Sigma field atau sigma aljabar adalah kumpulan dari himpunan-himpunan yang dapat dibangun dari suatu Ruang Sampel.
Sigma field dinotasikan dengan \(\mathcal{F}.\) Suatu himpunan \(\mathcal{F}\) dikatakan sigma field jika himpunan tersebut bukan himpunan kosong, tertutup terhadap operasi komplemen dan tertutup pada operasi gabungan terhitung.
Misalkan \(\mathcal{F}\) adalah kumpulan himpunan-himpunan yang dapat dibentuk dari ruang sampel \(\Omega.\) Maka \(\mathcal{F}\) dikatakan σ-field jika
(Himpunan kosong \(\varnothing\) adalah elemen dari σ-field \(\mathcal{F})\) (\(\mathcal{F}\) tertutup untuk operasi komplemen) (\(\mathcal{F}\) tertutup terhadap operasi gabungan) |
Syarat (1) mengakibatkan bahwa σ-field bukanlah himpunan kosong karena salah satu elemen dari σ-field yang selalu ada adalah himpunan kosong \(\varnothing.\)
Jika dihubungkan dengan syarat (2) maka mengakibatkan bahwa ruang sampel \(\Omega\) merupakan himpunan bagian dari σ-field. Karena \(\varnothing \in \mathcal{F}\) dan \(\varnothing^c = \Omega,\) maka \(\Omega \in \mathcal{F}.\)
Kedua akibat tersebut menunjukkan bahwa himpunan σ-field yang paling sederhana adalah σ-field yang memuat himpunan kosong \(\varnothing\) dan ruang sampel \(\Omega.\)
Selain itu, karena pada teori himpunan berlaku hukum DeMorgan, maka pada syarat (2) dan (3) mengakibatkan bahwa selain tertutup terhadap operasi gabungan terhitung, σ-field juga tertutup terhadap operasi irisan terhitung.
Contoh 1
Misalkan \(E\) adalah sembarang himpunan dalam suatu ruang sampel \(\Omega\) atau dapat ditulis \(E \subset \Omega.\) Himpunan σ-field adalah \[\mathcal{F} = \{E, E^c, \varnothing, \Omega\}.\] Hal ini sesuai dengan persyaratan dari σ-field, yaitu himpunan kosong adalah elemen dari σ-field, tertutup pada operasi komplemen dan tertutup pada operasi gabungan.
- \(\varnothing \in \mathcal{F}.\)
- \(E \in \mathcal{F}\) dan \(E^c \in \mathcal{F}.\)
- Semua operasi gabungan merupakan elemen dari \(\mathcal{F}.\) \(\varnothing \cup E = E,\) dimana \(E \in \mathcal{F}\)
\(\varnothing \cup E^c = E^c,\) dimana \(E^c \in \mathcal{F}\)
\(E \cup E^c = \Omega,\) dimana \(\Omega \in \mathcal{F}\)
\(\varnothing \cup E \cup E^c = \Omega,\) dimana \(\Omega \in \mathcal{F}\)
\(\Omega \cup E = \Omega\), dimana \(\Omega \in \mathcal{F}\)
\(\Omega \cup E^c = \Omega,\) dimana \(\Omega \in \mathcal{F}\)
\(\varnothing \cup E \cup E^c \cup \Omega = \Omega,\) dimana \(\Omega \in \mathcal{F}\)
Contoh 2
Jika \(A\) adalah sembarang himpunan dan \(\mathcal{P}(A)\) adalah himpunan kuasa dari himpunan \(A,\) maka \(\mathcal{P}(A)\) merupakan σ-field.
