Skip to main content

Peubah Acak (Random Variable)

Peubah acak merupakan deskripsi numerik dari hasil beberapa percobaan/eksperimen yang niainya bisa berapa saja. Peubah dalam kata lain disebut dengan variabel, sedangkan acak dalam kata lain disebut dengan random. Jadi peubah acak sering juga disebut dengan variabel random.

Peubah acak terdiri dari dua yaitu peubah acak diskret dan peubah acak kontinu.

  1. Peubah acak diskret adalah peubah acak yang nilai-nilainya berhingga banyaknya atau berisi sederetan anggota yang banyaknya sebanyak integer. Ruang sampelnya mengandung titik sampel sebanyak bilangan cacah.

  2. Peubah acak kontinu adalah peubah acak yang nilai-nilainya tak berhingga banyaknya atau berisi sederetan anggota yang banyaknya sebanyak titik dalam sebuah garis disebut peubah acak kontinu. Ruang sampelnya mengandung titik sampel sebanyak titik pada sebuah garis.

Fungsi peubah acak adalah suatu fungsi yang memetakan ruang kejadian (daerah fungsi) ke ruang bilangan riil (wilayah fungsi). Fungsi peubah acak harus mampu memetakan setiap kejadian dalam ruang sampel dengan tepat ke satu bilangan bilangan riil

Fungsi Peluang Peubah Acak Diskret

Misalkan \(X\) adalah peubah acak diskret, maka fungsi \(p(x)\) disebut dengan fungsi peluang atau fungsi distribusi peluang dari suatu peubah acak \(X\) yang sifat-sifatnya adalah sebagai berikut. \[\begin{aligned} 1.&\, p(x) = P(X = x)\\ 2.&\, p(x)\geq 0\\ 3.&\, \sum_x p(x) = 1 \end{aligned}\] Fungsi peluang kumulatif dari peubah acak \(X\) adalah \(F(x),\) dimana \[F(x)= \begin{cases} 0 &,x<x_1\\ p(x_1) &,x_1\leq x<x_2\\ p(x_1) + p(x_2) &,x_2\leq x<x_3\\ \vdots\\ p(x_1) + p(x_2) + \cdots + p(x_{n-1}) &,x_{n-2}\leq x<x_{n-1}\\ 1 &,x\geq x_n \end{cases} \]

Contoh Soal #1

Percobaan pada pelemparan sebuah koin mata uang sebanyak dua kali, dimana sisi dari mata uang tersebut adalah Angka \((A)\) dan Gambar \((G)).\) Buatlah fungsi distribusi peluang dari peubah acak yang menyatakan munculnya sisi Gambar \((G).\).

Jawab:

  1. Pertama, tentukan ruang sampel dan titik sampel. Ruang sampel percobaan adalah \[S=\left\{AA, AG, GA, GG\right\}\] Misalkan \(X\) menyatakan banyaknya sisi Gambar \((G)\) yang muncul untuk setiap titik sampel, maka dapat X diasosiasikan dengan titik sampel pada ruang sampel tersebut, yaitu:

    Titik Sampel \(AA\) \(AG\) \(GA\) \(GG\)
    X 0 1 1 2

  2. Kedua, hitung peluang munculnya titik-titik sampel dilanjutkan dengan fungsi peluang distribusi peubah acaknya. Peluang titik-titik sampel adalah \[P(AA)=P(AG)=P(GA)=P(GG)=\frac{1}{4}\] maka \[\begin{aligned} p(0) &= P(X=0) = P(AA)=\frac{1}{4}\\ p(1) &= P(X=1) = P(AG)+P(GA)=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\\ p(2) &= P(X=2) = P(GG) = \frac{1}{4} \end{aligned}\] Jadi, tabel fungsi peluang peubah acaknya adalah

    \(x\) 0 1 2
    \(f(x)\) \(\displaystyle\frac{1}{4}\) \(\displaystyle\frac{1}{2}\) \(\displaystyle\frac{1}{4}\)

  3. Fungsi peluang kumulatifnya adalah \[F(x)= \begin{cases} 0 &,x<0\\ 1/2&,0\leq x<1\\ 3/4&,1\leq x<2\\ 1&,x\geq 2 \end{cases} \]
  4. Buat histogramnya adalah


Contoh Soal #1

Buatlah distribusi peluang, distribusi kumulatif dan histogram dari jumlah bilangan yang muncul bila 2 buah dadu dilemparkan.

Jawab:

Misalkan dinyatakan bahwa peubah diskrit \(X\) adalah jumlah bilangan yang muncul dari dua dadu dilemparkan, maka distribusi peluang dan kumulatifnya dapat dihitung dengan langkah-angkah sebagai berikut.

  1. Tentukan ruang sampel \((S)\) dari pelemparan dadu terlebih dahulu, selanjutnya tentukan nilai \(x\) yang mungkin. Ruang sampelnya adalah \[\begin{aligned} S = \{&(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)\\ & (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)\\ & (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)\\ & (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)\\ & (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)\\ & (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\} \end{aligned}\] Misalkan \(X\) adalah peubah diskrit yang menyatakan semua jumlah yang mungkin Nilai \(x\) yang mungkin adalah 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 dan 12.

