Pengertian Ruang Sampel dan Titik Sampel

Ruang Sampel adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin terjadi pada suatu percobaan/kejadian. Misalnya:
  1. Sebuah dadu dilempar ke atas, maka kemungkinan mata dadu yang muncul paling atas adalah 1, 2, 3, 4, 5 atau 6. Sehingga ruang sampel dari mata dadu yang muncul paling atas pada pelemparan sebuah dadu adalah 1, 2, 3, 4, 5 dan 6.
  2. Suatu pabrik memproduksi sejenis produk kesehatan. Kemungkinan produk yang dihasilkan adalah produk yang “cacat” dan “tidak cacat”. Sehingga ruang sampel dari sebuah produk yang dihasilkan oleh pabrik tersebut adalah produk yang "cacat" dan produk yang "tidak cacat".
  3. Sebuah koin dilempar ke atas. Setelah jatuh, maka kemungkinan sisi yang muncul paling atas adalah “Gambar” atau “Angka”. Sehingga ruang sampel dari sisi yang muncul pada pelemparan sebuah koin adalah "Angka" dan "Gambar".
Ruang sampel secara matematis biasanya dilambangkan dengan T. Sehingga ruang sampel pada contoh di atas bisa ditulis seperti di bawah ini.
  1. Ruang sampel sisi yang muncul pada sebuah dadu yang dilempar, T = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
  2. Ruang sampel produk yang dihasilkan sebuah pabrik, T = {Cacat, Tidak Cacat}
  3. Ruang sampel sisi yang muncul pada sebuah koin yang dilempar, T = {Angka, Gambar}
Kemungkinan-kemungkinan yang akan muncul dalam ruang sampel disebut juga dengan Titik Sampel. Sehingga titik sampel merupakan unsur atau anggota dari ruang sampel.

Agar titik-titik sampel dalam suatu ruang sampel bisa tersusun dengan baik, maka pencatatannya bisa dibantu dengan menggunakan Diagram Pohon.

Uji Hipotesis Rata-rata Satu Populasi, Varian Tidak Diketahui (Uji t)

1. Hipotesis:

    1. dua arah
          Ho : µ = µo
          H1 : µ ≠ µo
    2. satu arah
          Ho : µ = µo
          H1 : µ > µ
          atau
          Ho : µ = µo
          H1 : µ < µo
      2. Penghitungan (Uji Statistik):

      3. Daerah kritis:
      1. dua arah : tα/2 (lihat tabel t)
      2. satu arah : tα (lihat tabel t)
      4. Keputusan:
      1. dua arah : tolak Ho jika t > tα/2 atau t < - tα/2
      2. satu arah
        untuk H1 : µ > µo, tolak Ho jika t > tα
        untuk H1 : µ < µo, tolak Ho jika t < tα
      Keterangan:
      µ = rata-rata populasi
      µo = rata-rata uji
       = rata-rata sampel
      s = standar deviasi (simpangan baku)
      n = jumlah sampel
      α = tingkat signifikansi

      Solusi Untuk Data yang Tidak Berdistribusi Normal

      Data yang berdistribusi normal atau mendekati normal adalah syarat wajib untuk melakukan analisis statistik parametrik. Biasanya pada data yang jumlah sampelnya sedikit (di bawah 30) sering tidak berdistribusi normal sehingga analisis statistik parametrik tidak bisa dilakukan. Solusi jika ingin melanjutkan analisis data tersebut adalah dengan menggunakan analisis statistik nonparametrik.

      Karena statistik parametrik lebih powerfull daripada statistik nonparametrik maka sebaiknya kita melakukan penambahan sampel agar distribusi data bisa mendekati kenormalan dan analisis statistik parametrik bisa dilakukan. Data yang jumlah sampelnya sudah mencapai ratusan atau ribuan biasanya sudah bisa dianggap normal sehingga kita tidak usah lagi melakukan uji kenormalan.

      Kadang pada kondisi tertentu penambahan sampel tidak bisa dilakukan. Hal ini bisa karena jika melakukan penambahan sampel maka akan memakan biaya yang cukup besar. Bisa juga karena kondisi waktu pendataan pada sampel tambahan sudah tidak sesuai lagi dengan kondisi waktu pendataan pada sampel sebelumnya.

      Jika keadaannya demikian, maka solusi lainnya adalah dengan mentransformasi data ke bentuk lain. Misalnya bentuk log x, ln x atau 1/x, kemudian data hasil transformasi tersebut diuji lagi kenormalannya. Jika ternyata data hasil transformasi masih tidak berdistribusi normal juga, maka melakukan analisis dengan statistik nonparametrik adalah solusi yang terbaik.

