Distribusi Binomial

Distribusi binomial muncul ketika percobaan bernoulli diulang sebanyak $n$ kali. Setiap pengulangan, peluang sukses selalu sama yaitu $p$, begitu juga dengan peluang gagal yaitu $(1 – p).$ Setiap pengulangan bebas terhadap pengulangan berikutnya.

Fungsi Padat Peluang

Distribusi binomial merupakan distribusi peluang diskret dengan fungsi peluangnya adalah \[f(x)= \begin{cases} \displaystyle\binom{n}{x}p^x \left( 1-p \right)^{n-x} &\;\;\; x=1,2,...,n \\ \\ 0 &\;\;\; \text{lainnya} \end{cases}\] dimana $p$ adalah peluang sukses, $n$ adalah banyaknya pengulangan dan $x$ adalah banyaknya sukses dalam $n$ kali pengulangan. Selain itu notasi $\displaystyle\binom{n}{x}$ merupakan koefisien binomial, dimana \[\binom{n}{x}=\frac{n!}{x!(n-x)!}.\]
Fungsi Distribusi Kumulatif

Fungsi distribusi kumulatif distribusi binomial adalah \[ F(x) = \sum_{k=0}^{x} \binom{n}{k} p^k(1-p)^{n-k} \qquad x=1,2,...,n \]
Mean

Rata-rata (Mean) distribusi binomial adalah \(E(X) = np.\)
Bukti:\begin{align*} E(X) &= \sum_{x=0}^n xf(x) \\ &= \sum_{x=0}^n x\frac{n!}{x!(n-x)!}p^x(1-p)^{n-x} \\ &= \sum_{x=0}^n x\frac{n(n-1)!}{x(x-1)!(n-x)!}pp^{x-1}(1-p)^{n-x} \\ &= np \sum_{x=0}^n \frac{(n-1)!}{(x-1)!(n-x)!}p^{x-1}(1-p)^{n-x} \\ &= np\end{align*}

Varian

Varian distribusi binomial adalah \(Var(X) = np(1 – p).\)
Bukti: \begin{align*} Var(X) &= E\left (\left [X-E(X)\right ]^2\right )\\ &= E(X^2)-\left [E(X) \right ]^2 \end{align*} Untuk menyelesaikannya, tentukan bagian yang belum diketahui terlebih dahulu, yaitu \( E(X^2). \) \begin{align*} E(X^2) &= E(X^2)-E(X)+E(X)\\ &= E(X^2-X)+E(X)\\ &= E\left (X(X-1)\right )+E(X) \end{align*} Selesaikan \( E\left ( X(X-1) \right ). \) \begin{align*} E(X(X-1))&= \sum_{x=0}^n x(x-1)f(x) \\ &= \sum_{x=0}^n x(x-1)\frac{n!}{x!(n-x)!}p^x(1-p)^{n-x} \\ &= \sum_{x=0}^n x(x-1)\frac{n(n-1)(n-2)!}{x(x-1)(x-2)!(n-x)!}p^2p^{x-2}(1-p)^{n-x} \\ &= n(n-1)p^2 \sum_{x=0}^n \frac{(n-2)!}{(x-2)!(n-x)!}p^{x-2}(1-p)^{n-x} \\ &= n^2p^2-np^2 \end{align*} Selanjutnya, \begin{align*} E(X^2) &= n^2p^2-np^2+np\\ &= n^2p^2+np(1-p) \end{align*} Dengan demikian, \begin{align*} Var(X) &= n^2p^2+np(1-p) (np)^2\\ &= np(1-p) \end{align*}

Fungsi Pembangkit Momen (MGF)

Fubgsi pembangkit momen distribusi bernoulli adalah $M_x(t) = \left (1 – p + pe^t \right )^n.$
Bukti: \begin{align*} M_x(t) &= E(e^{tx}) \\ &=\sum_{x=0}^{n}e^{tx}f(x) \\ &=\sum_{x=0}^{n}e^{tx}\binom{n}{x}p^x \left( 1-p \right)^{n-x} \\ &=\sum_{x=0}^{n}e^{tx}\frac{n!}{x!(n-x)!}p^x \left( 1-p \right)^{n-x} \\ &=\sum_{x=0}^{n}\frac{n!}{x!(n-x)!}{(pe^t)}^x \left( 1-p \right)^{n-x} \end{align*} Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan teorema binomial newton, sehingga \begin{align*} M_x(t) &= {(pe^t+1-p)}^{x+n-x} \\ &= {(1-p+pe^t)}^n \end{align*}
Selanjutnya dapat diperoleh juga \begin{align*} M'_x &= npe^t \left ( 1-p+pe^t \right )^{n-1} \\ M''_x &= n(n-1){(pe^t)}^2{(1-p+pe^t)}^{n-2}\\ &\;\;\;\;+ npe^t \left ( 1-p+pe^t \right )^{n-1} \end{align*} Momen-momen mentahnya (raw moments) adalah \begin{align*} \mu'_1 &= np \\ \mu'_2 &= np(1-p+np)\\ \mu'_3 &= np(1-3p+3np+2p^2-3np^2+n^2p^2)\\ \mu'_4 &= np(1-7p+7np+12p^2-18np^2+6n^2p^2\\ &\;\;\;\;-6p^3+11np^3-6n^2p^3+n^3p^3 \end{align*} dan momen-momen pusat central moments \begin{align*} \mu_1 &= np \\ \mu_2 &= np(1-p)\\ \mu_3 &= np(1-p)(1-2p)\\ \mu_4 &= np(1-p)\left [ 3p^2(2-n)+3p(n-2)+1 \right ] \end{align*}
Kemencengan (Skewness)

Kemencengan (Skewness) dari distribusi binomial adalah \(\displaystyle\gamma_1 = \frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)}}.\)
Bukti: \begin{align*} \gamma_1 &= E \left ( \left [ \frac {X-E(X)}{\sqrt {Var(X)}} \right ]^3 \right ) \\ &= \frac {\mu_3}{\sqrt {\mu_2^3}} \\ &= \frac {(1-2p)}{\sqrt {np(1-p)}} \end{align*}

Keruncingan (kurtosis)

Keruncingan (kurtosis) dari distribusi binomial adalah \(\displaystyle\gamma_2 = \frac{6p^2-6p+1}{np(1-p)}\)
Bukti: \begin{align*} \gamma_2 &= E \left ( \left [ \frac {X-E(X)}{\sqrt {Var(X)}} \right ]^4 \right ) \\ &= \frac {\mu_4}{\sqrt {\mu_2^4}} \\ &= \frac {3p^2(2-n)+3p(n-2)+1}{\sqrt {np(1-p)}}+3\\ &= \frac {6np^2-6p+1}{np(1-p)} \end{align*}

Fungsi Karakteristik

$\varphi_x(t) = \left (1 – p + pe^{it} \right )^n$

Fungsi Pembangkit Peluang

$G_x(t) = \left (1 – p + p^t \right)^n$

Hubungan dengan Fungsi Beta

Peluang yang mengandung banyak sukses dari $n$ observasi dari distribusi binomial adalah \[\begin{align*} P &= \sum_{k=x+1}^{n}\binom{n}{k}p^k{(1-p)}^{n-k}\\ &= I_p(x+1,n-x)\end{align*}\] dimana \[I_x(a,b) \equiv \frac{B(x;a,b)}{B(a,b)}.\] $B(a,b)$ adalah fungsi beta (beta function) dan $B(x;a,b)$ adalah fungsi beta tak lengkap (incomplete beta function).

Share:

Tidak ada komentar:

Posting Komentar