Skip to main content

Teori Himpunan

Himpunan adalah kumpulan dari objek-objek yang berbeda-beda membentuk suatu kelompok. Kegunaan himpunan adalah untuk mempelajari hubungan antar kelompok tersebut.

Objek dalam himpunan dinamakan dengan elemen, unsur atau anggota. Pada pembahasan materi ini, objek dalam himpunan kita gunakan kata elemen.

Notasi Himpunan

Himpunan dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya himpunan \(A,\) himpunan \(B\) dan himpunan \(C.\) Elemen dalam himpunan ditulis dalam tanda kurung kurawal.

Misalkan \(A\) adalah himpunan bilangan ganjil dari \(1\) sampai \(10\) dan \(B\) adalah himpunan bilangan prima dari \(1\) sampai \(10,\) maka penulisan himpunannya beserta elemennya adalah sebagai berikut. \[\begin{aligned} A &= \{x : x \text{ adalah himpunan bilangan ganjil 1 sampai 10}\} \\ B &= \{x : x \text{ adalah himpunan bilangan prima 1 sampai 10}\} \end{aligned}\] Penulisan elemen himpunan dapat kita uraikan satu per satu sehingga penulisan himpunannya menjadi sebagai berikut. \[\begin{aligned} A &= \{1, 3, 5, 7, 9\} \\ B &= \{2, 3, 5, 7\} \end{aligned}\]

Tidak ada ketentuan khusus huruf kapital yang digunakan untuk himpunan. Namun beberapa himpunan telah baku ditetapkan huruf kapitalnya, seperti:

  • \(N = \{x : x\) adalah himpunan bilangan asli\(\}\)
  • \(W = \{x : x\) adalah himpunan bilangan cacah\(\}\)
  • \(Z = \{x : x\) adalah himpunan bilangan bulat\(\}\)
  • \(Q = \{x : x\) adalah himpunan bilangan rasional\(\}\)
  • \(R = \{x : x\) adalah himpunan bilangan riil\(\}\)
  • \(I = \{x : x\) adalah himpunan bilangan imajiner\(\}\)
  • \(C = \{x : x\) adalah himpunan bilangan kompleks\(\}\)

Notasi Elemen

Misalkan \(A\) adalah sebuah himpunan, dimana \(A = \{1, 3, 5, 7, 9\}.\) Nilai-nilai \(1,\) \(3,\) \(5,\) \(7,\) dan \(9\) adalah elemen-elemen dari himpunan \(A.\) Penulisan "adalah elemen dari himpunan" bisa diganti dengan notasi \(\in.\) Misalnya \(3\) adalah elemen dari himpunan \(A,\) maka penulisannya dapat diganti menjadi
\[3 \in A.\]

Penulisan "adalah bukan elemen dari himpunan" bisa diganti dengan notasi \(\notin.\) Misalnya \(2\) adalah bukan elemen dari himpunan \(A,\) maka penulisannya dapat diganti menjadi
\[2 \notin A.\]

Himpunan Semesta

Semesta adalah himpunan seluruh elemen dari semua himpunan-himpunan yang ada atau yang diamati. Semesta biasanya dinotasikan dengan huruf kapital \(\mathscr{S}.\) Contoh himpunan semesta dan himpunan yang diamati adalah sebagai berikut. \[\begin{aligned} \mathscr{S} &= \{x : x \in \text{ bilangan asli 1 sampai 10}\} \\ A &= \{x : x \in \text{ bilangan prima 1 sampai 10}\} \\ B &= \{x : x \in \text{ bilangan genap 1 sampai 10}\} \end{aligned}\] Seluruh elemen dari himpunan \(A\) dan \(B\) merupakan elemen dari semesta \(\mathscr{S}.\) Perhatikan jika elemen-elemen himpunan diuraikan seperti di bawah ini, maka tampak bahwa seluruh elemen himpunan \(A\) maupun himpunan \(B\) juga merupakan elemen himpunan semesta \(\mathscr{S}.\) \[\begin{aligned} \mathscr{S} &= \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} \\ A &= \{2, 3, 5, 7\} \\ B &= \{2, 4, 6, 8, 10\} \end{aligned}\]