Misalkan \(A = \{a, b\}\) maka \(\mathcal{P}(A) = \left\{\{\,\}, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}\right\}.\) Himpunan kuasa \(\mathcal{P}(A)\) merupakan σ-field karena
- \(\{\,\} = \varnothing \in \mathcal{P}(A).\)
- Tertutup untuk operasi komplemen \(\{\,\} \in \mathcal{P}(A)\) dan \(\{\,\}^c = \{a, b\} \in \mathcal{P}(A)\)
- Semua operasi gabungan merupakan elemen dari \(\mathcal{P}(A).\) \(\{\,\} \cup \{a\} = \{a\},\) dimana \(\{a\} \in \mathcal{P}(A)\)
\(\{a\} \in \mathcal{P}(A)\) dan \(\{a\}^c = \{b\} \in \mathcal{P}(A)\)
\(\{b\} \in \mathcal{P}(A)\) dan \(\{b\}^c = \{a\} \in \mathcal{P}(A)\)
\(\{a, b\} \in \mathcal{P}(A)\) dan \(\{a, b\}^c = \{\,\} \in \mathcal{P}(A)\)
\(\{\,\} \cup \{b\} = \{b\},\) dimana \(\{b\} \in \mathcal{P}(A)\)
\(\{\,\} \cup \{a, b\} = \{a, b\},\) dimana \(\{a, b\} \in \mathcal{P}(A)\)
\(\{a\} \cup \{b\} = \{a,b\},\) dimana \(\{a,b\} \in \mathcal{P}(A)\)
\(\{a\} \cup \{a, b\} = \{a,b\},\) dimana \(\{a,b\} \in \mathcal{P}(A)\)
\(\{b\} \cup \{a, b\} = \{a,b\},\) dimana \(\{a,b\} \in \mathcal{P}(A)\)
Contoh 3
Sebuah dadu dilempar, maka semua hasil yang mungkin dari pelemparan dadu tersebut adalah suatu ruang sampel \(\Omega,\) yaitu \(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}.\)
Misalkan himpunan \(A\) adalah kejadian munculnya sisi ganjil, yaitu \(A =\{1, 3, 5\}\) dan himpunan \(B\) adalah kejadian munculnya sisi genap, yaitu \(B =\{2, 4, 6\},\) selanjutnya \(\mathcal{F} = \{\varnothing, A, B, \Omega\}\) merupakan σ-field. Bukti bahwa \(\mathcal{F}\) merupakan σ-field adalah karena memenuhi 3 persyaratan σ-field, yaitu:
- \(\varnothing \in \mathcal{F}.\)
- \(A \in \mathcal{F}\) dan \(A^c = B \in \mathcal{F},\) begitu juga \(B \in \mathcal{F}\) dan \(B^c = A \in \mathcal{F}.\)
- Semua operasi gabungan merupakan elemen dari \(\mathcal{F}.\) \(\varnothing \cup A = A,\) dimana \(A \in \mathcal{F}\)
\(\varnothing \cup B = B,\) dimana \(B \in \mathcal{F}\)
\(A \cup B = \Omega,\) dimana \(\Omega \in \mathcal{F}\)
\(\varnothing \cup A \cup B = \Omega,\) dimana \(\Omega \in \mathcal{F}\)
\(\Omega \cup A = \Omega\), dimana \(\Omega \in \mathcal{F}\)
\(\Omega \cup B = \Omega,\) dimana \(\Omega \in \mathcal{F}\)
\(\varnothing \cup A \cup B \cup \Omega = \Omega,\) dimana \(\Omega \in \mathcal{F}\)
Contoh 4
Misalkan pada contoh sebelumnya ditambahkan satu himpunan yaitu himpunan \(C\) dimana himpunan \(C\) adalah kejadian munculnya sisi yang merupakan bilangan prima \(C =\{2, 3, 5\},\) maka \(\mathcal{F} = \{\varnothing, A, B, C, \Omega\}\) bukanlah σ-field karena terdapat 2 syarat tidak terpenuhi, yaitu:
- \(\varnothing \in \mathcal{F},\) syarat 1 terpenuhi.
- \(C \in \mathcal{F}\) dan \(C^c = D \notin \mathcal{F},\) syarat 2 tidak terpenuhi.
- \(A \cup C = E,\) dimana \(E \notin \mathcal{F},\) syarat 3 tidak terpenuhi.