternyata hasilnya berbeda dengan penghitungan rata-rata dengan menggunakan rumus rata-rata gabungan di atas. Oleh karena itu, perlu kehati-hatian jika kita ingin menghitung rata-rata gabungan. Penghitungan rata-rata gabungan harus memperhatikan ukuran sampel rata-rata pembentuknya.

Contoh Soal No. 1

Nilai rata-rata ujian statistika 8 mahasiswa adalah 60, nilai rata-rata 6 orang mahasiswa yang lain adalah 70, dan nilai rata-rata 4 mahasiswa berikutnya adalah 90. Jika Nilai 18 mahasiswa tersebut digabungkan, berapakah rata-ratanya?

Jawab:

Diketahui
  1. $\bar x_1 = 60$ dan $n_1 = 8$
  2. $\bar x_2 = 70$ dan $n_2 = 6$
  3. $\bar x_3 = 90$ dan $n_3 = 4$
Rata-rata gabungan dapat dihitung menggunakan rumus rata-rata gabungan di atas \begin{align*} \bar x_{gab} &= \frac{n_1\bar x_1 + n_2\bar x_2+ \cdots +n_k\bar x_k}{n_1 + n_2 + \cdots + n_k}\\ &= \frac{n_1\bar x_1 + n_2\bar x_2+ n_3\bar x_3}{n_1 + n_2 + n_3}\\ &= \frac{(8 \times 60) + (6 \times 70) + (4 \times 90)}{8 + 6 + 4}\\ &= 70 \end{align*} Dengan demikian, rata-rata nilai statistika 18 mahasiswa tersebut adalah 70.

Contoh Soal No. 2

Rata-rata nilai ujian matematika 40 siswa adalah 50. Jika 5 siswa yang nilainya sama dikeluarkan dari rata-rata tersebut maka rata-ratanya berubah menjadi 55. Berapakah nilai masing-masing 5 siswa tersebut?

Jawab:

Dari soal di atas diketahui
  1. $n = 40$, rata-ratanya adalah $\bar x_{(40)} = 50$
  2. $n-5 = 35$, rata-ratanya adalah $\bar x_{(35)} = 55$
Hitung terlebih dahulu jumlah nilai 40 siswa. \begin{align*} \bar x_{(40)} &= \frac {1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_{i}\\ 50 &= \frac {1}{40}\sum_{i=1}^{40} x_{i}\\ \sum_{i=1}^{40} x_{i} &= 2000 \end{align*} Hitung juga jumlah nilai 35 siswa (nilai 5 siswa yang nilainya sama telah dikeluarkan). \begin{align*} \bar x_{(35)} &= \frac {1}{n-5}\sum_{i=1}^{n-5} x_{i}\\ 55 &= \frac {1}{35}\sum_{i=1}^{35} x_{i}\\ \sum_{i=1}^{35} x_{i} &= 1925 \end{align*} Jumlah nilai 5 siswa dapat diperoleh dengan mengurangi jumlah nilai 40 siswa dengan jumlah nilai 35 siswa. \begin{align*} \sum_{i=1}^{5} x_{i} &= \sum_{i=1}^{40} x_{i} - \sum_{i=1}^{35} x_{i}\\ &= 2000 - 1925\\ &= 75 \end{align*} Karena nilai 5 siswa tersebut sama, maka $\sum_{i=1}^{5} x_{i} = 5x_{i}$, sehingga \begin{align*} 5x_{i} &= 75\\ x_{i} &= 15 \end{align*} Dengan demikian nilai masing-masing 5 siswa tersebut adalah 15.

Contoh Soal No. 3

Sebuah perusahaan industri memiliki dua jenis produk yaitu produk A dan produk B. Untuk mengetahui kualitas dari kedua produk tersebut, dilakukan pengambilan sampel masing-masing dari produk A dan produk B untuk selanjutnya dilakukan pengujian. Hasil pengujian menunjukkan bahwa nilai rata-rata kualitas produk A adalah 95, sedangkan nilai rata-rata kualitas produk B adalah 75. Jika kedua sampel produk digabung, nilai rata-rata kualitas produk menjadi 87. Berapakah perbandingan jumlah sampel produk A dan produk B?

Jawab:

Dari soal di atas, diketahui $\bar x_A=95$, $\bar x_B=75$ dan $\bar x=87$. Perbandingan $n_A$ dan $n_B$ dapat diketahui dengan rumus berikut. \begin{align*} n_A \bar x_A + n_B \bar x_B&= (n_A + n_B) \bar x \\ 95n_A + 75n_B &= 87(n_A + n_B) \\ 95n_A + 75n_B &= 87n_A + 87n_B \\ 8n_A &= 12n_B \\ \frac {n_A}{n_B} &= \frac{3}{2} \\ \end{align*} Perbandingan jumlah sampel produk A dan produk B adalah 3 : 2.

6 Komentar untuk "Rata-rata Gabungan"

Saya mau tanya kalo soal kayak gini gimana

Suatu kelurga mempunyai 5 orang anak.anak termuda berumur x tahun dan yg tertua 2x tahun.tiga anak yg lain berturut turut berumur x+2,x+4,2x-3 tahun.jika rata rata umur mereka 16 tahun,tentukan umur anak sulung

insyaallah bantu jawab
(x+(x+2)+(x+4)+(2x-3)+2x)/5=16
7x+3=16*5
7x+3=80
7x=80-3
7x=77
x=77/7
x=11

anak sulung=2x=2*11=22 tahun

Rata-rata nilai siswa putri 80 dan rata-rata putra 75. Jika rata-rata nilai seluruh siswa 78, sedangkan jumlah siswa 30 orang, banyak siswa putri adalah?
a. 12
b. 14
c. 18
bagaimana cara menyelesaikannya?

Dari soal tersebut dapat diketahui \[
\begin{align*}
\bar{x}&=78\\
\bar{x}_A&=75\\
\bar{x}_B&=80\\
n_A+n_B&=30\\
n_A&=30-n_B
\end{align*}
\] yang ditanya adalah berapakah \(n_B?\) Kita akan mengetahuinya dengan menggunakan rumus rata-rata gabungan. \[
\begin{align*}
n_A\bar{x}_A+n_B\bar{x}_B&=(n_A + n_B)\bar{x}\\
(30-n_B)75+n_B(80)&=(30)(78)\\
2250-75n_B+80n_B&=2340\\
5n_B&=90\\
n_B&=18\\
\end{align*}
\] Dengan demikian, banyaknya siswa putri dalah 18 orang.

Diketahui suatu kelas dengan jumlah siswa perempuan 12.rata rata hasil tes matematika untuk siswa perempuan dan siswa laki laki berturut turut 74 dan 56. Jika rata rata hasil tes matematika di kelas tersebut 63,2 maka jumlah seluruh siswa dalam kelas tersebut adalah.....

Nilai rata-rata 8 orang mahasiswa 8,4. Jika ditambah dengan nilai Nureh dan Ani rata-rata menjadi 8,45. Nilai Nureh 8/9 nilai Ani. Berapa nilai masing-masing keduanya?