Skip to main content

Menghitung Luas Area dengan Menggunakan Tabel Z Distribusi Normal Baku

Distribusi Normal

Distribusi normal adalah distribusi peluang statistik yang memiliki 2 parameter yaitu rata-rata \(\mu\) dan varian \(\sigma^2.\) Jika peubah acak (variabel random) \(X\) berdistribusi normal maka fungsi kepadatan peluangnya adalah: \[f(x;\mu,\sigma^2) = \frac{1}{\sqrt {2 \pi \sigma^2}} \exp \left (-\frac {1}{2\sigma^2} {(x-\mu)}^2 \right )\]

Peluang distribusi normal dihitung melalui fungsi kepadatan peluangnya, yaitu: \[P(x_1 < X < x_2) = \int_{x_1}^{x_2} f(x;\mu,\sigma^2 \, dx.\]

Penghitungan peluang menggunakan rumus di atas tentu saja sangat sulit dilakukan. Oleh karena itu, untuk memudahkan penghitungan maka distribusi normal perlu ditransformasi ke distribusi normal standar atau biasa disebut juga distribusi normal baku.

Referensi: Distribusi normal

Distribusi Normal Baku

Misalkan \(X\) adalah variabel random yang berdistribusi normal dengan rata-rata \(\mu\) dan varian \(\sigma^2.\) Variabel random \(X\) bisa ditransformasi menjadi variabel random \(Z,\) dimana bentuk transformasinya adalah \[Z = \frac{X - \mu}{\sigma}.\]

Hasil transformasi tersebut adalah peubah acak \(Z\) yang juga berdistribusi normal dengan rata-rata \(\mu = 0\) dan varian \(\sigma^2 = 1.\) Distribusi normal peubah acak \(Z\) tersebut disebut juga dengan distribusi normal baku.

Nilai peluang dari distribusi normal baku sudah ditabelkan sehingga tidak perlu lagi dihitung melalui fungsi kepadatan peluangnya.

Tabel peluang distribusi normal baku disebut juga dengan Tabel Z Distribusi Normal.

Referensi: Distribusi normal Baku

Bentuk Tabel Z Distribusi Normal

Tabel Z distribusi normal menunjukkan luas wilayah di bawah kurva normal baku.

Kurva distribusi normal maupun distribusi normal baku bersifat simetris dimana garis simetrisnya berada pada \(Z = 0.\) Sedangkan luas area keseluruhan di bawah kurva normal adalah 1.

Ada dua bentuk tabel \(Z\) distribusi normal baku yang disajikan oleh buku-buku statistik, yaitu:

  1. Tabel Z distribusi normal \(P\left(-\infty < Z < z_1\right)\)
  2. Tabel distribusi normal \(P\left(-\infty < Z < z_1\right)\) adalah tabel distribusi normal yang menghitung peluang atau luas area kurva distribusi normal dari \(-\infty\) sampai dengan \(z_1.\)

    Luas area yang dimaksud adalah luas area yang diasrir pada gambarkan di bawah ini.

    Tabel distribusi normal baku yang menentukan luas area di antara \(-\infty < Z < z_1\)

  3. Tabel Z distribusi normal baku yang menentukan luas area di antara \(P\left(0 < Z < z_1\right)\)
  4. Tabel distribusi normal \(P\left(0 < Z < z_1\right)\) adalah tabel distribusi normal yang menghitung peluang atau luas area kurva distribusi normal dari \(-\infty\) sampai dengan \(z_1.\)

    Luas area yang dimaksud adalah luas area yang diasrir pada gambarkan di bawah ini.

    Tabel distribusi normal baku yang menentukan luas area di antara \(0 < Z < z_1\)

Menghitung Peluang Distribusi Normal

Pada pembahasan kali ini, tabel Z distribusi normal yang digunakan adalah Tabel Z distribusi normal \(P\left(-\infty < Z < z_1\right)\) yaitu yang menentukan luas area di antara \(-\infty < Z < z_1.\)

Download: Tabel Z Distribusi Normal

Untuk pemahaman lebih lanjut mengenai luas area tersebut, diberikan beberapa contoh sebagai berikut.

CONTOH 1

Hitunglah \(P(Z < 1\text{,}24)\)!

Jawab:

Untuk menghitung \(P(Z < 1\text{,}24)\) berarti kita menghitung luas area kurva normal antara \(-\infty < Z < 1\text{,}24\) atau dapat ditulis \(Z < 1\text{,}24\) saja.

Area \(Z < 1\text{,}24\) pada kurva distribusi normal adalah area yang diarsir pada gambar di bawah ini.

Area \(Z < 1\text{,}24\) pada kurva distribusi normal baku

Luas area yang diarsir adalah nilai peluang \(Z < 1\text{,}24\) atau ditulis \(P(Z < 1\text{,}24)\) dan nilainya dapat diperoleh dari Tabel Z Distribusi Normal.