Diagram Venn

Diagram venn adalah gambar yang menjelaskan hubungan himpunan semesta \(\mathscr{S}\) beserta beberapa himpunan di dalamnya. Misalnya himpunaan semesta \(\mathscr{S}\) beserta himpunan \(A\) dan \(B\) berikut ini. \[\begin{aligned} \mathscr{S} &= \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} \\ A &= \{2, 3, 5, 7\} \\ B &= \{2, 4, 6, 8, 10\} \end{aligned}\] Hubungan dari himpunan-himpunan tersebut dapat digambarkan melalui diagram venn berikut ini.

Diagram Venn
Diagram Venn

Himpunan Kosong

Misalkan himpunan \(A\) tidak memiliki elemen maka himpunan \(A\) disebut juga dengan himpunan kosong. Himpunan kosong \(A\) dapat ditulis dengan kurung kurawal tanpa ada isiannya seperti \[A = \{\,\}\] atau dapat juga ditulis menjadi \[A = \varnothing.\]

Himpunan Bagian

Jika semua elemen himpunan \(A\) juga merupakan elemen dari himpunan \(B,\) maka himpunan \(A\) disebut juga dengan himpunan bagian dari himpunan \(B.\) Penulisan himpunan \(A\) adalah himpunan bagian dari himpunan \(B\) adalah \[A \subset B.\] Misalkan \(A\) dan \(B\) adalah himpunan, dimana \[\begin{aligned} A &= \{1, 3\}\\ B &= \{1, 2, 3, 4, 5\} \end{aligned}\] maka \(A \subset B\) karena semua elemen himpunan \(A\) juga merupakan elemen dari himpunan \(B.\) Hubungan kedua himpunan tersebut dapat dilihat melalui diagram venn berikut.

Diagram Venn Himpunan Bagian
\(A \subset B\)

Misalkan \(A \subset B\) dan \(B \subset A,\) ini artinya himpunan \(A\) dan himpunan \(B\) memiliki semua elemen yang sama. Penulisan kedua himpunan yang memiliki semua elemen yang sama tersebut adalah \[A = B.\] Misalkan \(A\) dan \(B\) adalah himpunan, dimana \[\begin{aligned} A &= \{1, 2, 3\}\\ B &= \{1, 2, 3\} \end{aligned}\] maka \(A = B\) karena semua elemen himpunan \(A\) sama dengan semua elemen himpunan \(B.\)

Gabungan Himpunan

Himpunan dari semua elemen himpunan \(A\) dan semua elemen himpunan \(B\) disebut juga gabungan himpunan \(A\) dan \(B.\) Himpunan gabungan tersebut dapat kita tulis dengan \[A \cup B = \{x : x \in A \text{ atau } x \in B\}.\]

Diagram Venn Himpunan Gabungan
\(A \cup B\)

Contoh misalkan \(A\) dan \(B\) adalah himpunan, dimana \[\begin{aligned} A &= \{2, 4, 6, 8, 10\}\\ B &= \{1, 2, 3, 4, 5\}. \end{aligned}\] Dari kedua himpunan tersebut, gabungan elemen himpunan \(A\) dan \(B\) adalah \(1,\) \(2,\) \(3,\) \(4,\) \(5,\) \(6,\) \(8\) dan \(10,\) sehingga dapat ditulis \[A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10\}.\]

Irisan Himpunan

Jika terdapat elemen himpunan \(A\) juga merupakan elemen dari himpunan \(B,\) maka himpunan dari elemen tersebut disebut dengan irisan himpunan \(A\) dan \(B\) dan dapat kita tulis \[A \cap B = \{x : x \in A \text{ dan } x \in B\}.\]

Diagram Venn Himpunan Irisan
\(A \cap B\)

