Distribusi Binomial




Distribusi binomial muncul ketika percobaan bernoulli diulang sebanyak $n$ kali. Setiap pengulangan, peluang sukses selalu sama yaitu $p$, begitu juga dengan peluang gagal yaitu $(1 – p).$ Setiap pengulangan bebas terhadap pengulangan berikutnya.

Fungsi Padat Peluang

Distribusi binomial merupakan distribusi peluang diskret dengan fungsi peluangnya adalah \[f(x)= \begin{cases} \displaystyle\binom{n}{x}p^x \left( 1-p \right)^{n-x} &\;\;\; x=1,2,...,n \\ \\ 0 &\;\;\; \text{lainnya} \end{cases}\] dimana $p$ adalah peluang sukses, $n$ adalah banyaknya pengulangan dan $x$ adalah banyaknya sukses dalam $n$ kali pengulangan. Selain itu notasi $\displaystyle\binom{n}{x}$ merupakan koefisien binomial, dimana \[\binom{n}{x}=\frac{n!}{x!(n-x)!}.\]
Fungsi Distribusi Kumulatif

Fungsi distribusi kumulatif distribusi binomial adalah \[ F(x) = \sum_{k=0}^{x} \binom{n}{k} p^k(1-p)^{n-k} \qquad x=1,2,...,n \]
Mean

Rata-rata (Mean) distribusi binomial adalah \(E(X) = np.\)
Bukti:\begin{align*} E(X) &= \sum_{x=0}^n xf(x) \\ &= \sum_{x=0}^n x\frac{n!}{x!(n-x)!}p^x(1-p)^{n-x} \\ &= \sum_{x=0}^n x\frac{n(n-1)!}{x(x-1)!(n-x)!}pp^{x-1}(1-p)^{n-x} \\ &= np \sum_{x=0}^n \frac{(n-1)!}{(x-1)!(n-x)!}p^{x-1}(1-p)^{n-x} \\ &= np\end{align*}

Varian

Varian distribusi binomial adalah \(Var(X) = np(1 – p).\)
Bukti: \begin{align*} Var(X) &= E\left (\left [X-E(X)\right ]^2\right )\\ &= E(X^2)-\left [E(X) \right ]^2 \end{align*} Untuk menyelesaikannya, tentukan bagian yang belum diketahui terlebih dahulu, yaitu \( E(X^2). \) \begin{align*} E(X^2) &= E(X^2)-E(X)+E(X)\\ &= E(X^2-X)+E(X)\\ &= E\left (X(X-1)\right )+E(X) \end{align*} Selesaikan \( E\left ( X(X-1) \right ). \) \begin{align*} E(X(X-1))&= \sum_{x=0}^n x(x-1)f(x) \\ &= \sum_{x=0}^n x(x-1)\frac{n!}{x!(n-x)!}p^x(1-p)^{n-x} \\ &= \sum_{x=0}^n x(x-1)\frac{n(n-1)(n-2)!}{x(x-1)(x-2)!(n-x)!}p^2p^{x-2}(1-p)^{n-x} \\ &= n(n-1)p^2 \sum_{x=0}^n \frac{(n-2)!}{(x-2)!(n-x)!}p^{x-2}(1-p)^{n-x} \\ &= n^2p^2-np^2 \end{align*} Selanjutnya, \begin{align*} E(X^2) &= n^2p^2-np^2+np\\ &= n^2p^2+np(1-p) \end{align*} Dengan demikian, \begin{align*} Var(X) &= n^2p^2+np(1-p) (np)^2\\ &= np(1-p) \end{align*}

Fungsi Pembangkit Momen (MGF)

