Distribusi Binomial | Rumus Statistik

Distribusi Binomial

Distribusi binomial muncul ketika percobaan bernoulli diulang sebanyak \(n\) kali. Setiap pengulangan, peluang sukses selalu sama yaitu \(p,\) begitu juga dengan peluang gagal yaitu \(1-p.\) Setiap pengulangan bebas terhadap pengulangan berikutnya.

Fungsi Padat Peluang


Distribusi binomial merupakan distribusi peluang diskret dengan fungsi peluangnya adalah \[ f(x)= \begin{cases} \displaystyle\binom{n}{x}p^x\left( 1-p \right)^{n-x}&\;\;\; x=1,2,...,n\\ \\ 0&\;\;\;\text{lainnya} \end{cases} \] dimana \(p\) adalah peluang sukses, \(n\) adalah banyaknya pengulangan dan \(x\) adalah banyaknya sukses dalam \(n\) kali pengulangan. Selain itu notasi \(\displaystyle\binom{n}{x}\) merupakan koefisien binomial, dimana \[ \binom{n}{x}=\frac{n!}{x!(n-x)!}. \]

Fungsi Distribusi Kumulatif


Fungsi distribusi kumulatif distribusi binomial adalah \[ F(x) = \sum_{k=0}^{x} \binom{n}{k} p^k(1-p)^{n-k} \qquad x=1,2,...,n \]

Mean


Rata-rata (Mean) distribusi binomial adalah \[ E(X)=np. \] Bukti: \[ \begin{aligned} E(X) &= \sum_{x=0}^n xf(x)\\ &=\sum_{x=0}^n x\frac{n!}{x!(n-x)!}p^x(1-p)^{n-x}\\ &=\sum_{x=0}^n x\frac{n(n-1)!}{x(x-1)!(n-x)!}pp^{x-1}(1-p)^{n-x}\\ &=np \sum_{x=0}^n \frac{(n-1)!}{(x-1)!(n-x)!}p^{x-1}(1-p)^{n-x}\\ &=n\end{aligned} \]

Varian


Varian distribusi binomial adalah \[ Var(X) = np(1-p). \] Bukti:\[ \begin{aligned} Var(X)&=E\left(\left[X-E(X)\right ]^2\right )\\ &= E(X^2)-\left [E(X) \right ]^2 \end{aligned} \] Untuk menyelesaikannya, tentukan bagian yang belum diketahui terlebih dahulu, yaitu \( E(X^2).\) \[ \begin{aligned} E(X^2)&= E(X^2)-E(X)+E(X)\\ &=E(X^2-X)+E(X)\\ &=E\left(X(X-1)\right)+E(X) \end{aligned} \] Selesaikan \(E\left(X(X-1) \right ).\) \[ \begin{aligned} E(X(X-1))&= \sum_{x=0}^n x(x-1)f(x) \\ &= \sum_{x=0}^n x(x-1)\frac{n!}{x!(n-x)!}p^x(1-p)^{n-x} \\ &= \sum_{x=0}^n x(x-1)\frac{n(n-1)(n-2)!}{x(x-1)(x-2)!(n-x)!}p^2p^{x-2}(1-p)^{n-x} \\ &= n(n-1)p^2 \sum_{x=0}^n \frac{(n-2)!}{(x-2)!(n-x)!}p^{x-2}(1-p)^{n-x} \\ &= n^2p^2-np^2 \end{aligned} \] Selanjutnya, \[ \begin{aligned} E(X^2) &= n^2p^2-np^2+np\\ &= n^2p^2+np(1-p) \end{aligned} \] Dengan demikian, \[ \begin{aligned} Var(X) &= n^2p^2+np(1-p) (np)^2\\ &= np(1-p) \end{aligned} \]

Fungsi Pembangkit Momen (MGF)


Fungsi pembangkit momen distribusi bernoulli adalah \[ M_x(t)=\left(1-p+pe^t\right)^n. \] Bukti: \[ \begin{aligned} M_x(t) &= E(e^{tx}) \\ &=\sum_{x=0}^{n}e^{tx}f(x) \\ &=\sum_{x=0}^{n}e^{tx}\binom{n}{x}p^x \left( 1-p \right)^{n-x} \\ &=\sum_{x=0}^{n}e^{tx}\frac{n!}{x!(n-x)!}p^x \left( 1-p \right)^{n-x} \\ &=\sum_{x=0}^{n}\frac{n!}{x!(n-x)!}{(pe^t)}^x \left( 1-p \right)^{n-x} \end{aligned} \] Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan teorema binomial newton, sehingga \[ \begin{aligned} M_x(t)&={(pe^t+1-p)}^{x+n-x}\\ &={(1-p+pe^t)}^n \end{aligned} \] Selanjutnya dapat diperoleh juga \[ \begin{aligned} M'_x &= npe^t \left ( 1-p+pe^t \right )^{n-1} \\ M''_x &= n(n-1){(pe^t)}^2{(1-p+pe^t)}^{n-2}\\ &\;\;\;\;+ npe^t \left ( 1-p+pe^t \right )^{n-1} \end{aligned} \] Momen-momen mentahnya (raw moments) adalah \[ \begin{aligned} \mu'_1 &= np \\ \mu'_2 &= np(1-p+np)\\ \mu'_3 &= np(1-3p+3np+2p^2-3np^2+n^2p^2)\\ \mu'_4 &= np(1-7p+7np+12p^2-18np^2+6n^2p^2\\ &\;\;\;\;-6p^3+11np^3-6n^2p^3+n^3p^3 \end{aligned} \] dan momen-momen pusat central moments \[ \begin{aligned} \mu_1 &= np \\ \mu_2 &= np(1-p)\\ \mu_3 &= np(1-p)(1-2p)\\ \mu_4 &= np(1-p)\left [ 3p^2(2-n)+3p(n-2)+1 \right ] \end{aligned} \]

