Distribusi Hipergeometrik | Rumus Statistik

Distribusi Hipergeometrik

Distribusi peluang peubah acak hipergeometrik adalah banyaknya sukses \(x\) dalam sampel acak ukuran \(n\) yang diambil dari populasi sebanyak \(N\) yang mengandung jumlah sukses sebanyak \(k\).

Fungsi Padat Peluang \[h\left(x;N,n,k\right)=\begin{cases} \frac{\displaystyle\binom{k}{x}\binom{N-k}{n-x}}{\displaystyle\binom{N}{n}} & \text{,} x=1,2,\cdots,n \\ \\ 0 & \text{,} x\text{ lainnya} \end{cases}\] Keterangan:
\(N\) = jumlah populasi
\(n\) = jumlah sampel
\(k\) = jumlah sukses
\(x\) = jumlah sukses terambil.
Mean \[E(X)=\frac{nk}{N}\] Modus \[Mo=\frac{(n+1)(k+1)}{N+2}\] Varian \[Var(X)=\frac{nk(N-k)(N-n)}{N^2(N-1)}\] Baca juga:
Contoh Soal No. 1

Dalam sebuah kotak terdapat 7 bola yang 3 diantaranya berwarna merah. Jika dari dalam tersebut diambil 3 bola secara acak, hitunglah peluang terambilnya bola tersebut terdapat:
a. satu bola berwarna merah?
b. dua bola bewarna merah?
c. ketiga-tiganya berwarna merah?
d. tidak ada bola berwarna merah?

Jawab:

Dari soal tersebut diketahui \(N=7,\) \(k=3\) dan \(n=3,\) dengan demikian maka

a. satu bola berwarna merah
\[\begin{aligned} P(X=x)&=\frac{\binom{k}{x}\binom{N-k}{n-x}}{\binom{N}{n}}\\ P(X=1)&=\frac{\binom{3}{1}\binom{7-3}{3-1}}{\binom{7}{3}}\\ &=\frac{3\times6}{35}\\ &=\frac{18}{35} \end{aligned}\] b. dua bola berwarna merah
\[\begin{aligned} P(X=2)&=\frac{\binom{3}{2}\binom{7-3}{3-2}}{\binom{7}{3}}\\ &=\frac{3\times4}{35}\\ &=\frac{12}{35} \end{aligned}\] c. ketiga-tiganya berwarna merah
\[\begin{aligned} P(X=3)&=\frac{\binom{3}{3}\binom{7-3}{3-3}}{\binom{7}{3}}\\ &=\frac{1\times1}{35}\\ &=\frac{1}{35} \end{aligned}\] d. tidak ada warna merah
\[\begin{aligned} P(X=0)&=\frac{\binom{3}{0}\binom{7-3}{3-0}}{\binom{7}{3}}\\ &=\frac{1\times4}{35}\\ &=\frac{4}{35} \end{aligned}\]

Contoh Soal No. 2

Dalam sebuah kotak terdapat 7 bola yang 3 diantaranya berwarna merah. Jika dari dalam tersebut diambil 2 bola secara acak, hitunglah peluang terambilnya bola tersebut terdapat:
a. satu bola berwarna merah?
b. dua bola bewarna merah?
c. tidak ada bola berwarna merah?

Jawab:

Dari soal tersebut diketahui \(N=7,\) \(k=3\) dan \(n=2,\) dengan demikian maka

a. satu bola berwarna merah
\[\begin{aligned} P(X=x)&=\frac{\binom{k}{x}\binom{N-k}{n-x}}{\binom{N}{n}}\\ P(X=1)&=\frac{\binom{2}{1}\binom{7-3}{2-1}}{\binom{7}{3}}\\ &=\frac{2\times10}{35}\\ &=\frac{20}{35} \end{aligned}\] b. dua bola berwarna merah
\[\begin{aligned} P(X=2)&=\frac{\binom{2}{2}\binom{7-3}{2-2}}{\binom{7}{3}}\\ &=\frac{1\times5}{35}\\ &=\frac{5}{35} \end{aligned}\] c. tidak ada warna merah
\[\begin{aligned} P(X=0)&=\frac{\binom{2}{0}\binom{7-3}{2-0}}{\binom{7}{3}}\\ &=\frac{1\times10}{35}\\ &=\frac{10}{35} \end{aligned}\]
Contoh Soal No. 3

Suatu pabrik ban motor melaporkan bahwa dari 5 ban yang dikirimkan ke suatu toko terdapat 2 ban yang cacat. Bila seseorang membeli 3 ban ditoko tersebut, maka hitung:
a) peluang terdapat satu ban cacat yang dibelinya,
b) peluang tidak ada ban cacat yang dibelinya.

