Sebelum memahami pengertian fungsi himpunan peluang, perlu disampaikan beberapa konsep teori himpunan berikut ini.
- Ruang sampel \((\Omega)\) adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak. Ruang sampel kadang disebut juga dengan semesta.
- Kejadian atau event \((E)\) adalah himpunan bagian dari himpunan ruang sampel \(\Omega.\)
- \(\sigma\)-field atau \(\sigma\)-algebra \((\mathcal{F})\) adalah himpunan dari semua himpunan dari ruang sampel \(\Omega.\)
Fungsi himpunan peluang dinotasikan dengan \(P,\) dimana \(P\) dikatakan sebagai fungsi himpunan peluang dari suatu percobaan acak jika memenuhi tiga persyaratan berikut.
|
Selanjutnya agar memudahkan penulisan maka fungsi himpunan peluang cukup dituliskan fungsi peluang atau peluang saja. Jika ditulis \(P(E),\) maka disebut peluang dari kejadian \(E.\)
Sifat-Sifat Fungsi Peluang
- Jika himpunan \(E^c\) adalah komplemen dari himpunan \(E,\) maka untuk setiap himpunan \(E \subset \Omega\) berlaku \[P(E) = 1 - P(E^c).\]
- Peluang dari himpunan kosong (kejadian yang tidak mungkin terjadi) adalah 0, \[P(\varnothing) = 0.\]
- Misalkan himpunan \(E_1\) dan \(E_2\) adalah himpunan bagian dari semesta \((E_1 \subset \Omega, E_2 \subset \Omega)\) dan himpunan \(E_1\) adalah himpunan bagian dari himpunan \(E_2\) \((E_1 \subset E_2),\) maka \[P(E_1) \leq P(E_2).\]
- Untuk setiap \(E \subset \Omega,\) berlaku \(0 \leq P(E) \leq 1.\)
- Jika setiap himpunan \(E_1\) dan \(E_2\) adalah himpunan bagian dari himpunan semesta \((E_1 \subset \Omega, E_2 \subset \Omega)\) maka peluang gabungan himpunan \(E_1\) dan \(E_2\) adalah \[\begin{aligned} P(E_1 \cup E_2) =\,&P(E_1) + P(E_2) \\ &- P(E_1 \cap E_2). \end{aligned}\]
Bukti:
Karena himpunan \(E^c\) adalah komplemen dari himpunan \(E,\) maka \(E \cup E^c = \Omega\) dan \(E \cap E^c = \varnothing,\) maka dari persyaratan fungsi peluang nomor \((ii)\) dan \((iii)\) berlaku
sehingga terbukti bahwa \(P(E) = 1 - P(E^c).\)
Bukti:
Pada sifat sebelumnya telah terbukti bahwa \(P(E) = 1 - P(E^c).\) Jika dimisalkan \(E = \varnothing\) maka \(E^c = \Omega,\) sehingga \[\begin{aligned} P(E) &= 1 - P(E^c) \\ P(\varnothing) &= 1 - P(\Omega) \\ P(\varnothing) &= 1 - 1\\ P(\varnothing) &= 0\end{aligned},\]
Bukti:
Karena \(E_1 \subset E_2,\) maka berlaku persamaan \[E_1 \cup (E_1^c \cap E_2) = E_2 \]\[E_1 \cap (E_1^c \cap E_2) = \varnothing.\] Sesuai dengan persyaratan fungsi peluang nomor \((iii),\) maka \[P(E_2) = P(E_1) + P(E_1^2 \cap E_2).\] Dengan memperhatikan persyaratan persyaratan fungsi peluang nomor \((i),\) maka \(P(E_1^c \cap E_2) \geq 0,\) sehinggga \(P(E_2) \geq P(E_1).\)
Bukti:
Diketahui \(\varnothing \subset E \subset \Omega,\) sehingga \(P(\varnothing) \leq P(E) \leq P(\Omega).\) Berdasarkan sifat-sifat sebelumnya bahwa \(P(\varnothing) = 0\) dan \(P(\Omega) = 1,\) maka terbukti bahwa \[0 \leq P(E) \leq 1.\]
Bukti:
Himpunan \(E_1 \cup E_2\) dan himpunan \(E_2\) masing-masing dapat diganti oleh suatu himpunan gabungan tanpa ada irisan, yaitu \[\begin{aligned} E_1 \cup E_2 &= E_1 \cup (E_1^c \cap E_2) \\ P(E_1 \cup E_2) &= P(E_1) + P(E_1^c \cap E_2) \end{aligned}\] dan \[\begin{aligned} E_2 &= (E_1 \cap E_2) \cup (E_1^c \cap E_2) \\ P(E_2) &= P(E_1 \cap E_2) + P(E_1^c \cap E_2).\end{aligned}\]
Dari persamaan kedua di atas diperoleh \(P(E_1^c \cap E_2) = P(E_2) - P(E_1 \cap E_2).\) Substitusi \(P(E_1^c \cap E_2)\) pada persamaan pertama dengan persamaan kedua di atas membuktikan bahwa \[\begin{aligned} P(E_1 \cup E_2) =\,&P(E_1) + P(E_2) \\ &- P(E_1 \cap E_2). \end{aligned}\]