Estimasi Parameter pada Distribusi Poisson dengan Metode MLE

Informasi singkat tentang distribusi poisson bisa dilihat di tulisan “Distribusi Poisson”. Misalkan X1, X2, ... , Xn adalah sampel random yang berasal dari populasi berdistribusi poisson dengan parameter λ. Fungsi kepadatan peluang untuk distribusi poisson dengan parameter λ adalah

Estimator parameter λ dapat diperoleh dengan metode Maximum Likelihood Estimation (MLE). Langkah-langkah metode tersebut adalah sebagai berikut.

1. Membuat fungsi likelihood distribusi poisson.

2. Membuat transformasi fungsi di atas ke dalam bentuk ln.

3. Membuat turunan fungsi tersebut terhadap parameter λ.

4. Menyamakan hasil turunannya dengan nol.

5. Dari hasil di atas diperoleh estimator parameter λ.

Distribusi Pareto

Berikut ini disajikan karakteristik singkat mengenai distribusi pareto.

Probability Density Function (PDF)

Cumulative Distribution Function (CDF)

Rata-rata

Median

Modus

Varian

Skewness

Kurtosis

Moment Generating Function (MGF)

Characteristic Function (CF)

Momen ke-k

Distribusi Gumbel

Distribusi gumbel biasanya digunakan untuk data-data nilai ekstrim, misalnya nilai ekstrim gempa, curah hujan, banjir atau suhu ekstrim. Berikut ini disajikan informasi singkat tentang distribusi gumbel.

Probability Density Function (PDF)
dimana

Cumulative Distribution Function (CDF)

Rata-rata

Median

Modus

Varian

Moment Generating Function (MGF)

Tabel T Distribusi t-Student

Tabel t biasanya digunakan ketika varian populasi σ2 tidak diketahui dan ukuran sampel kurang dari 30. Pada proses penghitungan, nilai rata-rata dan varian diperkirakan dari sampel. Penentuan nilai pada tabel t menggunakan tingkat signifikansi (α) dan derajat bebas (v).

Pada kondisi ukuran sampel lebih besar dari 30, distribusi t-student akan mendekati distribusi normal. Oleh karena itu jika kita tidak mempunyai tabel t yang menyediakan derajat bebas lebih dari 30, maka tabel z distribusi normal bisa digunakan.

Di bawah ini disajikan tabel t untuk derajat bebas (v) 1 sampai dengan 30 dengan tingkat signifikansi (α) 0.005, 0.01, 0.025, 0.05 dan 0.1. Tabel tersebut disajikan dalam bentuk gambar (image). Tabel bisa di-download dalam format excel di halaman ini.
 

 

Selang Kepercayaan Rata-rata µ (Varian Diketahui)

Misalkan sebuah penelitian dilakukan pada sebuah populasi yang berukuran N yang memiliki rata-rata µ yang tidak diketahui serta varian σ2 diketahui. Penelitian tersebut akan mengestimasi nilai rata-rata µ dengan menggunakan selang kepercayaan.

Untuk mengestimasi rata-rata µ, maka diambil sampel sebanyak n dari populasi N. Distribusi sampling tersebut biasanya didekati dengan distribusi normal, oleh karena itu dengan menggunakan data sampel, dihitung nilai estimasi titik dari rata-rata µ yaitu sebagai berikut.

Selanjutnya dapat dibuat selang kepercayaan dengan menggunakan rumus sebagai berikut.
Nilai α yang sering digunakan adalah 5% (lihat tabel z distribusi normal).

Contoh Selang Kepercayaan Rata-rata µ (Varian Diketahui)


Suatu penelitian ingin mengetahui rata-rata IQ mahasiswa baru sebuah perguruan tinggi. Dalam penelitian tersebut diambil sampel sebanyak 36 mahasiswa dan dilakukan tes IQ terhadap mereka. Hasilnya rata-rata IQ 36 mahasiswa tersebut adalah 120. Hitunglah selang kepercayaan rata-rata IQ mahasiswa perguruan tinggi tersebut jika diketahui bahwa variannya adalah 400 dengan tingkat kepercayaan (1 – α) 95%!

Diketahui:
Dengan menggunakan rumus selang kepercayaan untuk rata-rata yang variannya diketahui, maka selang kepercayaan IQ mahasiswa perguruan tinggi tersebut dengan tingkat kepercayaan 95% adalah sebagai berikut.

 113,47 < µ < 126,53

Selang Kepercayaan

Ada dua bentuk estimasi parameter populasi θ dalam statistik, yaitu estimasi titik dan estimasi selang. Peluang menghasilkan nilai parameter dengan menggunakan estimasi titik biasanya sangat kecil. Oleh karena itu, dirancanglah suatu estimasi parameter populasi dengan menggunakan selang (interval). Dengan estimasi selang, peluang mendapatkan nilai parameter akan menjadi lebih besar.

