Distribusi Binomial


Distribusi binomial muncul ketika percobaan bernoulli diulang sebanyak $n$ kali. Setiap pengulangan, peluang sukses selalu sama yaitu $p$, begitu juga dengan peluang gagal yaitu $(1 – p).$ Setiap pengulangan bebas terhadap pengulangan berikutnya.

Fungsi Padat Peluang

Distribusi binomial merupakan distribusi peluang diskret dengan fungsi peluangnya adalah \[f(x;n,p)= \begin{cases} \displaystyle\binom{n}{x}p^x \left( 1-p \right)^{n-x} &\;\;\; x=1,2,...,n \\ \\ 0 &\;\;\; \text{lainnya} \end{cases}\] dimana $p$ adalah peluang sukses, $n$ adalah banyaknya pengulangan dan $x$ adalah banyaknya sukses dalam $n$ kali pengulangan. Selain itu notasi $\displaystyle\binom{n}{x}$ merupakan koefisien binomial, dimana \[\binom{n}{x}=\frac{n!}{x!(n-x)!}.\]
Mean
$E(X) = np$

Varian
$Var(X) = np(1 – p)$
Baca: Nilai Harapan Distribusi Binomial
Fungsi Pembangkit Momen (MGF)

Fubgsi pembangkit momen distribusi bernoulli adalah $M_x(t) = \left (1 – p + pe^t \right )^n.$
Bukti: \[\begin{align*} M_x(t) &= E(e^{tx}) \\ &=\sum_{x=0}^{n}e^{tx}f(x) \\ &=\sum_{x=0}^{n}e^{tx}\binom{n}{x}p^x \left( 1-p \right)^{n-x} \\ &=\sum_{x=0}^{n}e^{tx}\frac{n!}{x!(n-x)!}p^x \left( 1-p \right)^{n-x} \\ &=\sum_{x=0}^{n}\frac{n!}{x!(n-x)!}{(pe^t)}^x \left( 1-p \right)^{n-x} \end{align*}\] Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan teorema binomial newton, sehingga \[\begin{align*} M_x(t) &= {(pe^t+1-p)}^{x+n-x} \\ &= {(1-p+pe^t)}^n \end{align*}\]
Selanjutnya dapat diperoleh juga \[\begin{align*} M'_x &= npe^t \left ( 1-p+pe^t \right )^{n-1} \\ M''_x &= n(n-1){(pe^t)}^2{(1-p+pe^t)}^{n-2}\\ &\;\;\;\;+ npe^t \left ( 1-p+pe^t \right )^{n-1} \end{align*}\] Momen-momen mentahnya (raw moments) adalah \[\begin{align*} \mu'_1 &= np \\ \mu'_2 &= np(1-p+np)\\ \mu'_3 &= np(1-3p+3np+2p^2-3np^2+n^2p^2)\\ \mu'_4 &= np(1-7p+7np+12p^2-18np^2+6n^2p^2\\ &\;\;\;\;-6p^3+11np^3-6n^2p^3+n^3p^3 \end{align*}\] dan momen-momen pusat central moments \[\begin{align*} \mu_1 &= np \\ \mu_2 &= np(1-p)\\ \mu_3 &= np(1-p)(1-2p)\\ \mu_4 &= np(1-p)\left [ 3p^2(2-n)+3p(n-2)+1 \right ] \end{align*}\]
Kemencengan (Skewness)

$\displaystyle\gamma_1 = \frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)}}$

Keruncingan (kurtosis)

$\displaystyle\gamma_2 = \frac{6p^2-6p+1}{np(1-p)}$

Fungsi Karakteristik

$\varphi_x(t) = \left (1 – p + pe^{it} \right )^n$

Fungsi Pembangkit Peluang

$G_x(t) = \left (1 – p + p^t \right)^n$

Hubungan dengan Fungsi Beta

Peluang yang mengandung banyak sukses dari $n$ observasi dari distribusi binomial adalah \[\begin{align*} P &= \sum_{k=x+1}^{n}\binom{n}{k}p^k{(1-p)}^{n-k}\\ &= I_p(x+1,n-x)\end{align*}\] dimana \[I_x(a,b) \equiv \frac{B(x;a,b)}{B(a,b)}.\] $B(a,b)$ adalah fungsi beta (beta function) dan $B(x;a,b)$ adalah fungsi beta tak lengkap (incomplete beta function).

0 Response to "Distribusi Binomial"

Posting Komentar

Powered by MathJax