Hubungan Distribusi Hipergeometrik dan Distribusi Binomial | Rumus Statistik

Hubungan Distribusi Hipergeometrik dan Distribusi Binomial

Perbedaan antara distribusi binomial dan distribusi hipergeometrik terletak pada cara penarikan sampelnya. Penarikan sampel pada distribusi binomial memerlukan sifat pengulangan yang saling bebas, dan pengulangan tersebut harus dilakukan dengan pengembalian (with replacement). Sedangkan pengambilan sampel pada distribusi hipergeometrik tidak memerlukan sifat pengulangan yang saling bebas dan dilakukan tanpa pengembalian (without replacement).

Hubungan distribusi hipergeometrik dan distribusi binomial dapat diturunkan dengan menjabarkan rumus distribusi hipergeometrik di bawah ini. \[\begin{aligned} P(X=k)&=\frac{\displaystyle\binom{m}{k}\binom{N-m}{n-k}}{\displaystyle\binom{N}{n}}\\ &=\frac{m!}{k!(m-k)!}\cdot\frac{(N-m)!}{(n-k)!(N-m-n+k)!}\cdot\frac{n!(N-n)!}{N!} \end{aligned}\] Pisahkan komponen \(\displaystyle\frac{k!}{n!(n-k)!}\) menjadi bentuk kombinasi \(\displaystyle\binom{n}{k},\) sehingga \[\begin{aligned} P(X=k)&=\binom{n}{k}\frac{m!}{(m-k)!}\cdot\frac{(N-m)!}{(N-m-n+k)!}\cdot\frac{(N-n)!}{N!}\\ &=\binom{n}{k}\frac{m!}{(m-k)!}\cdot\frac{(N-m)!}{(N-m-n+k)!}\cdot\frac{(N-n)!}{N!} \end{aligned}\] Kembangkan bentuk faktorial menjadi \[\begin{aligned} P(X=k)&=\binom{n}{k}\frac{m!}{(m-k)!}\cdot\frac{(N-m)!}{(N-m-n+k)!}\cdot\frac{(N-n)!}{N!}\\ &=\binom{n}{k}\frac{m(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{N(N-1)(n-2)\cdots(N-k+1)}\cdot\frac{(N-m)(N-m-1)\dots(N-m-n+k+1)}{(N-k)(N-k-1)\cdots(N-n+1)} \end{aligned}\] Ganti komponen-komponen tersebut dalam bentuk \[\frac{m(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{N(N-1)(n-2)\cdots(N-k+1)}\approx\frac{m^k}{N^k}=p^k\] dan \[\begin{aligned} \frac{(N-m)(N-m-1)\dots(N-m-n+k+1)}{(N-k)(N-k-1)\cdots(N-n+1)}&\approx\frac{(N-m)^{n-k}}{N^{n-k}}\\ &\approx\left(\frac{N-m}{N}\right)^{n-k}\\ &\approx(1-p)^{n-k} \end{aligned}\] Sehingga diperoleh \[\lim_{N,m\to\infty \frac{m}{N}=p}P(X=k)\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\] yang merupakan fungsi peubah acak dari distribusi binomial.

0 Komentar untuk "Hubungan Distribusi Hipergeometrik dan Distribusi Binomial"