Tabel Z yang ada pada link di atas terdiri dari dua bagian, yaitu bagian tabel Z negatif dan bagian tabel Z positif.

Karena \(Z = 1\text{,}24\) adalah bilangan yang positif maka bagian tabel yang digunakan adalah bagian tabel Z positif.

Kolom pertama tabel Z menunjukkan nilai Z yang memiliki satu angka di belakang koma, sedangkan baris pertama kolom kedua dan seterusnya menunjukkan angka kedua di belakang koma.

Untuk menentukan luas wilayah \(Z < 1\text{,}24,\) kita harus menentukan terlebih dahulu letak 1,2 pada kolom pertama kemudian diarahkan ke kanan. Selanjutnya menentukan letak 0,04 pada baris pertama kemudian diarahkan ke bawah. Coba perhatikan ilustrasi pada gambar di bawah ini.

Titik pertemuan keduanya merupakan luas wilayah \(Z < 1\text{,}24\) atau nilai \(P(Z < 1\text{,}24),\) yaitu \(0\text{,}8925.\)

\[P(Z < 1\text{,}24) = 0\text{,}8925\]

CONTOH 2

Hitunglah \(P(Z > 1\text{,}24)\)!

Jawab:

Dari nilai pada contoh pertama sebenarnya kita sudah bisa menyelesaikan soal ini tanpa harus melihat tabel Z distribusi normal.

Hal ini didasarkan dari sifat kurva distribusi normal yang simetris dan memiliki luas area keseluruhan sama dengan satu. Dari sifat-sifatnya tersebut maka berlaku rumus:

\[\boxed{P(Z > z) = 1 - P(Z < z)}\]

Dari contoh \(P(Z < 1\text{,}24) = 0\text{,}8925,\) berdasarkan rumus di atas maka:

\[\begin{aligned} P(Z > 1\text{,}24) &= 1 - P(Z < 1\text{,}24)\\ &= 1 - 0\text{,}8925\\ &= 0\text{,}1075 \end{aligned}\]

Dengan demikian luas area kurva normal pada \(Z > 1\text{,}24\) atau \(P(Z > 1\text{,}24)\) adalah 0,1075.

Kita bisa juga menggunakan cara lain yaitu dengan menentukan \(P(Z < -1\text{,}24).\) Hal ini didasarkan pada kurva normal yang bersifat simetris, sehingga \(P(Z > 1\text{,}24) = P(Z < -1\text{,}24).\) Area \(P(Z < -1\text{,}24)\) dapat dilihat pada gambar berikut.

Area \(Z < -1\text{,}24\) pada kurva distribusi normal baku

Dengan meggunakan tabel Z distribusi normal baku maka dapat diketahui \(P(Z < -1\text{,}24).\)

Dari tabel di atas diperoleh nilai \(P(Z < -1\text{,}24) = 0\text{,}1075.\)

CONTOH 3

Berapakah luas area kurva normal antara \(-1\text{,}12 < Z < 0\text{,}92\) atau \(P(-1\text{,}12 < Z < 0\text{,}92)?\)

Jawab:

Rumus yang digunakan untuk menghitung luas kurva di antara 2 nilai \(z\) adalah \[\boxed{P(z_1 < Z < z_2) = P(Z < z_2) - P( Z < z_1)}\]

Misalkan \(z_1 = -1\text{,}12\) dan \(z_2 = 0,92,\) maka area kurva normal \(-1\text{,}12 < Z < 0,92\) dapat kita lihat pada gambar berikut.

Area \(-1\text{,}12 < Z < 0\text{,}92\) pada kurva distribusi normal baku

Dari ilustrasi di atas dapat kita ketahui bahwa ternyata luas area kurva normal \(-1\text{,}12 < Z < 0\text{,}92\) adalah luas area kurva normal \(Z < 0\text{,}92\) dikurangi luas area kurva normal \(Z < -1\text{,}12.\) Penyelesaiannya dapat kita tulis menjadi

\[P(-1\text{,}12 < Z < 0\text{,}92) = P(Z < 0\text{,}92) - P(Z < -1\text{,}12).\]

Nilai \(P(Z < 0\text{,}92)\) dan \(P(Z < -1,12)\) dapat diperoleh dari tabel distribusi normal baku. Dengan menggunakan tabel Z dapat diketahui bahwa \(P(Z < 0\text{,}92) = 0\text{,}8212\) dan \(P(Z < -1\text{,}12) = 0\text{,}1314,\) sehingga

\[\begin{aligned} P(-1\text{,}12 < Z < 0\text{,}92) &= 0\text{,}8212 - 0\text{,}1314\\ &= 0\text{,}6898\\ \end{aligned}\]