Selang kepercayaan adalah sebuah interval antara dua nilai yang memuat nilai parameter. Selang yang terbaik dalam mengestimasi parameter adalah selang yang terpendek dan mempunyai tingkat kepercayaan paling tinggi.

Berikut ini adalah beberapa bentuk selang kepercayaan yang sering digunakan.

Rata-rata µ


Selang kepercayaan untuk rata-rata µ dapat dilakukan jika x1, x2, ... , xn berasal dari populasi yang berdistribusi normal dengan rata-rata µ dan varian σ2. Selang kepercayaan rata-rata ini memiliki dua kasus yaitu kasus untuk:
  1. varian populasi σ2 diketahui,
  2. varian populasi σ2 tidak diketahui (sampel kecil).

Varian σ2


Sama seperti selang kepercayaan untuk rata-rata, selang kepercayaan untuk varian σ2 dapat dilakukan jika x1, x2, ... , xn juga berasal dari populasi yang berdistribusi normal dengan rata-rata µ dan varian σ2. Selang kepercayaan varian ini juga memiliki dua kasus yaitu kasus untuk:
  1. varian populasi σ2 diketahui,
  2. varian populasi σ2 tidak diketahui (sampel kecil).

Proporsi p


Selang kepercayaan untuk proporsi p dapat dilakukan jika x1, x2, ... , xn berasal dari populasi yang berdistribusi binomial dengan jumlah sampel n dan proporsi p atau bentuknya bisa ditulis dengan Binomial(n,p).

Selisih Dua Rata-rata (µ1µ2)


Selang kepercayaan untuk selisih rata-rata µ1 dan µ2 dapat dilakukan jika x11, x12, ... , x1n1 dan x21, x22, ... , x2n2 masing-masing berasal dari populasi yang berdistribusi normal dengan rata-rata µ1 dan µ2 serta varian σ12 dan σ22. Selang kepercayaan rata-rata ini memiliki tiga kasus yaitu kasus untuk:
  1. varian kedua populasi σ12 dan σ22 diketahui,
  2. varian kedua populasi σ12 dan σ22 tidak diketahui dan diasumsikan sama,
  3. varian kedua populasi σ12 dan σ22 tidak diketahui dan diasumsikan tidak sama.

Perbandingan Dua Varian (σ12 / σ22)


Selang kepercayaan untuk perbandingan dua varian σ12 dan σ22 dapat dilakukan jika x11, x12, ... , x1n1 dan x21, x22, ... , x2n2 masing-masing berasal dari populasi yang berdistribusi normal dengan rata-rata µ1 dan µ2 serta varian σ12 dan σ22.

Selisih Dua Proporsi (p1p2)


Selang kepercayaan untuk selisih dua proporsi antara p1dan p2 dapat dilakukan jika x11, x12, ... , x1n1 dan x21, x22, ... , x2n2 masing-masing berasal dari populasi yang berdistribusi binomial dengan jumlah sampel n1 dan n2 dan proporsi p1 dan p2 atau bentuk masing-masing populasi bisa ditulis dengan Binomial(n1,p1) dan Binomial(n2,p2) .

Kelebihan dan Kekurangan Metode Mendapatkan Fungsi Distribusi Variabel Random

Misalkan X1, X2, ... , Xn variabel random yang berasal dari populasi yang berdistribusi f(x|θ), dimana θ merupakan parameter populasi. Selanjutnya jika Y adalah fungsi dari X (Y = g(X1, X2, ... , Xn)), maka Y merupakan fungsi distribusi fungsi variabel random sendiri.

Metode yang sering digunakan untuk mendapatkan fungsi distribusi variabel random Y adalah Metode Moment Generating Function (MGF), Metode Transformasi, Metode Cumulative Distribution Function (CDF) dan Metode Central Limit Theorem (CLT). Berikut ini disajikan kelebihan dan kekurangan keempat metode tersebut.

Metode Moment Generating Function (MGF)


Metode MGF umumnya baik digunakan pada fungsi variabel random yang berasal dari kombinasi linier (Y kombinasi linier dari X). Selain itu juga baik digunakan pada variabel random X1, X2, ... , Xn yang saling identik dan independen. Kekurangan dalam metode MGF adalah dalam prosesnya kita harus mengetahui MGF dari suatu fungsi distribusi. Selain itu tidak semua fungsi distribusi memiliki MGF.

Metode Transformasi


Kelebihan dari metode transformasi adalah metode ini hampir dapat digunakan di semua proses. Namun kekurangannya adalah untuk mendapatkan transformasi yang tepat untuk suatu proses biasanya sangat sulit.

Metode Cumulative Distribution Function (CDF)


Kelebihan dan kekurangan metode ini hampir sama dengan metode transformasi. Kelebihannya adalah hampir dapat digunakan di semua proses dan kekurangannya adalah untuk mendapatkan CDF yang tepat untuk suatu proses biasanya sangat sulit.