Jawab:

Dari soal tersebut diketahui \(N=5,\) \(k=2\) dan \(n=3,\) dengan demikian maka

a. peluang terdapat satu ban cacat yang dibelinya
\[\begin{aligned} P(X=x)&=\frac{\binom{k}{x}\binom{N-k}{n-x}}{\binom{N}{n}}\\ P(X=1)&=\frac{\binom{2}{1}\binom{5-2}{3-1}}{\binom{5}{3}}\\ &=\frac{2\times3}{10}\\ &=\frac{6}{10} \end{aligned}\] b. peluang tidak ada ban cacat yang dibelinya
\[\begin{aligned} P(X=2)&=\frac{\binom{2}{0}\binom{5-2}{3-0}}{\binom{5}{3}}\\ &=\frac{1\times1}{10}\\ &=\frac{1}{10} \end{aligned}\]
Contoh Soal No. 4

Sebuah toko mengirim 6 buah komputer, 2 diantaranya cacat/rusak. Sebuah sekolah membeli 3 buah komputer secara acak dari kiriman tersebut. Berapakah peluang terbeli
a. satu komputer cacat?
b. dua komputer cacat?
c. tidak ada yang cacat?

Jawab:

Dari soal di tersebut dapat kita diketahui \(N=6,\) \(k=3\) dan \(n=2,\) sehingga
a. peluang satu komputer cacat
\[\begin{aligned} P(X=x)&=\frac{\binom{k}{x}\binom{N-k}{n-x}}{\binom{N}{n}}\\ P(X=1)&=\frac{\binom{2}{1}\binom{6-2}{3-1}}{\binom{6}{3}}\\ &=\frac{2\times56}{20}\\ &=0\text{,}6 \end{aligned}\] b. peluang dua komputer cacat
\[\begin{aligned} P(X=2)&=\frac{\binom{2}{2}\binom{6-2}{3-2}}{\binom{6}{3}}\\ &=\frac{1\times4}{20}\\ &=0\text{,}2 \end{aligned}\] c. peluang tidak ada yang cacat
\[\begin{aligned} P(X=0)&=\frac{\binom{2}{0}\binom{6-2}{3-0}}{\binom{6}{3}}\\ &=\frac{1\times4}{20}\\ &=0\text{,}2 \end{aligned}\]
Contoh Soal No. 5

Sebuah toko memiliki 25 bola lampu, 5 diantaranya cacat. Apabila seseorang membeli 4 buah bola lampu di toko tersebut, berapakah peluang dia mendapatkan bola lampu
a. satu bola lampu cacat?
b. dua bola lampu cacat?
c. tiga bola lampu cacat?
d. semuanya cacat?
e. tidak ada yang cacat?

Jawab:

Dari soal di tersebut dapat kita diketahui \(N=25,\) \(k=5\) dan \(n=4,\) sehingga
a. peluang satu bola lampu cacat
\[\begin{aligned} P(X=x)&=\frac{\binom{k}{x}\binom{N-k}{n-x}}{\binom{N}{n}}\\ P(X=1)&=\frac{\binom{5}{1}\binom{25-5}{4-1}}{\binom{25}{4}}\\ &=\frac{4\times5985}{53130}\\ &=0\text{,}4506 \end{aligned}\] b. peluang dua bola lampu cacat
\[\begin{aligned} P(X=2)&=\frac{\binom{5}{2}\binom{25-5}{4-2}}{\binom{25}{4}}\\ &=\frac{6\times1330}{53130}\\ &=0\text{,}1502 \end{aligned}\] c. peluang tiga bola lampu cacat
\[\begin{aligned} P(X=3)&=\frac{\binom{5}{3}\binom{25-5}{4-3}}{\binom{25}{4}}\\ &=\frac{4\times210}{53130}\\ &=0\text{,}0158 \end{aligned}\] d. peluang semuanya cacat
\[\begin{aligned} P(X=4)&=\frac{\binom{5}{4}\binom{25-5}{4-4}}{\binom{25}{4}}\\ &=\frac{1\times21}{53130}\\ &=0\text{,}0004 \end{aligned}\] e. peluang tidak ada yang cacat
\[\begin{aligned} P(X=0)&=\frac{\binom{5}{0}\binom{25-5}{4-0}}{\binom{25}{4}}\\ &=\frac{1\times20349}{53130}\\ &=0\text{,}3830 \end{aligned}\]

0 Komentar untuk "Distribusi Hipergeometrik"