Distribusi normal disebut juga dengan Distribusi Gauss. Peubah acak (variabel random) pada distribusi normal merupakan peubah acak yang kontinu. Distribusi normal merupakan distribusi peluang yang paling sering digunakan dalam analisis statistik.
Fungsi kepadatan peluang distribusi normal untuk peubah acak \(X\) adalah sebagai berikut: \[f(x;\mu,\sigma^2) = \frac{1}{\sqrt {2 \pi \sigma^2}} \exp \left (-\frac {1}{2\sigma^2} {(x-\mu)}^2 \right )\] dimana \(x\) adalah peubah acak kontinu dan \(-\infty \leqslant x \leqslant \infty.\) Distribusi normal memiliki dua parameter yaitu mean \(\mu\) dan varian \(\sigma^2\) dimana \(-\infty \leqslant \mu \leqslant \infty\) dan \(\sigma^2 > 0.\) Dengan demikian fungsi \(f(x;\mu,\sigma^2)\) dapat dibaca bahwa peubah acak \(x\) mengikuti distribusi normal dengan rata-rata \(\mu\) dan varian \(\sigma^2,\) dan dapat ditulis menjadi \(X \sim N(\mu, \sigma^2).\)
Berdasarkan rumus kepadatan peluang tersebut, bentuk dari kurva distribusi normal adalah sebagai berikut.
Kurva distribusi normal berbentuk lonceng (genta). Jika anda ingin membuat kurva distribusi normal tersebut, silahkan baca artikel berikut.
- Cara Membuat Kurva Distribusi Normal dengan Excel
- Cara Membuat Kurva Distribusi Normal dengan Minitab
- Cara Membuat Kurva Distribusi Normal dengan R
Sifat-sifat Distribusi Normal:
- Kurva distribusi normal berbentuk simetris atau berbentuk lonceng, sehingga sering juga disebut dengan kurva lonceng bell curve.
- Rata-rata \(\mu\) dan varian \(\sigma^2\) adalah parameter distribusi normal yang menentukan bentuk dan lokasi distribusi tersebut.
- Rata-rata (mean), median dan modus pada distribusi normal memiliki nilai yang sama dan terletak pada sumbu simetris.
- Luas daerah di bawah kurva normal adalah \(1,\) dengan pembagian wilayah: \(0\text{,}5\) berada pada wilayah sebelah kiri dan \(0\text{,}5\) berada di wilayah sebelah kanan.
Mean dan Varian
$$\begin{aligned} E(X) &= \mu\\ Var(X) &= \sigma^2 \end{aligned}$$Untuk pembuktiannya silakan baca artikel Nilai Harapan Distribusi Normal.
Fungsi Pembangkit Momen (MGF)
\[M_x(t) = \exp \left (\mu t + \frac {1}{2} \sigma^2 t^2 \right )\]Silahkan buktikan fungsi pembangkit momennya di artikel MGF Distribusi Normal.
Fungsi Karakteristik
\[C_x(t) = \exp \left (i\mu t + \frac {1}{2} i^2 \sigma^2 t^2 \right )\]Fungsi Pembangkit Peluang
\[G_x(t) = \exp \left (\mu \ln (t) + \frac {1}{2} \sigma^2 \ln^2 (t^2) \right )\]Luas wilayah di bawah kurva normal adalah 1 (baca: Luas di Bawah Kurva Normal). Namun demikian, proses penghitungan luas kurva antara \(x_1\) dan \(x_2\) sangat sulit dilakukan karena integralnya tidak dalam bentuk sederhana.
Untuk menyederhanakan penghitungan, maka peubah acak distribusi normal ditransformasi sehingga fungsi distribusinya juga ikut berubah yaitu menjadi fungsi distribusi normal standar (distribusi normal baku). Silahkan baca proses transformasinya di Distribusi Normal Standar (Normal Baku).
Luas kurva Distribusi Normal Standar sudah ditabelkan, sehingga penghitungannya menjadi lebih mudah. Silahkan lihat tabelnya di Tabel Z Distribusi Normal. Cara menghitungnya dengan tabel tersebut dapat dibaca di artikel Menghitung Luas Area dengan Menggunakan Tabel Z Distribusi Normal Baku.
Jika kita memerlukan data yang berdistribusi normal untuk simulasi, kita bisa mebangkitkan datanya dengan menggunakan software, misalnya software Minitab. Silahkan baca artikel Cara Membangkitkan Data Berdistribusi Normal dengan Software Minitab.
Baca juga: