Skip to main content
Home Peluang Sigma Aljabar atau Sigma Field

Sigma Aljabar atau Sigma Field

Sigma field atau sigma aljabar adalah kumpulan dari himpunan-himpunan yang dapat dibangun dari suatu Ruang Sampel.

Sigma field dinotasikan dengan \(\mathcal{F}.\) Suatu himpunan \(\mathcal{F}\) dikatakan sigma field jika himpunan tersebut bukan himpunan kosong, tertutup terhadap operasi komplemen dan tertutup pada operasi gabungan terhitung.

Misalkan \(\mathcal{F}\) adalah kumpulan himpunan-himpunan yang dapat dibentuk dari ruang sampel \(\Omega.\) Maka \(\mathcal{F}\) dikatakan σ-field jika

  1. \(\varnothing \in \mathcal{F},\)

    2. (Himpunan kosong \(\varnothing\) adalah elemen dari σ-field \(\mathcal{F})\)

  2. Jika \(E \in \mathcal{F}\) maka \(E^c \in \mathcal{F},\)

    3. (\(\mathcal{F}\) tertutup untuk operasi komplemen)

  3. Jika \(E_1, E_2, E_3, \cdots\) adalah barisan himpunan \(\mathcal{F},\) maka \(\displaystyle \bigcup_{i=1}^\infty E_i \in \mathcal{F}.\)

    4. (\(\mathcal{F}\) tertutup terhadap operasi gabungan)

Syarat (1) mengakibatkan bahwa σ-field bukanlah himpunan kosong karena salah satu elemen dari σ-field yang selalu ada adalah himpunan kosong \(\varnothing.\)

Jika dihubungkan dengan syarat (2) maka mengakibatkan bahwa ruang sampel \(\Omega\) merupakan himpunan bagian dari σ-field. Karena \(\varnothing \in \mathcal{F}\) dan \(\varnothing^c = \Omega,\) maka \(\Omega \in \mathcal{F}.\)

Kedua akibat tersebut menunjukkan bahwa himpunan σ-field yang paling sederhana adalah σ-field yang memuat himpunan kosong \(\varnothing\) dan ruang sampel \(\Omega.\)

\[\mathcal{F} = \{\varnothing, \Omega\}\]

Selain itu, karena pada teori himpunan berlaku hukum DeMorgan, maka pada syarat (2) dan (3) mengakibatkan bahwa selain tertutup terhadap operasi gabungan terhitung, σ-field juga tertutup terhadap operasi irisan terhitung.

Contoh 1

Misalkan \(E\) adalah sembarang himpunan dalam suatu ruang sampel \(\Omega\) atau dapat ditulis \(E \subset \Omega.\) Himpunan σ-field adalah \[\mathcal{F} = \{E, E^c, \varnothing, \Omega\}.\] Hal ini sesuai dengan persyaratan dari σ-field, yaitu himpunan kosong adalah elemen dari σ-field, tertutup pada operasi komplemen dan tertutup pada operasi gabungan.

  1. \(\varnothing \in \mathcal{F}.\)
  2. \(E \in \mathcal{F}\) dan \(E^c \in \mathcal{F}.\)
  3. Semua operasi gabungan merupakan elemen dari \(\mathcal{F}.\)
    4. \(\varnothing \cup E = E,\) dimana \(E \in \mathcal{F}\)
    \(\varnothing \cup E^c = E^c,\) dimana \(E^c \in \mathcal{F}\)
    \(E \cup E^c = \Omega,\) dimana \(\Omega \in \mathcal{F}\)
    \(\varnothing \cup E \cup E^c = \Omega,\) dimana \(\Omega \in \mathcal{F}\)
    \(\Omega \cup E = \Omega\), dimana \(\Omega \in \mathcal{F}\)
    \(\Omega \cup E^c = \Omega,\) dimana \(\Omega \in \mathcal{F}\)
    \(\varnothing \cup E \cup E^c \cup \Omega = \Omega,\) dimana \(\Omega \in \mathcal{F}\)

Contoh 2

Jika \(A\) adalah sembarang himpunan dan \(\mathcal{P}(A)\) adalah himpunan kuasa dari himpunan \(A,\) maka \(\mathcal{P}(A)\) merupakan σ-field.

