Sekumpulan data biasanya digambarkan dengan suatu nilai pusat (central tendency). Nilai tersebut disebut dengan Ukuran Pemusatan Data. Nilai ukuran pemusatan data (average) merupakan nilai yang mewakili suatu kumpulan data sehingga nilai tersebut harus memiliki sifat-sifat berikut.
2; 4; 5; 6; 6; 6; 7; 7; 8; 9
Rata-rata, median dan modus dari kumpulan data tersebut memiliki nilai yang sama, yaitu 6. Jika nilai terakhir yang semula bernilai 9 diganti menjadi 90, maka rata-ratanya akan berubah menjadi 14,10, sedangkan nilai median dan modus masih tetap sama yaitu 9. Dalam kasus ini menunjukkan bahwa nilai median dan modus lebih baik dari rata-rata, tapi tetap saja nilai median dan modus tersebut tidak memenuhi sifat yang lainnya. Oleh karena itu, rata-rata merupakan ukuran pepusatan data yang terbaik sehingga paling sering digunakan dalam analisis statistik.
Berikut ini adalah pembahasan dari ketiga ukuran pemusatan tersebut.
Rata-rata adalah nilai yang mewakili himpunan atau sekumpulan data (a set of data). Rata-rata sangat baik digunakan apabila sebaran data merata atau nilai antara data yang satu dengan data yang lain tidak berbeda jauh (homogen).
Rata-rata hitung digunakan apabila:
Hitunglah nilai rata-rata dari nilai ujian mahasiswa jurusan statistika berikut ini: 2; 4; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 8; 9
Jawab:
Rata-rata dihitung menggunakan rumus: \[\begin{aligned} \bar{x}&=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\\ &=\frac{1}{10}(2+4+5+6+6+7+7+7+8+9)\\ &=\frac{1}{10}61\\ &=6\text{,}1 \end{aligned}\] Dengan demikian, rata-rata dari nilai ujian mahasiswa jurusan statistika adalah 6,1.
Median adalah nilai yang terletak di bagian tengah dari suatu kumpulan data yang telah diurutkan. Nilai median dipengaruhi oleh banyaknya pengamatan dan tidak tergantung pada besarnya nilai pengamatan walaupun nilainya tersebut sangat ekstrem. Dengan demikian, median sangat cocok digunakan untuk mewakili data yang distribusinya tidak homogen.
Median sangat baik digunakan ketika:
Contoh soal 1:
(menghitung median yang banyaknya data (\(n\)) ganjil)
Hitunglah median dari nilai ujian mahasiswa jurusan statistika berikut ini: 8; 4; 5; 6; 7; 6; 7; 7; 2; 9; 10
Jawab:
Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut.
Contoh soal 2:
(menghitung median yang banyaknya data (\(n\)) genap)
Hitunglah median dari nilai ujian mahasiswa jurusan statistika berikut ini: 8; 4; 5; 6; 7; 6; 7; 7; 2; 9
Jawab:
Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut.
Modus adalah nilai yang paling sering muncul dari sekumpulan data. Modus tidak dipengaruhi oleh nilai ekstrem atau pencilan (outlier). Biasanya modus hanya digunakan untuk tujuan deskriptif karena nilai modus tidak mempertimbangkan distribusi data. Jika nilai-nilai pengamatan sangat bervariasi dari nilai pusatnya, maka modus kurang cocok digunakan sebagai ukuran pemusatan data.
Contoh soal penghitungan modus:
Hitunglah nilai modus dari nilai ujian mahasiswa jurusan statistika berikut ini: 2; 4; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 8; 9!
Jawab:
Dari soal tersebut dapat diketahui
- Harus mempertimbangkan semua data dalam kelompok data.
- Tidak boleh terpengaruh oleh nilai-nilai ekstrim atau pencilan (outlier).
- Harus stabil dari sampel ke sampel.
- Harus mampu digunakan untuk analisis statistik lebih lanjut.
Rata-rata, median dan modus dari kumpulan data tersebut memiliki nilai yang sama, yaitu 6. Jika nilai terakhir yang semula bernilai 9 diganti menjadi 90, maka rata-ratanya akan berubah menjadi 14,10, sedangkan nilai median dan modus masih tetap sama yaitu 9. Dalam kasus ini menunjukkan bahwa nilai median dan modus lebih baik dari rata-rata, tapi tetap saja nilai median dan modus tersebut tidak memenuhi sifat yang lainnya. Oleh karena itu, rata-rata merupakan ukuran pepusatan data yang terbaik sehingga paling sering digunakan dalam analisis statistik.
Berikut ini adalah pembahasan dari ketiga ukuran pemusatan tersebut.
Rata-Rata
Rata-rata adalah nilai yang mewakili himpunan atau sekumpulan data (a set of data). Rata-rata sangat baik digunakan apabila sebaran data merata atau nilai antara data yang satu dengan data yang lain tidak berbeda jauh (homogen).