      Penggunaan Metode Statistik Untuk Penelitian

      Metode statistik ada dua, yaitu statistik deskriptif dan statistik induktif. Statistik deskriptif menjelaskan karakteristik dari data, seperti rata-rata, median, modus, simpangan baku, dan berbagai karakteristik data lainnya. Statistik deskriptif juga menjelaskan data dalam bentuk grafik agar data lebih mudah dipahami oleh pengguna data. Sedangkan statistik induktif merupakan metode untuk menarik inferensi mengenai populasi. Statistik induktif berupa penaksiran, pengujian hipotesis, peramalan dan lain-lain.

      Pada sebuah laporan hasil penelitian seperti skripsi, tesis atau lainnya yang mengandung data statistik, analisis di dalam hasil penelitian tersebut tidak terlepas dari metode statistik deskriptif. Di dalamnya akan terdapat tabel, grafik, dan angka-angka lain yang menyajikan penjelasan mengenai karakteristik data hasil penelitian. Selanjutnya jika ada penaksiran, pengujian atau peramalan di dalam penelitian tersebut maka maka akan terdapat pula analisis yang menggunakan metode statistik induktif.

      Jika lebih diperhatikan isi dari laporan penelitian maka metode statistik yang pertama disajikan adalah metode statistik dekriptif kemudian dilanjutkan dengan statistik induktif. Kedua-duanya sejalan dalam menjelaskan laporan penelitian.

      Jadi jelas sudah jika ingin membuat laporan penelitian seperti skripsi dan tesis maka kita tidak akan terlepas dari kedua metode statistik tersebut di atas. Dari awal pembuatan skripsi atau tesis sebaiknya kita sudah membayangkan bagaimana penyajian statistik deskriptifnya dan metode statistik induktif apa yang akan digunakan.

      Beberapa Pengertian Umum dalam Himpunan

      Pelajaran himpunan lebih mudah dipelajari bila digambarkan dalam Diagram Venn. Diagram Venn adalah diagram yang menggambarkan hubungan antara kejadian-kejadian dan semestanya. Untuk mempelajari lebih jauh mengenai himpunan lebih baik kita terlebih dahulu mengetahui konsep-konsep umum dalam himpunan.

      Ruang Sampel adalah semua hasil yang memiliki kemungkinan terjadi dalam suatu percobaan. Ruang sampel biasanya diberi lambang S atau T.

      Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Biasanya diberi dengan lambang A, B atau huruf kapital lainnya selain lambang ruang sampel (S).

      Komplemen adalah himpunan yang unsur-unsur bukan unsur kejadian.Misalkan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan A = {2, 4} maka komplemen dari A adalah yang bukan A yaitu A' = { 1, 3, 5,6}.

      Irisan (∩) adalah semua unsur kejadian yang masuk ke dalam sebuah himpunan dan juga masuk ke dalam himpunan lainnya. Misalkan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {2, 4} dan B = {1, 4, 6}, maka irisan dari A dan B adalah A∩B = {4}.

      Gabungan (U) adalah semua unsur yang ada dalam dua atau lebih himpunan. Misalkan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {2, 4} dan B = {1, 4, 6}, maka gabungan dari A dan B adalah AUB = {1, 2, 4, 6}.

      Pengertian Permutasi dan Kombinasi

      Sebelum mengetahui pengertian permutasi dan kombinasi ada baiknya kita terlebih dahulu mengetahui pengertian dari faktorial. Sebab setiap penghitungan permutasi dan kombinasi tidak terlepas dari penghitungan faktorial.

      Faktorial adalah perkalian suatu bilangan bulat positif dengan semua bilangan bulat positif lain yang kurang dari bilangan bulat tersebut. Lambang faktorial berupa tanda seru (!). Sebagai contoh faktorial dari 7 adalah 7! = 1x2x3x4x5x6x7

      Permutasi adalah susunan atau urutan-urutan yang berbeda satu sama lain yang terbentuk dari sebagian atau seluruh objek. Rumus permutasi adalah sebagai berikut.


      Kombinasi adalah kumpulan sebagian atau seluruh objek tanpa memperhatikan urutannya. Rumus kombinasi adalah sebagai berikut.