Misalkan \(A = \{a, b\}\) maka \(\mathcal{P}(A) = \left\{\{\,\}, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}\right\}.\) Himpunan kuasa \(\mathcal{P}(A)\) merupakan σ-field karena

  1. \(\{\,\} = \varnothing \in \mathcal{P}(A).\)
  2. Tertutup untuk operasi komplemen
    3. \(\{\,\} \in \mathcal{P}(A)\) dan \(\{\,\}^c = \{a, b\} \in \mathcal{P}(A)\)
    \(\{a\} \in \mathcal{P}(A)\) dan \(\{a\}^c = \{b\} \in \mathcal{P}(A)\)
    \(\{b\} \in \mathcal{P}(A)\) dan \(\{b\}^c = \{a\} \in \mathcal{P}(A)\)
    \(\{a, b\} \in \mathcal{P}(A)\) dan \(\{a, b\}^c = \{\,\} \in \mathcal{P}(A)\)
  3. Semua operasi gabungan merupakan elemen dari \(\mathcal{P}(A).\)
    4. \(\{\,\} \cup \{a\} = \{a\},\) dimana \(\{a\} \in \mathcal{P}(A)\)
    \(\{\,\} \cup \{b\} = \{b\},\) dimana \(\{b\} \in \mathcal{P}(A)\)
    \(\{\,\} \cup \{a, b\} = \{a, b\},\) dimana \(\{a, b\} \in \mathcal{P}(A)\)
    \(\{a\} \cup \{b\} = \{a,b\},\) dimana \(\{a,b\} \in \mathcal{P}(A)\)
    \(\{a\} \cup \{a, b\} = \{a,b\},\) dimana \(\{a,b\} \in \mathcal{P}(A)\)
    \(\{b\} \cup \{a, b\} = \{a,b\},\) dimana \(\{a,b\} \in \mathcal{P}(A)\)

Contoh 3

Sebuah dadu dilempar, maka semua hasil yang mungkin dari pelemparan dadu tersebut adalah suatu ruang sampel \(\Omega,\) yaitu \(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}.\)

Misalkan himpunan \(A\) adalah kejadian munculnya sisi ganjil, yaitu \(A =\{1, 3, 5\}\) dan himpunan \(B\) adalah kejadian munculnya sisi genap, yaitu \(B =\{2, 4, 6\},\) selanjutnya \(\mathcal{F} = \{\varnothing, A, B, \Omega\}\) merupakan σ-field. Bukti bahwa \(\mathcal{F}\) merupakan σ-field adalah karena memenuhi 3 persyaratan σ-field, yaitu:

  1. \(\varnothing \in \mathcal{F}.\)
  2. \(A \in \mathcal{F}\) dan \(A^c = B \in \mathcal{F},\) begitu juga \(B \in \mathcal{F}\) dan \(B^c = A \in \mathcal{F}.\)
  3. Semua operasi gabungan merupakan elemen dari \(\mathcal{F}.\)
    4. \(\varnothing \cup A = A,\) dimana \(A \in \mathcal{F}\)
    \(\varnothing \cup B = B,\) dimana \(B \in \mathcal{F}\)
    \(A \cup B = \Omega,\) dimana \(\Omega \in \mathcal{F}\)
    \(\varnothing \cup A \cup B = \Omega,\) dimana \(\Omega \in \mathcal{F}\)
    \(\Omega \cup A = \Omega\), dimana \(\Omega \in \mathcal{F}\)
    \(\Omega \cup B = \Omega,\) dimana \(\Omega \in \mathcal{F}\)
    \(\varnothing \cup A \cup B \cup \Omega = \Omega,\) dimana \(\Omega \in \mathcal{F}\)

Contoh 4

Misalkan pada contoh sebelumnya ditambahkan satu himpunan yaitu himpunan \(C\) dimana himpunan \(C\) adalah kejadian munculnya sisi yang merupakan bilangan prima \(C =\{2, 3, 5\},\) maka \(\mathcal{F} = \{\varnothing, A, B, C, \Omega\}\) bukanlah σ-field karena terdapat 2 syarat tidak terpenuhi, yaitu:

  1. \(\varnothing \in \mathcal{F},\) syarat 1 terpenuhi.
  2. \(C \in \mathcal{F}\) dan \(C^c = D \notin \mathcal{F},\) syarat 2 tidak terpenuhi.
  3. \(A \cup C = E,\) dimana \(E \notin \mathcal{F},\) syarat 3 tidak terpenuhi.

Artikel yang berhubungan: