Contoh Soal Anova Satu Arah dan Penyelesaiannya

Anova Satu Arah atau Anova Satu Jalur (One-way Anova) adalah alat statistik yang digunakan untuk melakukan pengujian hipotesis apakah terdapat perbedaan rata-rata di antara tiga atau lebih kelompok sampel.

Hipotesis yang digunakan dalam Anova Satu Arah adalah:

H₀: \(\mu_1 = \mu_2 = \cdots = \mu_k\)

H₁: Minimal terdapat satu \(\mu_i\) yang tidak sama

Rumus Statistik Uji Anova Satu Arah

Statistik uji Anova Satu Arah bisanya disajikan dalam bentuk tabel berikut:

Tabel Anova Satu Arah

Sumber Variasi	Sum of Squares (SS)	Degree of Freedom (df)	Mean Squares (MS)	\(F_{hit}\)
Perlakuan (Tr)	\(SSTr\)	\(k - 1\)	\(MSTr\)	\(\displaystyle \frac{MSTr}{MSE}\)
Error (E)	\(SSE\)	\(n - k\)	\(MSE\)
Total (T)	\(SST\)	\(n - 1\)

Keterangan:

\(k\) adalah banyaknya perlakuan

\(n\) adalah banyaknya sampel gabungan

\(SSTr\) adalah Jumlah Kuadrat Perlakuan (Treatment)

\(SSTr = \displaystyle \sum_{i=1}^{k} \frac{X_{i\cdot}^{2}}{n_i} - \frac{X_{..}^2}{n}\)

\(SST\) adalah Jumlah Kuadrat Total

\(SST = \displaystyle \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n_i} x_{ij}^2 - \frac{X_{..}^2}{n}\)

\(SSE\) adalah Jumlah Kuadrat Error

\(SSE = SST - SSTr\)

\(MSTr\) adalah Rata-rata Kuadrat Perlakuan

\(MSTr = \displaystyle \frac{SSTr}{k - 1}\)

\(MSE\) adalah Rata-rata Kuadrat Error

\(MSE = \displaystyle \frac{SSE}{n - k}\)

\(F_{hit}\) adalah statistik uji Anova

\(F = \displaystyle \frac{MSTr}{MSE}\)

Soal Anova Satu Arah

Banyaknya anggota rumah tangga hasil sebuah survei rumah tangga di 3 desa adalah sebagai berikut:

Desa A	Desa B	Desa C
6	4	7
8	4	5
4	4	3
4	7	6
7	4	5
5	4	5
4	3	3
	3	3
	8	3
	8

Ujilah dengan tingkat signifikansi 5 persen, apakah terdapat perbedaan rata-rata banyaknya anggota rumahtangga di ketiga desa tersebut!

Penyelesaian Anova Satu Arah

Penyelesaian Anova Satu Arah dimulai dari penetapan hipotesis, menghitung statistik uji, menentukan titik kritis, pengambilan keputusan dan menarik kesimpulan.

a. Hipotesis

Hipotesis yang digunakan untuk uji beda tiga rata-rata adalah:

H₀: \(\mu_1 = \mu_2 = \mu_3\)

(Rata-rata banyaknya anggota rumah tangga ketiga desa adalah sama)

H₁: Minimal terdapat satu \(\mu\) yang tidak sama

(Minimal terdapat rata-rata banyaknya anggota rumah tangga salah satu desa tidak sama dengan desa yang lain)

b. Statistik Uji

Langkah-langkah menghitung statistik uji adalah sebagai berikut:

1. Tentukan banyaknya perlakuan \((k)\)

Banyaknya perlakuan adalah 3 \((k = 3),\) yaitu 3 desa (Desa A, Desa B dan Desa C)

2. Hitung banyaknya data \((n_1, n_2, n_3, n)\)

Banyaknya data Desa A, B dan C:

\(n_1 = 7\)

\(n_2 = 10\)

\(n_3 = 9\)

Banyaknya data gabungan:

\(\begin{aligned}n &= n_1 + n_2 + n_3 \\ &= 7 + 10 + 9 \\ &= 26\end{aligned}\)

Jumlah data \((X_{1.}, X_{2.}, X_{3.}, X_{..})\)

Jumlah data dihitung melalui tabel:

	\(x_{1j}\)	\(x_{2j}\)	\(x_{3j}\)
	6	4	7
	8	4	5
	4	4	3
	4	7	6
	7	4	5
	5	4	5
	4	3	3
		3	3
		8	3
		8
\(X_{i.}\)	38	49	40

Jumlah data Desa A, B dan C:

\(X_1. = 38\)

\(X_2. = 49\)

\(X_3. = 40\)

Jumlah data gabungan:

\(\begin{aligned}X.. &= X_1. + X_2. + X_3. \\ &= 38 + 49 + 40 \\ &= 127\end{aligned}\)

Hitung Jumlah Kuadrat Perlakuan \((SSTr)\)

\[\begin{aligned} SSTr &= \sum_{i=1}^{k} \frac{X_{i\cdot}^{2}}{n_i} - \frac{X_{..}^2}{n}\\ &= \left(\frac{38^2}{7} + \frac{49^2}{10} + \frac{40^2}{9}\right) - \frac{127^2}{26}\\ &= 624{,}1635 - 620{,}3462\\ &= 3{,}8173 \end{aligned}\]

Hitung Jumlah Kuadrat Data Gabungan

Untuk memudahkan penghitungan, gunakan tabel berikut:

\(x_{1j}\)	\(x_{2j}\)	\(x_{3j}\)	\(x_{1j}^2\)	\(x_{2j}^2\)	\(x_{3j}^2\)
6	4	7	36	16	49
8	4	5	64	16	25
4	4	3	16	16	9
4	7	6	16	49	36
7	4	5	49	16	25
5	4	5	25	16	25
4	3	3	16	9	9
	3	3		9	9
	8	3		64	9
	8			64

\[\begin{aligned} \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n_i} x_{ij}^2 &= 6^2 + 8^2 + \cdots + 3^2 + 3^2\\ &= 36 + 64 + \cdots + 9 + 9\\ &= 693 \end{aligned}\]

Hitung Jumlah Kuadrat Total \((SST)\)

\[\begin{aligned} SST &= \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n_i} x_{ij}^2 - \frac{X_{..}^2}{n}\\ &= 693 - \frac{127^2}{26}\\ &= 693 - 620{,}3462\\ &= 72{,}6538 \end{aligned}\]

Hitung Jumlah Kuadrat Error \((SSE)\)

\[\begin{aligned} SSE &= SST - SSTr\\ &= 72{,}6538 - 3{,}8173\\ &= 68{,}8365 \end{aligned}\]

Hitung Derajat Bebas/Degree of Freedom (df)

df treatment \(= k - 1 = 3 - 1 = 2\)

df error \(= n - k = 26 - 3 = 23\)

Hitung Rata-rata Kuadrat Perlakuan \((MSTr)\) dan Rata-rata Kuadrat Error \((MSE)\)

\(MSTr = \displaystyle \frac{SSTr}{k - 1} = \frac{3{,}8173}{3-1} = 1{,}9087\)

\(MSE = \displaystyle \frac{SSE}{n - k} = \frac{68{,}8365}{26-3} = 2{,}9929\)

Hitung \(F_{hit}\)

\(F_{hit} = \displaystyle \frac{MSTr}{MSE} = \frac{1{,}9087}{2{,}9929} = 0{,}6377\)

Selanjutnya tabel Anova adalah sebagai berikut:

Sumber Variasi	Sum of Squares (SS)	Degree of Freedom (df)	Mean Squares (MS)	\(F_{hit}\)
Perlakuan (Tr)	3,8173	2	1,9087	0,6377
Error (E)	68,8365	23	2,9929
Total (T)	72,6538	25

c. Titik Kritis

Distribusi yang digunakan dalam pengujian Anova adalah distribusi F.

\[F_{(\alpha; k-1, n-k)} = F_{(0{,}05; 2,23)} = 3{,}422\]

Gunakan Tabel Distribusi F, untuk melihat nilai F tersebut.

d. Keputusan

Karena \(F_{hit} < F_{(\alpha; k-1, n-k)},\) maka gagal tolah H₀.

e. Kesimpulan

Dengan tingkat signifikansi 5 persen, tidak terdapat perbedaan rata-rata banyaknya anggota rumahtangga di Desa A, Desa B dan Desa C.