      Sifat-sifat dari Notasi Sigma (∑)

      Sigma (∑) merupakan aksara ke-18 dalam susunan abjad Yunani. Dalam ilmu matematika dan statistik, notasi sigma digunakan untuk mempersingkat suatu urutan penjumlahan. Misalkan penjumlahan 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 = 91. Penjumlahan tersebut bisa disingkat menjadi:


      Dalam mempelajari statistik, wajib hukumnya memahami sifat dari notasi sigma. Sebab dalam ilmu statistik, notasi ini adalah notasi yang paling sering digunakan. Saking seringnya, ketika orang melihat notasi sigma ini, mereka langsung teringat akan statistik.

      Berikut ini adalah beberapa sifat dari sigma yang sering digunakan.

         

      Sifat-sifat di atas dapat digunakan untuk mempermudah penghitungan statistik.

      Pembuktian Standar Deviasi (Simpangan Baku)

      Standar deviasi (simpangan baku) adalah adalah akar pangkat dua dari nilai rata-rata skor simpangan yang telah dikuatdratkan pada suatu perangkat data. Secara matematika, rumus standar deviasi adalah sebagai berikut.


      Namun pada prakteknya rumus standar deviasi yang sering digunakan adalah sebagai berikut.


      atau


      Dua rumus terakhir di atas memang dalam prakteknya lebih sering digunakan daripada rumus umum yang pertama. Hal ini dikarenakan kedua rumus tersebut lebih mudah dalam hal penghitungan.

      Namun sebelum menggunakan kedua rumus tersebut, alangkah baiknya kita mengetahui darimana asal muasal kedua rumus tersebut agar kita bisa mengetahui filosofi penghitungan dan penggunaannya.

      Pertama, kita tulis dulu rumus awal standar deviasi sebagai berikut.


      Selanjutnya, pahami bahwa


      sehingga


      Dengan menggunakan sifat notasi sigma, maka rumus di atas bisa kita jabarkan menjadi seperti berikut.


      sehingga


      Jika pembilang dan penyebut sama-sama dikalikan akar n, maka rumus di atas akan menjadi seperti berikut ini.


      Sebenarnya cukup sulit menjelaskan penurunan rumus di atas dengan menggunakan bahasa tulisan. Agar lebih mudah memahami, ada baiknya pelajari dulu sifat dari notasi sigma dan rumus rata-rata sebagai rumus dasarnya.

      Jika masih belum bisa memahami juga atau penjelasannya masih kurang, silakan memberi komentar melalui form komentar di bawah ini.

      Kuartil Data Tunggal

      Kuartil adalah nilai-nilai yang membagi data yang telah diurutkan ke dalam 4 bagian yang sama besar. Dalam menentukan letak kuartil data tunggal, kita harus melihat kondisi jumlah data (n) terlebih dahulu. Kondisi jumlah data (n) tersebut dan penghitungan kuartilnya adalah sebagai berikut.

      1. Kuartil untuk jumlah data (n) ganjil dan jika n ditambah 1, hasilnya habis dibagi 4.



      2. Kuartil untuk jumlah data (n) ganjil dan jika n ditambah 1, hasilnya tidak habis dibagi 4.


      3. Kuartil untuk jumlah data (n) genap dan habis dibagi 4.


      4. Kuartil untuk jumlah data (n) genap dan tidak habis dibagi 4.


      Rumus-rumus di atas sangat baik digunakan untuk jumlah data banyak. Untuk jumlah data yang kecil, penentuan kuartil lebih mudah ditentukan dengan piramida berikut ini.

      1. Kuartil untuk jumlah data (n) ganjil.


      2. Kuartil untuk jumlah data (n) genap.


      Jika kuartil terletak di antara dua nilai, maka nilai kuartil adalah rata-rata dari kedua nilai tersebut.

      Contoh 1:
      Berikut ini adalah data panjang jalan di sebuah daerah dalam satuan kilometer.

      5, 6, 7, 3, 2

      Hitunglah kuartil dari data panjang jalan tersebut?

      Jawab:
      Karena jumlah data adalah ganjil dan tidak banyak, maka penghitungan kuartil menggunakan piramida kuartil untuk data ganjil.  Pada piramida tersebut, letak kuartil adalah sebagai berikut.
      Kuartil 1 terletak antara data pertama dan kedua.
      Kuartil 2 adalah data ketiga.
      Kuartil 3 terletak antara data keempat dan kelima.

      Sebelumnya data diurutkan terlebih dahulu menjadi sebagai berikut.

      2, 3, 5, 6, 7

      Kuartilnya adalah sebagai berikut


      Contoh 2:
      Sepuluh orang mahasiswa sebuah perguruan tinggi dijadikan sampel dan dihitung tinggi badannya. Hasil pengukuran tinggi badan kesepuluh mahasiswa tersebut adalah sebagai berikut.