Kemencengan (Skewness)


Kemencengan (Skewness) dari distribusi binomial adalah \[ \displaystyle\gamma_1 = \frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)}}. \] Bukti: \[ \begin{aligned} \gamma_1&= E\left(\left[\frac{X-E(X)}{\sqrt{Var(X)}}\right]^3\right)\\ &=\frac{\mu_3}{\sqrt{\mu_2^3}}\\ &=\frac{(1-2p)}{\sqrt{np(1-p)}} \end{aligned} \]

Keruncingan (kurtosis)


Keruncingan (kurtosis) dari distribusi binomial adalah \[ \displaystyle\gamma_2 = \frac{6p^2-6p+1}{np(1-p)} \] Bukti: \[ \begin{aligned} \gamma_2 &= E\left(\left[\frac{X-E(X)}{\sqrt{Var(X)}}\right ]^4\right )\\ &= \frac{\mu_4}{\sqrt{\mu_2^4}}\\ &= \frac{3p^2(2-n)+3p(n-2)+1}{\sqrt {np(1-p)}}+3\\ &= \frac{6np^2-6p+1}{np(1-p)} \end{aligned} \]

Fungsi Karakteristik

\[ \varphi_x(t)=\left(1-p+pe^{it}\right)^n \]

Fungsi Pembangkit Peluang

\[ G_x(t)=\left(1-p+p^t \right)^n \]

Hubungan dengan Fungsi Beta


Peluang yang mengandung banyak sukses dari \(n\) observasi dari distribusi binomial adalah \[ \begin{aligned} P&=\sum_{k=x+1}^{n}\binom{n}{k}p^k{(1-p)}^{n-k}\\ &=I_p(x+1,n-x) \end{aligned} \] dimana \[ I_x(a,b)\equiv\frac{B(x;a,b)}{B(a,b)}. \] \(B(a,b)\) adalah fungsi beta (beta function) dan \(B(x;a,b)\) adalah fungsi beta tak lengkap (incomplete beta function).


Soal dan Pembahasan


Contoh Soal #1

Dalam suatu pertandingan, peluang Ronaldo dapat mencetak gol adalah 5/6, jika ronaldo diberi kesempatan menendang sebanyak 5 kali. Tentukan besar peluang Ronaldo mencetak 4 kali gol!

Jawab

Diketahui \(p=\frac{5}{6}\) dan \(n=5\) maka \(P(X=4\) adalah \[ \begin{aligned} P(X=x)&=\binom{n}{x}p^x \left(1-p\right)^{n-x}\\ P(X=4)&=\binom{5}{4}\left(\frac{5}{6}\right)^4 \left(1-\frac{5}{6}\right)^{5-4}\\ &=0\text{,}40 \end{aligned} \] Contoh Soal #2

Misalkan sebuah mata uang memiliki dua sisi yaitu Muka (M) dan Belakang (B) yang akan diundi sebanyak 6 kali. Berapakah peluang pada undian akan muncul:
a. Ada dua sisi M
b. Ada lebih dari dua sisi M

Jawab

a. Ada dua sisi M

Diketahui peluang muncul M untuk satu kali pelemparan adalah 1/2 \((p=12)\) dan banyaknya pelemparan adalah 6 kali \((n=6).\) Peluang muncul dua sisi M adalah \[ \begin{aligned} P(X=2)&=\binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}\\ &=\binom{6}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(1-\frac{1}{2}\right)^{6-2}\\ &=\frac{6!}{2!(6-2)!}\frac{1}{2^2}\frac{1}{2^4}\\ &=\frac{15}{64} \end{aligned} \] b. Ada lebih dari dua sisi M

Peluang muncul besar dari dua sisi M adalah \[ \begin{aligned} P(X>2)&=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)\\ &=\frac{20}{64}+\frac{15}{64}+\frac{6}{64}+\frac{1}{64}\\ &=\frac{21}{32} \end{aligned} \]

2 Komentar untuk "Distribusi Binomial"

Selamat siang admin, mau nanya
Bedanya fungsi pembangkit momen, fungsi karakteristik dan fungsi pembangkit peluang apa ya??
dab kegunaan dari pembangkit momen, fungsi karakteristik dan fungsi pembangkit peluang untuk apa?

Terima kasih

Fungsi karakteristik merupakan perluasan dari fungsi pembangkit momen. Fungsi karakteristik suatu distribusi selalu ada, sedangkan fungsi pembangkit momennya bisa saja tidak ada. Hal ini karena ruang lingkup fungsi pembangkit momen terbatas pada ruang ril saja, sedangkan fungsi karakteristik memiliki lingkup yang lebih komplek yaitu mencakup bilangan imajiner.