Rata-rata hitung digunakan apabila:
- Jenis datanya adalah numerik (interval atau rasio). Jika datanya adalah kategorik ordinal maka sebaiknya menggunakan median dan jika datanya adalah numerik nominal, maka sebaiknya menggunakan modus.
- Sebaran datanya simetris.
- Tidak terdapat data pencilan (outlier).
Hitunglah nilai rata-rata dari nilai ujian mahasiswa jurusan statistika berikut ini: 2; 4; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 8; 9
Jawab:
Rata-rata dihitung menggunakan rumus: \[\begin{aligned} \bar{x}&=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\\ &=\frac{1}{10}(2+4+5+6+6+7+7+7+8+9)\\ &=\frac{1}{10}61\\ &=6\text{,}1 \end{aligned}\] Dengan demikian, rata-rata dari nilai ujian mahasiswa jurusan statistika adalah 6,1.
Median
Median adalah nilai yang terletak di bagian tengah dari suatu kumpulan data yang telah diurutkan. Nilai median dipengaruhi oleh banyaknya pengamatan dan tidak tergantung pada besarnya nilai pengamatan walaupun nilainya tersebut sangat ekstrem. Dengan demikian, median sangat cocok digunakan untuk mewakili data yang distribusinya tidak homogen.
Median sangat baik digunakan ketika:
- rata-rata tidak memenuhi syarat pada data berjenis interval/rasio yaitu ketika distribusi data tidak simetris,
- skala data numerik ordinal,
Contoh soal 1:
(menghitung median yang banyaknya data (\(n\)) ganjil)
Hitunglah median dari nilai ujian mahasiswa jurusan statistika berikut ini: 8; 4; 5; 6; 7; 6; 7; 7; 2; 9; 10
Jawab:
Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut.
- Diketahui datanya adalah 8; 4; 5; 6; 7; 6; 7; 7; 2; 9; 10.
- Data tersebut diurutkan dari nilainya yang terkecil ke yang terbesar. Hasil setelah pengurutan adalah 2; 4; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 8; 9; 10
- Banyaknya data (\(n\)) = 11.
- Posisi median ditentukan menggunakan rumus \[\begin{aligned} \text{Posisi Median}&=\frac{1}{2}(n+1)\\ &=\frac{1}{2}(11+1)\\ &=\frac{1}{2}(12)\\ &=6 \end{aligned}\] Artinya median adalah data yang berada pada urutan keenam (\(x_6\)).
- Dengan demikian nilai median data adalah 7.
Contoh soal 2:
(menghitung median yang banyaknya data (\(n\)) genap)
Hitunglah median dari nilai ujian mahasiswa jurusan statistika berikut ini: 8; 4; 5; 6; 7; 6; 7; 7; 2; 9
Jawab:
Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut.
- Diketahui datanya adalah: 8; 4; 5; 6; 7; 6; 7; 7; 2; 9.
- Data tersebut diurutkan dari nilainya yang terkecil ke yang terbesar. Hasil setelah pengurutan adalah: 2; 4; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 8; 9
- Banyaknya data (\(n\)) adalah 10.
- Posisi median ditentukan menggunakan rumus \[\begin{aligned} \text{Posisi Median}&=\frac{1}{2}(n+1)\\ &=\frac{1}{2}(10+1)\\ &=\frac{1}{2}(11)\\ &=5\text{,}5 \end{aligned}\] Artinya nilai median data adalah data yang berada diantara data urutan kelima (\(x_5\)) dan keenam (\(x_6\)).
- Dengan demikian nilai median data adalah \[\begin{aligned} \text{Median}&=\frac{1}{2}(6+7)\\ &=\frac{1}{2}(14)\\ &=6\text{,}5 \end{aligned}\]
Modus
Modus adalah nilai yang paling sering muncul dari sekumpulan data. Modus tidak dipengaruhi oleh nilai ekstrem atau pencilan (outlier). Biasanya modus hanya digunakan untuk tujuan deskriptif karena nilai modus tidak mempertimbangkan distribusi data. Jika nilai-nilai pengamatan sangat bervariasi dari nilai pusatnya, maka modus kurang cocok digunakan sebagai ukuran pemusatan data.
Contoh soal penghitungan modus:
Hitunglah nilai modus dari nilai ujian mahasiswa jurusan statistika berikut ini: 2; 4; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 8; 9!
Jawab:
Dari soal tersebut dapat diketahui
- Data 2, muncul 1 kali
- Data 4, muncul 1 kali
- Data 5, muncul 1 kali
- Data 6, muncul 2 kali
- Data 7, muncul 3 kali
- Data 8, muncul 1 kali
- Data 9, muncul 1 kali