      172, 167, 180, 171, 169, 160, 175, 173, 170

      Tentukan nilai kuartil dari data tinggi badan mahasiswa tersebut!

      Jawab:
      Karena jumlah data genap dan tidak banya, maka penentuan kuartil bisa menggunakan piramida kuartil data genap. Pada piramida tersebut, letak kuartil adalah sebagai berikut.
      Kuartil 1 adalah data ketiga.
      Kuartil 2 terletak antara data kelima dan keenam.
      Kuartil 3 adalah data ketujuh.

      Sebelumnya, data harus kita urutkan terlebih dahulu. Hasilnya adalah sebagai berikut.

      160, 165, 167, 169, 170, 171, 172, 173, 175, 180


      Contoh 3:
      Jumlah data adalah 223. Tentukan letak kuartilnya!

      Jawab
      Jumlah data adalah ganjil dan jika n ditambah 1, hasilnya habis dibagi 4. Oleh karena itu penentuan kuartil menggunakan kondisi pertama.


      Contoh 4:
      Jumlah data adalah 197. Tentukan letak kuartilnya!

      Jawab
      Jumlah data adalah ganjil dan jika n ditambah 1, hasilnya tidak habis dibagi 4. Oleh karena itu penentuan kuartil menggunakan kondisi kedua.


      Contoh 5:
      Jumlah data 400. Tentukan letak kuartilnya!

      Jawab
      Jumlah data adalah genap dan habis dibagi 4. Oleh karena itu penentuan kuartil menggunakan kondisi ketiga.


      Contoh 6:
      Jumlah data 350. Tentukan letak kuartilnya!

      Jawab
      Jumlah data adalah genap dan tidak habis dibagi 4. Oleh karena itu penentuan kuartil menggunakan kondisi keempat.


      Laju Pertumbuhan Penduduk Eksponensial

      Laju pertumbuhan penduduk adalah perubahan jumlah penduduk di suatu wilayah tertentu setiap tahunnya. Kegunaannya adalah memprediksi jumlah penduduk suatu wilayah di masa yang akan datang.

      Laju pertumbuhan penduduk eksponensial menggunakan asumsi bahwa pertumbuhan penduduk berlangsung terus-menerus akibat adanya kelahiran dan kematian di setiap waktu.

      Rumus laju pertumbuhan penduduk eksponensial adalah sebagai berikut.


      atau


      Keterangan:
      Pt = Jumlah penduduk pada tahun t
      Po = Jumlah penduduk pada tahun dasar
      t =  jangka waktu
      r =  laju pertumbuhan penduduk
      e = bilangan eksponensial  yang besarnya 2,718281828

      Jika nilai r > 0, artinya terjadi pertumbuhan penduduk yang positif atau terjadi penambahan jumlah penduduk dari tahun sebelumnya. Jika r < 0, artinya pertumbuhan penduduk negatif atau terjadi pengurangan jumlah penduduk dari tahun sebelumnya. Jika r = 0, artinya tidak terjadi perubahan jumlah penduduk dari tahun sebelumnya. 

      Contoh 1

      Pada tahun 2000, jumlah penduduk Kabupaten A adalah 206.730 jiwa. Kemudian pada tahun 2010, jumlah penduduk Kabupaten A menjadi 278.741 jiwa. Berapakah laju pertumbuhan penduduk eksponensial Kabupaten A per tahun?

      Jawab:

      Diketahui:
      Po = 206.730
      Pt = 278.741
      t = 2010 – 2000 = 10

      Sehingga dengan menggunakan rumus laju pertumbuhan penduduk eksponensial di atas bisa diketahui laju pertumbuhan penduduk per tahunnya adalah sebagai berikut.


      Sehingga laju pertumbuhan penduduk eksponensial Kabupaten A per tahunnya adalah 0,0299 atau 2,99 persen.

      Contoh 2

      Pada tahun 2010, jumlah penduduk Kabupaten A adalah 278.741 jiwa. Berapakah perkiraan jumlah penduduk Kabupaten A pada tahun 2020, jika diketahui laju pertumbuhan penduduk eksponensialnya adalah 2,99 persen.

      Jawab:

      Diketahui:
      Po = 278.741
      t = 2020 – 2010 = 10
      r = 2,99 persen atau 0,0299

      Dengan menggunakan rumus di atas, bisa kita perkirakan jumlah penduduk pada tahun 2020 yaitu sebagai berikut.


      Sehingga perkiraan jumlah penduduk Kabupaten A pada tahun 2020 adalah 375.885 jiwa.

      Kontak

      Nama

      Email *

      Pesan *