Penentuan jumlah sampel yang akan digunakan dalam suatu survei merupakan pekerjaan yang cukup sulit. Sebab penetapan jumlah sampel sangat menentukan proses dan hasil dari survei yang akan kita lakukan. Jumlah sampel yang kita tetapkan akan menentukan besarnya tenaga, waktu dan biaya yang akan kita keluarkan. Besarnya ukuran sampel juga akan menentukan besarnya kesalahan yang dihasilkan dari survei tersebut.
Ada beberapa hal yang harus diperhatikan dalam menentukan ukuran sampel. Diantaranya adalah harus menetapkan besarnya kesalahan pengambilan sampel (sampling error) atau biasa juga di sebut dengan margin of error. Selain itu kita juga harus menetapkan tingkat kepercayaan yang akan digunakan. Biasanya tingkat kepercayaan yang kita gunakan adalah 95%, namun kita masih bisa menaikkan atau menurunkannya.
Berikut ini akan disajikan beberapa rumus pengambilan sampel untuk estimasi rata-rata dan proporsi dari populasi yang jumlahnya besar/tak hingga/tidak diketahui (infinite population) dan populasi yang jumlahnya sedikit (finite population). Penggunaan rumus didasarkan pada pengambilan sampel acak sederhana (simple random sampling).
Selain itu disajikan juga penurunan rumus sehingga rumus pengambilan sampel tersebut dapat diperoleh. Penurunan rumus didasarkan pada selang kepercayaan untuk estimasi parameter, yaitu \[\hat{\theta} - e < \theta < \hat{\theta} + e\] atau secara sederhana dapat ditulis menjadi \[\hat{\theta} \pm e\] dimana \(\hat{\theta}\) adalah estimator parameter (seperti rata-rata dan proporsi) dan \(e\) adalah margin of error. Selanjutnya margin of error digunakan untuk menurunkan rumus penentuan ukuran sampel.
Penentuan Ukuran Sampel untuk Rata-rata Populasi Banyak
Rumus penentuan ukuran sampel untuk mengestimasi parameter rata-rata \(\mu\) populasi yang besar adalah \[n = \frac{Z_{\alpha /2}^2 \sigma^2}{e^2}\] dimana \(n\) adalah ukuran sampel yang akan dicari, \(Z\) adalah nilai distribusi normal standar, \(\alpha\) adalah tingkat signifikansi, \(\sigma\) adalah standar deviasi dan \(e\) adalah margin of error.
Berdasarkan rumus tersebut, sebelum melakukan penghitungan ukuran sampel, kita harus menetapkan tiga nilai berikut.
- Tingkat kepercayaan yang diinginkan, yang menentukan nilai kritis dari distribusi normal standar \((Z_{\alpha/2}).\) Tingkat kepercayaan yang digunakan biasanya adalah 90 persen, 95 persen atau 99 persen tergantung pada tingkat ketelitian yang diinginkan.
- Besaran kesalahan pengambilan sampel (margin of error) yang dapat diterima \((e).\)
- Standar deviasi populasi \((\sigma).\) Ini adalah penetapan yang paling sulit karena nilainya jarang ada. Kita dapat menggunakannya dari penelitian-penelitian sebelumnya, meminta pendapat dari para ahli atau dengan melakukan survei pendahuluan.
Penurunan Rumus
Rumus penentuan ukuran sampel untuk estimasi rata-rata \(\mu\) pada populasi berukuran besar diturunkan dari selang kepercayaan estimasi rata-rata \(\mu,\) yaitu: \[\bar{x} \pm Z_{\alpha /2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\] dimana \(\bar{x}\) adalah estimator rata-rata.
Dari interval kepercayaan tersebut dapat diketahui bahwa margin of error adalah \[e = Z_{\alpha /2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\] Untuk mendapatkan jumlah sampel minimal, maka sisi kanan dan kiri persamanaan margin of error di atas dikuadratkan, sehingga menjadi \[e^2 = Z_{\alpha /2}^2 \frac{\sigma^2}{n}\] Selanjutnya \(n\) sebagai nilai yang akan dicari dipindahkan ke sisi kiri sehingga diperoleh \[\begin{aligned} n &= \frac{Z_{\alpha /2}^2 \sigma^2}{e^2} \end{aligned}\]
Penentuan Ukuran Sampel untuk Proporsi Populasi Banyak
Rumus penentuan ukuran sampel untuk mengestimasi parameter proporsi \((p)\) populasi yang ukurannya besar adalah \[n = \frac{Z_{\alpha /2}^2 p(1-p)}{e^2}\] dimana \(n\) adalah ukuran sampel yang akan dicari, \(Z\) adalah nilai distribusi normal standar, \(\alpha\) adalah tingkat signifikansi, \(p\) adalah proporsi dan \(e\) adalah margin of error.
Berdasarkan rumus tersebut, sebelum melakukan penghitungan ukuran sampel, kita harus menetapkan tiga nilai berikut.
- Tingkat kepercayaan yang diinginkan, yang menentukan nilai kritis dari distribusi normal standar \((Z_{\alpha/2}).\) Tingkat kepercayaan yang digunakan biasanya adalah 90 persen, 95 persen atau 99 persen tergantung pada tingkat ketelitian yang diinginkan.
- Besaran kesalahan pengambilan sampel (margin of error) yang dapat diterima \((e).\)
- Proporsi populasi \((p).\) Sama halnya dengan standar deviasi pada penentuan ukuran sampel untuk estimasi rata-rata, penetapan nilai proporsi adalah penetapan yang paling sulit karena nilainya jarang ada. Kita dapat menggunakannya dari penelitian-penelitian sebelumnya, meminta pendapat dari para ahli atau dengan melakukan survei pendahuluan.
Penurunan Rumus
Rumus ukuran sampel untuk mengestimasi proporsi diturunkan dari estimasi interval kepercayaannya, yaitu: \[\hat{p} \pm Z_{\alpha /2} \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\] dimana \((\hat{p})\) adalah estimator proporsi.
Nilai margin of error dari rumus di atas adalah \[e = Z_{\alpha /2} \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\] Kuadratkan sisi kiri dan sisi kanan persamaan di atas, sehingga bentuknya menjadi \[e^2 = Z_{\alpha /2}^2 \frac{p(1-p)}{n}\] Pindahkan \(n\) sebagai nilai yang akan dicari ke sisi kiri \[n = \frac{Z_{\alpha /2}^2 p(1-p)}{e^2}\]
Penentuan Ukuran Sampel untuk Rata-rata Populasi Terbatas
Rumus penentuan ukuran sampel untuk estimasi rata-rata \(\mu\) pada populasi berukuran kecil (populasi terbatas) adalah \[n = \frac{n_0 N}{n_0 + (N-1)}\] dimana \(n\) adalah ukuran sampel yang akan dicari, \(N\) ukuran populasi dan \[n_0 = \frac{Z_{\alpha /2}^2 \sigma^2}{e^2}\]
Penurunan Rumus
Rumus penentuan ukuran sampel untuk estimasi rata-rata \(\mu\) pada populasi berukuran terbatas ini diturunkan dari selang kepercayaannya, yaitu \[\bar{x} \pm Z_{\alpha /2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \sqrt{\frac{N-n}{N-1}}\] dimana margin of error dari rumus di atas adalah \[e = Z_{\alpha /2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \sqrt{\frac{N-n}{N-1}}\] Sebagai informasi tambahan bahwa nilai \(\displaystyle \sqrt{\frac{N-n}{N-1}}\) merupakan koreksi dari estimasi populasi terbatas.
Selanjutnya sisi kanan dan sisi kiri persamaan margin of error tersebut dikuadratkan, sehingga menjadi \[e^2 = Z_{\alpha /2}^2 \frac{\sigma^2}{n} \frac{N-n}{N-1}\] kemudian persamaannya disederhanakan menjadi \[1 = \frac{Z_{\alpha /2}^2 \sigma^2}{e^2} \frac{N-n}{Nn-n}\]
Untuk mempermudah penulisan rumus, maka dimisalkan \[\frac{Z_{\alpha /2}^2 \sigma^2}{e^2} = n_0\] sehingga \[\begin{aligned} 1 = n_0 \frac{N-n}{Nn-n}\\ Nn-n &= n_0 (N-n)\\ Nn-n &= Nn_0 - n_0n\\ n_0n + Nn-n &= Nn_0\\ n(n_0 + N - 1) &= Nn_0\\ n &= \frac{Nn_0}{n_0 + (N - 1)} \end{aligned}\]
Penentuan Ukuran Sampel untuk Proporsi Populasi Terbatas
Rumus penentuan ukuran sampel untuk mengestimasi parameter proporsi \((p)\) populasi yang ukurannya kecil (populasi terbatas) adalah \[n = \frac{n_0 N}{n_0 + (N-1)}\] dimana \(n\) adalah ukuran sampel yang akan dicari, \(N\) ukuran populasi dan \[n_0 = \frac{Z_{\alpha /2}^2 p(1-p)}{e^2}\]
Penurunan Rumus
Rumus ukuran sampel untuk mengestimasi proporsi diturunkan dari estimasi interval kepercayaannya, yaitu
\[\hat{p} \pm Z_{\alpha /2} \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \sqrt{\frac{N-n}{N-1}}\] dimana margin of error dari rumus di atas adalah \[e = Z_{\alpha /2} \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \sqrt{\frac{N-n}{N-1}}\] Sebagai informasi tambahan bahwa nilai \(\displaystyle \sqrt{\frac{N-n}{N-1}}\) merupakan koreksi dari estimasi populasi terbatas.
Selanjutnya sisi kanan dan sisi kiri persamaan margin of error tersebut dikuadratkan, sehingga menjadi \[e^2 = Z_{\alpha /2}^2 \frac{p(1-p)}{n} \frac{N-n}{N-1}\] selanjutnya persamaannya disederhanakan menjadi \[1 = \frac{Z_{\alpha /2}^2 p(1-p)}{e^2} \frac{N-n}{Nn-n}\]
Untuk mempermudah penulisan rumus, maka dimisalkan \[\frac{Z_{\alpha /2}^2 p(1-p)}{e^2} = n_0\] sehingga \[\begin{aligned} Nn-n &= n_0(N-n)\\ Nn-n &= N n_0 - n_0n\\ n_0n + Nn-n &= N n_0\\ n(n_0 + N-1) &= N n_0\\ n &= \frac{N n_0}{n_0 + (N-1)}\\ \end{aligned}\]
Penentuan Ukuran Sampel untuk Proporsi dengan Rumus Slovin
Rumus Slovin digunakan untuk mendapatkan banyaknya sampel dalam survei yang bertujuan untuk mengestimasi proporsi dan kita tidak mengetahui perkiraan dari proporsi populasi tersebut.
Bentuk dari rumus slovin adalah \[n = \frac{N}{1 + Ne^2}\] Materi mengenai rumus slovin telah dibahas di artikel: Rumus Slovin