Fubgsi pembangkit momen distribusi bernoulli adalah $M_x(t) = \left (1 – p + pe^t \right )^n.$
Bukti: \begin{align*} M_x(t) &= E(e^{tx}) \\ &=\sum_{x=0}^{n}e^{tx}f(x) \\ &=\sum_{x=0}^{n}e^{tx}\binom{n}{x}p^x \left( 1-p \right)^{n-x} \\ &=\sum_{x=0}^{n}e^{tx}\frac{n!}{x!(n-x)!}p^x \left( 1-p \right)^{n-x} \\ &=\sum_{x=0}^{n}\frac{n!}{x!(n-x)!}{(pe^t)}^x \left( 1-p \right)^{n-x} \end{align*} Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan teorema binomial newton, sehingga \begin{align*} M_x(t) &= {(pe^t+1-p)}^{x+n-x} \\ &= {(1-p+pe^t)}^n \end{align*}
Selanjutnya dapat diperoleh juga \begin{align*} M'_x &= npe^t \left ( 1-p+pe^t \right )^{n-1} \\ M''_x &= n(n-1){(pe^t)}^2{(1-p+pe^t)}^{n-2}\\ &\;\;\;\;+ npe^t \left ( 1-p+pe^t \right )^{n-1} \end{align*} Momen-momen mentahnya (raw moments) adalah \begin{align*} \mu'_1 &= np \\ \mu'_2 &= np(1-p+np)\\ \mu'_3 &= np(1-3p+3np+2p^2-3np^2+n^2p^2)\\ \mu'_4 &= np(1-7p+7np+12p^2-18np^2+6n^2p^2\\ &\;\;\;\;-6p^3+11np^3-6n^2p^3+n^3p^3 \end{align*} dan momen-momen pusat central moments \begin{align*} \mu_1 &= np \\ \mu_2 &= np(1-p)\\ \mu_3 &= np(1-p)(1-2p)\\ \mu_4 &= np(1-p)\left [ 3p^2(2-n)+3p(n-2)+1 \right ] \end{align*}
Kemencengan (Skewness)

Kemencengan (Skewness) dari distribusi binomial adalah \(\displaystyle\gamma_1 = \frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)}}.\)
Bukti: \begin{align*} \gamma_1 &= E \left ( \left [ \frac {X-E(X)}{\sqrt {Var(X)}} \right ]^3 \right ) \\ &= \frac {\mu_3}{\sqrt {\mu_2^3}} \\ &= \frac {(1-2p)}{\sqrt {np(1-p)}} \end{align*}

Keruncingan (kurtosis)

Keruncingan (kurtosis) dari distribusi binomial adalah \(\displaystyle\gamma_2 = \frac{6p^2-6p+1}{np(1-p)}\)
Bukti: \begin{align*} \gamma_2 &= E \left ( \left [ \frac {X-E(X)}{\sqrt {Var(X)}} \right ]^4 \right ) \\ &= \frac {\mu_4}{\sqrt {\mu_2^4}} \\ &= \frac {3p^2(2-n)+3p(n-2)+1}{\sqrt {np(1-p)}}+3\\ &= \frac {6np^2-6p+1}{np(1-p)} \end{align*}

Fungsi Karakteristik

$\varphi_x(t) = \left (1 – p + pe^{it} \right )^n$

Fungsi Pembangkit Peluang

$G_x(t) = \left (1 – p + p^t \right)^n$

Hubungan dengan Fungsi Beta

Peluang yang mengandung banyak sukses dari $n$ observasi dari distribusi binomial adalah \[\begin{align*} P &= \sum_{k=x+1}^{n}\binom{n}{k}p^k{(1-p)}^{n-k}\\ &= I_p(x+1,n-x)\end{align*}\] dimana \[I_x(a,b) \equiv \frac{B(x;a,b)}{B(a,b)}.\] $B(a,b)$ adalah fungsi beta (beta function) dan $B(x;a,b)$ adalah fungsi beta tak lengkap (incomplete beta function).
Share:

1 komentar:

  1. Selamat siang admin, mau nanya
    Bedanya fungsi pembangkit momen, fungsi karakteristik dan fungsi pembangkit peluang apa ya??
    dab kegunaan dari pembangkit momen, fungsi karakteristik dan fungsi pembangkit peluang untuk apa?

    Terima kasih

    BalasHapus