Peubah Acak (Random Variable) | Rumus Statistik

Peubah Acak (Random Variable)

Peubah dalam kata lain disebut dengan variabel, sedangkan acak dalam kata lain disebut dengan random. Jadi peubah acak sering juga disebut dengan variabel random. Peubah acak merupakan deskripsi numerik dari hasil beberapa percobaan/eksperimen yang niainya bisa berapa saja.

Peubah acak terdiri dari dua yaitu peubah acak diskret dan peubah acak kontinu.
  • Peubah acak diskret adalah peubah acak yang nilai-nilainya berhingga banyaknya atau berisi sederetan anggota yang banyaknya sebanyak integer. Ruang sampelnya mengandung titik sampel sebanyak bilangan cacah.
  • Peubah acak kontinu adalah peubah acak yang nilai-nilainya tak berhingga banyaknya atau berisi sederetan anggota yang banyaknya sebanyak titik dalam sebuah garis disebut peubah acak kontinu. Ruang sampelnya mengandung titik sampel sebanyak titik pada sebuah garis.

Fungsi peubah acak adalah suatu fungsi yang memetakan ruang kejadian (daerah fungsi) ke ruang bilangan riil (wilayah fungsi). Fungsi peubah acak harus mampu memetakan setiap kejadian dalam ruang sampel dengan tepat ke satu bilangan bilangan riil

Fungsi Peluang Peubah Acak Diskret

Fungsi \(f(x)\) disebut fungsi peluang atau distribusi peluang suatu peubah acak diskrit \(X\) apabila bila untuk setiap hasil x yang mungkin berlaku \[\begin{aligned} 1.&\, P(X = x) = f(x)\\ 2.&\, f(x)\geq 0\\ 3.&\, \sum_x f(x) = 1 \end{aligned}\] Fungsi peluang kumulatif \(F(x)\) adalah \[F(x)= \begin{cases} 0&,x<x_1\\ f(x_1)&,x_1\leq x<x_2\\ f(x_1)+f(x_2)&,x_2\leq x<x_3\\ \vdots\\ f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_{n-1})&,x_{n-2}\leq x<x_{n-1}\\ 1&,x\geq x_n \end{cases} \] Misalkan percobaan pelemparan sebuah koin mata uang sebanyak dua kali. Sisi dari mata uang tersebut adalah Angka (\(A\)) dan Gambar (\(G\)). Ruang sampel percobaan adalah \[S=\left\{AA, AG, GA, GG\right\}\] Misalkan \(X\) menyatakan banyaknya sisi Gambar (\(G\)) yang muncul untuk setiap titik sampel, maka dapat X diasosiasikan dengan titik sampel pada ruang sampel tersebut, yaitu:

Titik Sampel \(AA\) \(AG\) \(GA\) \(GG\)
X 0 1 1 2
Peluang \[P(AA)=P(AG)=P(GA)=P(GG)=\frac{1}{4}\] maka \[\begin{aligned} f(0)=&P(X=0)=P(AA)=\frac{1}{4}\\ f(1)=&P(X=1)=P(AG\cup GA)=P(AG)+P(GA)=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\\ f(2)=&P(X=2)= P(GG) = \frac{1}{4} \end{aligned}\] Jadi, tabel fungsi peluang diskritnya adalah

\(x\) 0 1 2
\(f(x)\) \(\displaystyle\frac{1}{4}\) \(\displaystyle\frac{1}{2}\) \(\displaystyle\frac{1}{4}\)
Fungsi peluang kumulatifnya adalah \[F(x)= \begin{cases} 0&,x<0\\ 1/2&,0\leq x<1\\ 3/4&,1\leq x<2\\ 1&,x\geq 2 \end{cases} \] Histogramnya adalah

Fungsi tangganya adalah

Fungsi Peluang Peubah Acak Kontinu

Submateri ini masih dalam tahap penulisan

Contoh Soal No. 1

Hitunglah distribusi peluang jumlah bilangan yang muncul bila 2 buah dadu dilemparkan.

Jawab:

Ruang Sampel:

Misalkan \(X\) adalah peubah diskrit yang menyatakan semua jumlah yang mungkin Nilai \(x\) yang mungkin adalah 2 sampai 13. \[\begin{aligned} f(2)&=P(X=2)=1/36\\ f(3)&=P(X=3)=2/36\\ f(4)&=P(X=4)=3/36\\ f(5)&=P(X=5)=4/36\\ f(6)&=P(X=6)=5/36\\ f(7)&=P(X=7)=6/36\\ f(8)&=P(X=8)=5/36\\ f(9)&=P(X=9)=4/36\\ f(10)&=P(X=10)=3/36\\ f(11)&=P(X=11)=2/36\\ f(12)&=P(X=12)=1/36 \end{aligned}\] Tabel fungsi peluangnya adalah

\(x\) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
\(f(x)\) \(\frac{1}{36}\) \(\frac{2}{36}\) \(\frac{3}{36}\) \(\frac{4}{36}\) \(\frac{5}{36}\) \(\frac{6}{36}\) \(\frac{5}{36}\) \(\frac{4}{36}\) \(\frac{3}{36}\) \(\frac{2}{36}\) \(\frac{1}{36}\)
Fungsi peluang kumulatifnya adalah \[F(x)= \begin{cases} 0&,x<2\\ 1/36&,2\leq x<3\\ 3/36&,3\leq x<4\\ 6/36&,4\leq x<5\\ 10/36&,5\leq x<6\\ 15/36&,6\leq x<7\\ 21/36&,7\leq x<8\\ 26/36&,8\leq x<9\\ 30/36&,9\leq x<10\\ 33/4&,10\leq x<11\\ 35/2&,11\leq x<12\\ 1&,x\geq 12 \end{cases} \]

0 Komentar untuk "Peubah Acak (Random Variable)"