--> Skip to main content

Faktorial (!)

Faktorial bilangan asli \(n\) adalah perkalian semua bilangan asli yang kurang atau sama dengan \(n.\) Faktorial dilambangkan dengan tanda !. Jadi jika \(n!\), maka dibaca "\(n\) faktorial". \[n!=1\times 2\times \cdots\times (n-2)\times (n-1)\times n\] Berikut ini adalah faktorial \(1\) sampai dengan faktorial \(10.\) \[\begin{aligned} 1! &= 1\\ 2! &= 1\times 2 = 2\\ 3! &= 1\times 2\times 3 = 6\\ 4! &= 1\times 2\times 3\times 4 = 24\\ 5! &= 1\times 2\times 3\times 4\times 5 = 120\\ 7! &= 1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6\times 7 = 5040\\ 8! &= 1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6\times 7\times 8 = 40320\\ 9! &= 1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6\times 7\times 8\times 9 = 362880\\ 10! &= 1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6\times 7\times 8\times 9\times 10 = 3628800 \end{aligned}\] Catatan: hasil dari faktorial \(0\) adalah \(1\) \((0! = 1).\) Hasil ini dapat diketahui dari pembuktiannya di artikel: Mengapa 0 Faktorial Sama Dengan 1.

Faktorial biasa digunakan untuk menghitung banyaknya susunan yang dapat dibentuk dari sekumpulan benda tanpa memperhatikan urutannya.

Contoh Soal No. 1

Empat buah lukisan A, B, C dan D akan dipajang berurutan pada sebuah dinding pameran. Berapakah jumlah susunan yang dapat dibentuk dari keempat lukisan tersebut?

Jawab:

Karena jumlah lukisan yang akan dibentuk susunannya adalah 4 maka jumlah susunan yang bisa dibentuk adalah \(4!.\) \[\begin{aligned} 4! &= 1\times 2\times 3\times 4\\ &= 24 \end{aligned}\] Jadi jumlah susunan yang dapat dibentuk adalah 24 susunan. Ke-24 susunan tersebut adalah ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB, BACD, BADC, BCAD, BCDA, BDAC, BDCA, CABD, CADB, CBAD, CBDA, CDAB, CDBA, DABC, DACB, DBAC, DBCA, DCAB, DCBA.

Contoh Soal No. 2

Carilah nilai \(x\) pada persamaan di bawah ini. \[\frac{x!}{(x-2)!}=6\] Jawab:

Cara penyelesaiannya adalah sebagai berikut. \[\begin{aligned} \frac{x!}{(x-2)!}&=6\\ \frac{1\times 2\times \cdots\times (x-2)\times (x-1)\times x}{1\times 2\times \cdots\times (x-2)}&=6\\ (x-1)x &=6\\ x^2-x &=6\\ x^2-x-6 &=0 \end{aligned}\] Terdapat dua nilai \(x\) yang bisa diperoleh dari penyelesaian persamaan di atas, yaitu \(x=3\) dan \(x=-2.\) Namun demikian, namun demikian faktorial tidak mungkin bernilai negatif, oleh karena itu nilai \(x\) yang mungkin adalah \(3.\)

Contoh Soal No. 3

Hitunglah nilai dari \[\frac{15!}{2!(15-2)!}\] Jawab:

Penyelesaian dari soal di atas adalah \[\begin{aligned} \frac{15!}{2!(15-2)!}&=\frac{15!}{2!13!}\\ &=\frac{1\times 2\times \cdots\times 15}{(1\times 2)(1\times 2\times \cdots\times 13}\\ &=\frac{14\times 15}{1\times 2}\\ &=105 \end{aligned}\]