  2. Hitung peluang untuk setiap \(x\) yang mungkin dan buat tabel fungsi peluangnya \[\begin{aligned} P(X=2) &= p(2) = 1/36\\ P(X=3) &= p(3) = 2/36\\ P(X=4) &= p(4) = 3/36\\ P(X=5) &= p(5) = 4/36\\ P(X=6) &= p(6) = 5/36\\ P(X=7) &= p(7) = 6/36\\ P(X=8) &= p(8) = 5/36\\ P(X=9) &= p(9) = 4/36\\ P(X=10) &= p(10) = 3/36\\ P(X=11) &= p(11) = 2/36\\ P(X=12) &= p(12) = 1/36 \end{aligned}\] Tabel fungsi peluangnya adalah

    \(x\) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
    \(f(x)\) \(\frac{1}{36}\) \(\frac{2}{36}\) \(\frac{3}{36}\) \(\frac{4}{36}\) \(\frac{5}{36}\) \(\frac{6}{36}\) \(\frac{5}{36}\) \(\frac{4}{36}\) \(\frac{3}{36}\) \(\frac{2}{36}\) \(\frac{1}{36}\)

  3. Buat fungsi peluang kumulatifnya. Hasilnya adalah \[F(x)= \begin{cases} 0&,x<2\\ 1/36&,2\leq x<3\\ 3/36&,3\leq x<4\\ 6/36&,4\leq x<5\\ 10/36&,5\leq x<6\\ 15/36&,6\leq x<7\\ 21/36&,7\leq x<8\\ 26/36&,8\leq x<9\\ 30/36&,9\leq x<10\\ 33/4&,10\leq x<11\\ 35/2&,11\leq x<12\\ 1&,x\geq 12 \end{cases} \]
  4. Histogramnya adalah

    Gunakan kode R berikut ini untuk membuat histogram tersebut

    x <- c(2,3,3,4,4,4,5,5,5,5,6,6,6,
           6,6,7,7,7,7,7,7,8,8,8,8,8,
           9,9,9,9,10,10,10,11,11,12)
    hist(x, prob=TRUE, breaks=seq(1.5,12.5,1),
         col="grey", ylim=c(0,0.2), ylab="f(x)",
         main=NULL)

Fungsi tangganya adalah

Fungsi Peluang Peubah Acak Kontinu

Misalkan \(X\) adalah peubah acak kontinu, maka fungsi \(f(x)\) disebut dengan fungsi peluang atau fungsi distribusi peluang dari suatu peubah acak \(X\) yang sifat-sifatnya adalah sebagai berikut. \[\begin{aligned} 1.&\, P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x)\, dx\\ 2.&\, \int_a^b f(x)\, dx \geq 0\\ 3.&\, \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, dx = 1 \end{aligned}\] Fungsi peluang kumulatif dari peubah acak \(X\) adalah \(F(x),\) dimana \[F(x) = \int_{-\infty}^x f(x)\, dx\]

Contoh Soal #3

Diketahui fungsi distribusi peluang kontinu adalah \[f(x) = \begin{cases} & k x^2 &, 0 \leq x \leq 3\\ & 0 &, x\text{ lainnya} \end{cases} \]

  1. Tentukan nilai \(k\) agar \(f(x)\) merupakan fungsi kepadatan peluang dari peubah acak \(X.\)
  2. Hitung peluang \(P(2 < x < 3).\)
  3. Gambarkan grafik fungsi kepadatan peluangnya.

Jawab:

  1. Berdasarkan sifat ketiga dari fungsi peluang peubah acak kontinu di atas, yaitu \[ \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, dx = 1\] maka dapat diperoleh nilai \(k,\) yaitu \[\begin{aligned} \int_0^3 kx^2\, dx &= 1\\ \left. \frac{k}{3} x^3 \right|_0^3 &= 1\\ \frac{27k}{3} &= 1\\ k &= \frac{1}{9} \end{aligned}\] Dengan demikian fungsi kepadatan peluangnya adalah \[f(x) = \begin{cases} & \frac{1}{3} x^2 &, 0 \leq x \leq 3\\ & 0 &, x\text{ lainnya} \end{cases} \]
  2. Berdasarkan sifat pertama dari fungsi peluang peubah acak kontinu di atas, yaitu \[P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x)\, dx\] maka dapat dicari \(P(2 < x < 3),\) yaitu \[\begin{aligned} P(2 < x < 3) &= \int_2^3 \frac{1}{9} x^2\, dx\\ &= \left. \frac{1}{27} x^3 \right|_2^3\\ &= \frac{27}{27} - \frac{12}{27}\\ &= \frac{5}{9} \end{aligned}\]

  3. Histogram dari fungsi kepadatan peluangnya adalah


    Untuk membuat grafik di atas, gunakan kode R berikut.

    x <- seq(0, 3, 0.1)
    fx <- 1/9*x^2
    cx <- c(0, x, 3)
    cfx <- c(0, fx, 0)
    plot(x, fx,
         type="l", lwd=3, ylab="f(x)",
         main=expression(f(x) == frac(x^2,9)))
    polygon(cx, cfx, col="grey", border=NA)