Metode Central Limit Theorem (CLT)


Secara teori cukup sulit, namun sangat mudah dalam aplikasi. Metode ini sangat baik digunakan untuk sampel besar. Suatu variabel random akan selalu konvergen ke distribusi normal asalkan barisan variabel random mempunyai rata-rata dan varian.

Metode Momen

Misalkan X adalah variabel random dengan fungsi kepadatan peluang f(x|θ) dimana θ adalah parameter yang tidak diketahui, maka kita bisa menggunakan banyak metode untuk mengestimasi parameter θ tersebut.

Namun begitu, dari banyak metode estimasi parameter, hanya beberapa metode saja yang sering digunakan. Beberapa metode tersebut adalah Metode Momen, Metode Least Square (Kuadrat Terkecil), Metode Maximum Likelihood Estimator (MLE) dan Metode Bayes. Pada pembahasan kali ini yang akan dibahas adalah metode momen.

Metode momen adalah metode tertua dan paling lama digunakan. Metode ini memiliki prosedur yang paling mudah dalam memperoleh estimator atau penduga dari satu atau lebih parameter populasi. Dasar pemikiran dari metode momen adalah mendapatkan estimasi parameter populasi dengan menyamakan momen-momen populasi (teoritis) dengan momen-momen sampel.

Jika dimisalkan suatu populasi mempunyai fungsi kepadatan peluang f(x|θ), maka momen populasi ke-k didefinisikan sebagai berikut :
µ'k = E(Xk)

Selanjutnya, jika dimisalkan X1, X2, ... Xn adalah sampel acak dari populasi dengan fungsi kepadatan f(x|θ), maka momen sampel ke-k didefinisikan sebagai berikut.

Dasar pemikiran menyamakan antara momen-momen populasi (teoritis) dengan momen-momen sampel yang maksud sebelumnya adalah agar momen sampel menyediakan pendugaan yang baik untuk momen populasi. Oleh karena itu, m'k seharusnya merupakan penduga yang baik bagi µ'k, dengan k = 1, 2 , 3,… .

Momen populasi ke-j (µ'j) biasanya merupakan fungsi dari θ = (θ1, θ2, ..., θk). Estimator metode momen dari θ = (θ1, θ2, ..., θk) diperoleh dengan menyelesaikan sistem persamaan sebagai berikut.

µ'1 = m'1
µ'2 = m'2
.
.
.
µ'k = m'k


-

Tabel Z Distribusi Normal

Tabel yang akan disajikan di bawah ini adalah tabel Z yang berdistribusi normal standar. Distribusi normal standar adalah distribusi normal yang telah ditransformasi sehingga distribusi normal tersebut memiliki rata-rata 0 dan varian 1.

Tabel distribusi normal berisi peluang dari nilai Z atau P(Zz). Sebagaimana kita ketahui bahwa nilai peluang akan selalu berada di antara 0 dan 1, sehingga nilai-nilai di dalam tabel juga berada di antara 0 dan 1.

Gambar kurva berbentuk lonceng ini sebagai ilustrasi.
Gambar di atas adalah gambar kurva distribusi normal. Luas area di bawah kurva adalah 1. Pada tabel Z, nilai yang ditulis adalah nilai yang diperoleh dari luas area sebelum z atau nilai P(Zz).

Format tabel yang disajikan adalah gambar (image). Untuk memperbesar, silakan tabel (gambar) tersebut diklik. Jika ingin mendapatkan tabel dengan format yang lebih baik (excel), silakan download tabelnya di link ini.

Membuat Kurva Distribusi Normal Dengan Software Minitab

Kurva distribusi normal berbentuk lonceng. Jika diberikan informasi rata-rata µ dan varian σ2, kita akan kesulitan membuat kurva berbentuk lonceng tersebut secara manual. Oleh karena itu, agar lebih mudah, pembuatan kurva normal dibantu dengan menggunakan software.

Diinformasikan bahwa rata-rata populasi adalah 30 dan varian populasi 9, berikut ini disajikan cara membuat kurva normalnya dengan menggunakan software Minitab.
  1. Buka software Minitab, kemudian pilih menu Graph, selanjutnya pilih Probability Distribution Plot.
  2. Berikutnya akan muncul jendela Probability Distribution Plot.
  3. Pilih View Single dan klik OK. Setelah itu akan tampil jendela Probability Distribution Plot - View Single.
  4. Pada bagian Distribution pilih Normal, pada bagian Mean masukkan angka 30 dan pada bagian Standard Deviation masukkan angka 3 (standar deviasi adalah akar kuadrat dari varian). Selanjutnya klik OK, maka akan muncul kurva normal sebagai berikut.
Pembuatan kurva normal standar (distribusi normal dengan rata-rata 0 dan varian 1) dapat dilakukan dengan cara yang sama. Kurva normal standar yang dihasilkan adalah sebagai berikut.

Tanya

Nama

Email *

Pesan *