Varian dan Standar Deviasi Data Berkelompok

Rumus varian dan standar deviasi data berkelompok tidak jauh berbeda dengan rumus varian dan standar deviasi data tunggal. Berikut adalah varian dan standar deviasi untuk data berkelompok.

Rumus Varian \[ \begin{align*} s^2 &= \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{k}f_i\left (x_i-\bar {x} \right )^2\\ &= \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{k} f_ix_i^2-\frac{\left (\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_ix_i \right )^2}{n}}{n-1} \end{align*} \] Rumus Standar Deviasi \[ \begin{align*} s &= \sqrt{ \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{k}f_i\left (x_i-\bar {x} \right )^2}\\ &= \sqrt{\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{k} f_ix_i^2-\frac{\left (\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_ix_i \right )^2}{n}}{n-1}} \end{align*} \] Contoh Penghitungan

Misalnya diberikan data seperti pada contoh penghitungan pada artikel Rata-rata Data Berkelompok, yaitu:

Tinggi Badan Frekuensi
$(f_i)$
151 - 155 3
156 - 160 4
161 - 165 4
166 - 170 5
171 - 175 3
176 - 180 2

Hitunglah varian dan standar deviasi data tersebut!

Jawab:

Dari soal telah diketahui kelas-kelas interval dan frekuensi tiap kelas interval $(f_i)$. Selanjutnya, dibuat kembali tabel untuk memperoleh banyaknya data $(n), $titik tengah $(x_i)$, $f_ix_i$ dan $f_ix_i^2.$

$x_i$ $f_i$ $(f_ix_i)$ $(f_ix_i^2)$
153 3 459 70277
158 4 632 99856
163 4 652 106276
168 5 840 141120
173 3 519 89787
178 2 356 63368
  21 3458 570634

Dari tabel di atas, diperoleh: \[ \begin{align*} n &= 21 \\ \displaystyle \sum_{i=1}^{k}f_ix_i &= 3458\\ \displaystyle \sum_{i=1}^{k} f_ix_i^2 &= 570634 \end{align*} \] Dari data-data tersebut dapat diperoleh varian data berkelompok, yaitu \[ \begin{align*} s^2 &= \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{k} f_ix_i^2-\frac{\left (\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_ix_i \right )^2}{n}}{n-1}\\ &= \frac{570634-\frac{\left (3458 \right )^2}{21}}{21-1}\\ &= 60\text{,}83 \end{align*} \] Selanjutnya, karena standar deviasi merupakan akar kuadrat dari varian, maka standar deviasi data berkelompok adalah \[ \begin{align*} s &= \sqrt{s^2} \\ &= \sqrt{60\text{,}83}\\ &= 7\text{,}80 \end{align*} \]

0 Response to "Varian dan Standar Deviasi Data Berkelompok"

Posting Komentar

Powered by MathJax