Hampiran Normal Terhadap Binomial

Fungsi kepadatan peluang distribusi binomial adalah
\[p(x;n,p) = \binom{n}{x} p^x(1-p)^{n-x}\]

Peluang distribusi binomial \(p(x;n,p)\) bisa dihitung jika ukuran \(n\) kecil. Namun bila \(n\) besar atau mendekati tak hingga \((\infty),\) maka penghitungan peluangnya sudah sangat dilakukan sehingga agar penghitungannya menjadi mudah maka peluang distribusi binomial bisa dihampiri dengan distribusi normal.

Baca:

1. Distribusi Binomial
2. Distribusi Normal

Berdasarkan teorema limit pusat (Central Limit Theorem), maka:

1. Jika \(X\) adalah peubah acak (variabel random) yang berdistribusi binomial maka jika \(n\) cukup besar \((n \geq 30),\) maka peubah acak \(X\) dapat dihampiri dengan distribusi normal dengan rata-rata \(\mu = np\) dan varian \(\sigma^2 = np(1-p).\) Transformasi distribusi binomial \(X \sim N\left(np, np(1-p)\right)\) ke distribusi normal baku \(Z \sim N(0,1)\) adalah
\[Z = \frac{X - np}{\sqrt{np(1-p)}}\]
2. Jika \(\hat{P}\) adalah peubah acak distribusi sampling dari proporsi, maka \(\hat{P}\) akan berdistribusi normal dengan rata-rata \(\mu = p\) dan varian \(\sigma^2 = \frac{p(1-p)}{n}.\) Transformasi distribusi binomial \(\hat{P} \sim N\left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right)\) ke distribusi normal baku \(Z \sim N(0,1)\) adalah
\[Z = \frac{\hat{P} - np}{\displaystyle \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}\]

Transformasi distribusi binomial ke distribusi normal baku dimaksudkan agar penghitungan peluangnya lebih mudah karena nilai peluang distribusi normal baku telah disediakan dalam bentuk tabel Z distribusi normal.

Baca:

1. Distribusi Normal Baku
2. Tabel Z Distribusi Normal

Contoh 1

Diketahui 2 persen dari bola lampu yang dihasilkan oleh Pabrik X adalah bola lampu yang cacat. Jika sebuah distributor bola lampu menerima 400 bola lampu dari pabrik tersebut, berapakah peluang bahwa:

1. terdapat kurang dari 12 yang rusak?
2. lebih dari 6 yang rusak?
3. antara 7 dan 10 yang rusak?

Penyelesaian:

Diketahui:
\(p = 2\% = 0\text{,}02\)
\(n = 400\)

Pertanyaan:
a. \(P(X < 12) = \cdots \quad ?\)
b. \(P(X > 6) = \cdots \quad ?\)
c. \(P(7 < X < 10) = \cdots \quad ?\)

Jawab:

a. \(P(X < 12) = \cdots \quad ?\)

\[\begin{aligned} P(X < x) &= P(Z < z)\\ &= P\left(Z < \frac{x - np}{\sqrt{np(1 - p)}}\right)\\ P(X < 12) &= P\left(Z < \frac{12 - (400)(0\text{,}02)}{\sqrt{(400)(0\text{,}02)(1 - 0\text{,}02)}}\right)\\ &= P\left(Z < \frac{12 - 8}{\sqrt{7\text{,}84}}\right)\\ &= P\left(Z < 1\text{,}43\right)\\ &= 0\text{,}9236 \end{aligned}\]

b. \(P(X > 6) = \cdots \quad ?\)

\[\begin{aligned} P(X > x) &= P(Z > z)\\ &= 1 - P\left(Z < \frac{x - np}{\sqrt{np(1 - p)}}\right)\\ P(X > 6) &= 1 - P\left(Z < \frac{6 - (400)(0\text{,}02)}{\sqrt{(400)(0\text{,}02)(1 - 0\text{,}02)}}\right)\\ &= 1 - P\left(Z < \frac{6 - 8}{\sqrt{7\text{,}84}}\right)\\ &= 1 - P\left(Z < -0\text{,}71\right)\\ &= 1 - 0\text{,}2389\\ &= 0\text{,}7611 \end{aligned}\]

c. \(P(7 < X < 10) = \cdots \quad ?\)

\[\begin{aligned} P(x_1 < X < x_2) &= P(X < x_2) - P(X < x_1)\\ &= P(Z < z_2) - P(Z < z_1)\\ &= P\left(Z < \frac{x_2 - np}{\sqrt{np(1 - p)}}\right)\\ &\quad -P\left(Z < \frac{x_1 - np}{\sqrt{np(1 - p)}}\right)\\ P(7 < X < 10) &= P\left(Z < \frac{10 - (400)(0\text{,}02)}{\sqrt{(400)(0\text{,}02)(1 - 0\text{,}02)}}\right)\\ &\quad- P\left(Z < \frac{7 - (400)(0\text{,}02)}{\sqrt{(400)(0\text{,}02)(1 - 0\text{,}02)}}\right)\\ &= P\left(Z < \frac{10 - 8}{\sqrt{7\text{,}84}}\right) - P\left(Z < \frac{7 - 8}{\sqrt{7\text{,}84}}\right)\\ &= P\left(Z < -0\text{,}71\right) - P\left(Z < -0\text{,}36\right)\\ &= 0\text{,}7611 - 0\text{,}3594\\ &= 0\text{,}4017 \end{aligned}\]