Contoh misalkan \(A\) dan \(B\) adalah himpunan, dimana \[\begin{aligned} A &= \{2, 4, 6, 8, 10\}\\ B &= \{1, 2, 3, 4, 5\}. \end{aligned}\] Dari kedua himpunan tersebut, hanya elemen \(2\) dan \(4\) yang sama-sama dimiliki oleh kedua himpunan, sehingga dapat ditulis \[A \cap B = \{2, 4\}.\]

Komplemen Himpunan

Misalkan \(A\) adalah sebuah himpunan maka himpunan elemen-elemen yang tidak masuk dalam himpunan \(A\) tersebut disebut dengan himpunan komplemen \(A.\) Himpunan tersebut dinotasikan dengan \(A^c,\) dimana \[A^c = \{x : x \in \mathscr{S} \text{ dan } x \notin A\}\]

Diagram Venn Himpunan Komplemen
\(A^c\)

Contoh diketahui semesta \(\mathscr{S}\) dan himpunan \(A\) adalah \[\begin{aligned} \mathscr{S} &= \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\\ A &= \{1, 4, 7\},\end{aligned}\] maka elemen yang bukan himpunan \(A\) adalah \(2,\) \(3,\) \(5,\) \(6,\) dan \(8.\) Sehingga himpunan komplemen dari \(A\) adalah \[A^c = \{2, 3, 5, 6, 8\}\]

Selisih Himpunan

Misalkan \(A\) dan \(B\) adalah himpunan, maka selisih himpunan \(A\) dan himpunan \(B\) adalah himpunan elemen \(A\) yang tidak beririsan dengan himpunan \(B.\) Notasi selisih himpunan \(A\) dan \(B\) adalah \[A - B = \{x : x \in A \text{ dan } x \notin B\}.\]

Diagram Venn Himpunan Selisih
\(A - B\)

Contoh misalkan himpunan \(A\) dan \(B\) adalah \[\begin{aligned} A &= \{2, 4, 6, 8, 10\}\\ B &= \{1, 2, 3, 4, 5\}. \end{aligned}\] Dari kedua himpunan tersebut, elemen himpunan \(A\) yang tidak beririsan dengan himpunan \(B\) adalah \(6,\) \(8\) dan \(10,\) sehingga dapat ditulis \[A - B = \{6, 8, 10\}.\]

Beda Setangkup

Misalkan \(A\) dan \(B\) adalah himpunan, maka beda setangkup himpunan \(A\) dan \(B\) adalah gabungan himpunan \(A\) dan \(B\) dikurangi irisan himpunan \(A\) dan \(B.\) Notasi beda setangkup himpunan \(A\) dan \(B\) adalah \[\begin{aligned} A \oplus B &= \{x : x \in A \cup B \text{ dan } x \notin A \cap B\} \\ &= (A \cup B) - (A \cap B) \end{aligned}\]

Diagram Venn Himpunan Beda Setangkup
\(A \oplus B\)

Contoh misalkan himpunan \(A\) dan \(B\) adalah \[\begin{aligned} A &= \{2, 4, 6, 8, 10\}\\ B &= \{1, 2, 3, 4, 5\}. \end{aligned}\] Dari kedua himpunan tersebut, gabungan dan irisan himpunan \(A\) dan \(B\) adalah \[\begin{aligned} A \cup B &= \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10\}\\ A \cap B &= \{2, 4\}, \end{aligned}\] Dengan demikian, beda setangkup himpunan \(A\) dan \(B\) adalah dapat ditulis \[\begin{aligned} A \oplus B &= (A \cup B) - (A \cap B) \\ &= \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10\} - \{2, 4\} \\ &= \{1, 3, 5, 6, 8, 10\}. \end{aligned}\]

Perkalian Kartesian

Misalkan \(A\) dan \(B\) adalah himpunan, maka perkalian himpunan \(A\) dan himpunan \(B\) adalah himpunan yang terdiri dari semua pasangan \((x_1, x_2)\) yang mungkin, dimana \(x_1 \in A\) dan \(x_2 \in B.\) Dengan menggunakan notasi dapat ditulis \[A \times B = \{(x_1, x_2) : x_1 \in A, x_2 \in B\}.\] Contohnya misalkan himpunan \(A\) dan \(B\) adalah \[\begin{aligned} A &= \{1, 3\} \\ B &= \{2, 4\} \end{aligned}\] Maka perkalian \(A \times B\) dan \(B \times A\) adalah \[\begin{aligned} A \times B &= \{(1,2), (1,4), (3,2), (3,4)\} \\ B \times A &= \{(2,1), (2,3), (4,1), (4,3)\} \end{aligned}\]

