--> Skip to main content

Permutasi

Permutasi adalah susunan yang dapat dibentuk dari suatu kumpulan objek yang diambil sebagian atau seluruhnya dengan memperhatikan urutannya.

Poin penting yang menjadi perbedaan antara permutasi dan kombinasi adalah perhatian pada pengurutannya ini, dimana pada permutasi memperhatikan urutan, sedangkan pada kombinasi tidak memperhatikan urutan. Susunan \(XY\) dan \(YX\) pada permutasi dihitung dua, sedangkan pada kombinasi hanya dihitung satu.

Notasi dari permutasi adalah \(P.\) Jika \(k\) objek diambil dari \(n\) objek maka banyaknya susunan yang dapat dibentuk disebut dengan \(n\) permutasi \(k,\) yang dinotasinya dengan \(^nP_k,\) dimana \[^nP_k = \frac {n!}{(n-k)!}\] Notasi \(!\) adalah faktorial. Silahkan baca kembali artikel Faktorial.

Contoh Soal No. 1

Hitunglah \(^6P_2,\) \(^{10}P_4\) dan \(^{15}P_3\)?

Jawab:

  1. Diketahui \(n=6\) dan \(k=2,\) maka
  2. \[\begin{aligned} {^nP_k} &= \frac {n!}{(n-k)!}\\ {^6P_2} &= \frac {6!}{(6-2)!}\\ &= \frac {6!}{4!}\\ &= \frac {6\times 5\times 4!}{4!}\\ &=6\times 5\\ &=30 \end{aligned}\]
  3. Diketahui \(n=10\) dan \(k=6,\) maka
  4. \[\begin{aligned} {^nP_k} &= \frac {n!}{(n-k)!}\\ {^{10}P_4} &= \frac {10!}{(10-4)!}\\ &= \frac {10!}{6!}\\ &= \frac {10\times 9\times 8\times 7 \times 6!}{6!}\\ &=10\times 9\times 8\times 7\\ &=5040 \end{aligned}\]
  5. Diketahui \(n=15\) dan \(k=3,\) maka
  6. \[\begin{aligned} {^nP_k} &= \frac {n!}{(n-k)!}\\ {^{15}P_3} &= \frac {15!}{(15-3)!}\\ &= \frac {15!}{12!}\\ &= \frac {15\times 14\times 13 \times 12!}{12!}\\ &=15\times 14\times 13\\ &=2730 \end{aligned}\]

Contoh Soal No. 2


Berapakah banyaknya susunan 2 huruf yang dapat dibentuk dari huruf A, B dan C?

Jawab:

Diketahui susunan yang akan dibentuk adalah \(k=2\) objek yang disusun dari \(n=3\) objek, sehingga banyaknya susunan yang terbentuk adalah \[\begin{aligned} {^nP_k} &= \frac {n!}{(n-k)!}\\ {^3P_2} &= \frac {3!}{(3-2)!}\\ &= \frac {3!}{1!}\\ &= \frac {3\times 2\times 1!}{1!}\\ &=3\times 2\\ &=6 \end{aligned}\] Susunan yang terbentuk tersebut adalah AB, AC, BA, BC, CA dan CB

Contoh Soal No. 3

Diketahui \(^nP_2=72,\) berapakah nilai \(n\)?

Jawab:

\[\begin{aligned} ^nP_2 &= 72\\ \frac {n!}{(n-2)!} &= 72\\ \frac {n(n-1)(n-2)!}{(n-2)!} &= 72\\ n(n-1) &= 72\\ n^2-n &= 72\\ n^2-n-72 &= 0\\ (n+8)(n-9) &= 0 \end{aligned}\] Dari persamaan tersebut maka nilai yang diperoleh adalah \(n=-8\) dan \(n=9,\) nilai yang memenuhi syarat adalah \(n=9.\)

Contoh Soal No. 4

Lima orang pemain catur akan memperebutkan juara satu, dua dan tiga pada sebuah turnamen catur. Berapakah banyaknya susunan juara satu, dua dan tiga yang dapat dibentuk dari kelima pemain tersebut?

Jawab:

Dari soal di atas, kita akan membuat susunan urutan 3 juara dari 5 pemain catur, sehingga \(k = 3\) dan \(n = 5\). Dengan menggunakan rumus permutasi, banyaknya susunan juara yang dapat dibentuk adalah \[\begin{aligned} {^nP_k} = {^5P_3} &= \frac {5!}{(5-3)!}\\ &= \frac {5!}{2!}\\ &=3\times4\times5\\ &=60 \end{aligned}\]
Contoh Soal No. 5

Sebuah organisasi mahasiswa memiliki 7 orang yang kompeten untuk mengisi posisi ketua, wakil ketua, sekretaris dan bendahara. Berapakah banyaknya cara untuk memilih susunan posisi tersebut?

Jawab:

Tujuh orang yang kompeten akan menenpati empat posisi, sehingga banyaknya susunan yang akan dibentuk adalah 7 kombinasi 4, yaitu \[\begin{aligned} {^7P_4}&=\frac {7!}{(7-4)!}\\ &=\frac{7!}{3!}\\ &=4\times5\times6\times7\\ &=840 \end{aligned}\]

Permutasi dengan Pengulangan


Permutasi dengan pengulangan artinya permutasi yang membolehkan objek yang sama untuk muncul lebih dari satu kali.

Jika \(k\) objek diambil dari \(n\) objek, dimana objek-objek tersebut boleh muncul lebih dari satu kali maka banyaknya susunan yang dapat dibentuk adalah \[n^k\]

Contoh Soal No. 6

Berapakah banyaknya susunan 2 huruf yang dapat dibentuk dari huruf A, B dan C, jika huruf-huruf penyusunnya tersebut boleh diulang?

Jawab:

Soal ini sama dengan Contoh Soal No. 2 dimana \(n=3\) dan \(k=2,\) hanya saja pada soal ini huruf-huruf penyusunnya boleh diulang. Banyaknya susunan yang terbentuk adalah \[\begin{aligned} n^k &= 3^2\\ &= 9 \end{aligned}\] Susunan yang terbentuk tersebut adalah AA, AB, AC, BA, BB, BC, CA, CB dan CC.

Contoh Soal No. 7

Berapakah banyaknya angka tiga digit yang dapat dibentuk dari angka-angka 1, 2, 3, 4 dan 5, dimana angka-angka penyusunnya tersebut boleh muncul lebih dari satu kali?

Jawab:

Diketahui \(n=5\) dan \(k=3,\) maka banyaknya angka tiga digit yang dapat dibentuk adalah \[\begin{aligned} n^k &= 5^3\\ &= 125 \end{aligned}\]