Kardinalitas Himpunan

Ada kalanya kita memerlukan data banyaknya elemen dalam sebuah himpunan. Kardinalitas himpunan menyatakan banyaknya elemen dalam suatu himpunan. Kardinalitas himpunan \(A\) dinotasikan oleh \(|A|\) atau \(n(A).\)

Beberapa sifat kardinalitas himpunan:

  1. \(n(A^c) = n(\mathscr{S}) - n(A)\)
  2. \(n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)\)

Contoh misalkan himpunan semesta \(\mathscr{S},\) himpunan \(A\) dan himpunan \(B\) adalah \[\begin{aligned} \mathscr{S} &= \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} \\ A &= \{2, 3, 5, 7\} \\ B &= \{2, 4, 6, 8,10\}. \end{aligned}\] Dari penjabaran himpunan tersebut dapat kita ketahui banyaknya elemen himpunan \(\mathscr{S}\) adalah \(10,\) banyaknya elemen himpunan \(A\) adalah \(4\) dan banyaknya elemen himpunan \(B\) adalah \(5.\) Sehingga dapat kita tulis \[\begin{aligned} n(\mathscr{S}) &= 10 \\ n(A) &= 4 \\n(B) &= 5 \end{aligned}\] Berdasarkan sifat-sifatnya dapat kita ketahui \(n(A^c)\) dan \(n(B^c),\) yaitu \[\begin{aligned} n(A^c) &= n(\mathscr{S}) - n(A) \\ &= 10 - 4 \\ &= 6 \\ n(B^c) &= n(\mathscr{S}) - n(B) \\ &= 10 - 5 \\ &= 5 \end{aligned}\] Himpunan \(A^c\) dan \(B^c\) tersebut adalah \(A^c = \{1, 4, 6, 8, 9, 10\}\) dan \(B^c = \{1, 3, 5, 7, 9\}.\)

Selain itu, \(n(A \cup B)\) dapat juga dihitung dengan rumus \[\begin{aligned} n(A \cup B) &= n(A) + n(B) - n(A \cap B) \\ &= 4 + 5 - 1 \\ &= 8 \end{aligned}\] Himpunan \(A \cup B\) tersebut adalah \(A \cup B = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 10\}.\)

Sifat-sifat Himpunan

  1. Hukum Idempoten
    • \(A \cup A = A\)
    • \(A \cap A = A\)
  2. Hukum Asosiatif
    • \((A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)\)
    • \((A \cap B) \cap C = A \cap (B \cup C)\)
  3. Hukum Komutatif
    • \(A \cup B = B \cup A\)
    • \(A \cap B = B \cap A\)
  4. Hukum Distributif
    • \(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\)
    • \(A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\)
  5. Hukum Identitas
    • \(A \cup \varnothing = A\)
    • \(A \cap \varnothing = \varnothing\)
    • \(A \cap \mathscr{S} = A\)
    • \(A \cup \mathscr{S} = \mathscr{S}\)
    • Catatan: \(\varnothing\) adalah himpunan kosong dan \(\mathscr{S}\) adalah semesta.
  6. Hukum Komplemen
    • \(A \cup A^c = \mathscr{S}\)
    • \(A \cap A^c = \varnothing\)
    • \((A^c)^c = A\)
    • \(\mathscr{S}^c = \varnothing\)
    • \(\varnothing^c = \mathscr{S}\)
    • Catatan: \(^c\) adalah komplemen, \(\varnothing\) adalah himpunan kosong dan \(\mathscr{S}\) adalah semesta.
  7. Hukum De Morgan
    • \((A \cup B)^c = A^c \cap B^c\)
    • \((A \cap B)^c = A^c \cup B^c\)