Misalkan \(f(x)\) adalah sebuah fungsi, maka turunannya adalah \(f'(x),\) dimana
| \[f'(x)=\lim_{x\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\] |
Turunan dapat diketahui melalui sifat-sifatnya. Berikut sifat-sifat dari turunan.
Sifat-sifat Turunan
| 1. Jika \(f(x)=c\) dimana \(c\) adalah konstanta, maka turunannya adalah \[f'(x)=0\] |
Contoh:
\[
\begin{aligned}
f(x)&=2 &\rightarrow f'(x)=0\\
f(x)&=13 &\rightarrow f'(x)=0\\
f(x)&=100 &\rightarrow f'(x)=0
\end{aligned}
\]
| 2. Jika \(f(x)=cx\), maka turunannya adalah \[f'(x)=c\] |
Contoh:
\[
\begin{aligned}
f(x)&=2x &\rightarrow &f'(x)=2\\
f(x)&=13x &\rightarrow &f'(x)=13\\
f(x)&=100x &\rightarrow &f'(x)=100
\end{aligned}
\]
| 3. Jika \(f(x)=x^n\) maka turunannya adalah \[f'(x)=nx^{n-1}\] |
Contoh:
\[
\begin{aligned}
f(x)&=x^4 &\rightarrow &f'(x)=4x^3\\
f(x)&=x^3 &\rightarrow &f'(x)=3x^2\\
f(x)&=x^2 &\rightarrow &f'(x)=2x
\end{aligned}
\]
| 4. Jika \(f(x)=cx^n\)maka turunannya adalah \[f'(x)=cnx^{n-1}\] |
Contoh:
\[
\begin{aligned}
f(x)&=2x^4 &\rightarrow &f'(x)=8x^3\\
f(x)&=13x^3 &\rightarrow &f'(x)=39x^2\\
f(x)&=100x^2 &\rightarrow &f'(x)=200x
\end{aligned}
\]
| 5. Jika \(f(x)=c\,u(x)\) maka turunannya adalah \[f'(x)=c\,u'(x)\] |
Contoh:
\[
\begin{aligned}
f(x)&=4\ln{x}&\rightarrow &f'(x)=4\frac{1}{x}\\
f(x)&=3\cos{x}&\rightarrow &f'(x)=3\sin{x}\\
f(x)&=2\sin{x}&\rightarrow &f'(x)=-2\cos{x}
\end{aligned}
\]
| 6. Jika \(f(x)=u(x)\pm v(x)\) maka turunannya adalah \[f'(x)=u'(x)\pm v'(x)\] |
Contoh:
\[
\begin{aligned}
f(x)&=2x+x^2&\rightarrow &f'(x)=2+2x\\
f(x)&=x^4-x^3&\rightarrow &f'(x)=4x^3-3x^2\\
f(x)&=\sin{x}+\cos{x}&\rightarrow &f'(x)=\cos{x}-\sin{x}
\end{aligned}
\]
| 7. Jika \(f(x)=u(x)v(x)\) maka turunannya adalah \[f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\] |
Contoh:
\[
f(x)=x^4x^3
\]
Misalkan \(u(x)=x^4\) dan \(v(x)=x^3,\) maka \(u'(x)=4x^3\) dan \(v'(x)=3x^2,\) sehingga
\[
\begin{aligned}
f'(x)&=(4x^3)(x^3)+(x^4)(3x^2)\\
&=4x^6+3x^6\\
&=7x^6
\end{aligned}
\]
| 8. Jika \(f(x)=\displaystyle\frac{u(x)}{v(x)}\) maka turunannya adalah \[f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}\] |
Contoh:
\[
f(x)=\frac{x^4}{x^3}
\]
Misalkan \(u(x)=x^4\) dan \(v(x)=x^3,\) maka \(u'(x)=4x^3\) dan \(v'(x)=3x^2,\) sehingga
\[
\begin{aligned}
f'(x)&=\frac{(4x^3)(x^3)-(x^4)(3x^2)}{(x^3)^2}\\
&=\frac{4x^6-3x^6}{x^6}\\
&=1
\end{aligned}
\]
| 9. Jika \(f(x)={u(x)}^n\) maka turunannya adalah \[f'(x)=n(u(x))^{n-1}u'(x)\] |
Contoh:
\[
f(x)=(2x+x^2)^4
\]
Misalkan \(u(x)=2x+x^2,\) sehingga \(u'(x)=2+2x,\) maka
\[
f'(x)=4\left(2x+x^2\right)^3(2+2x)
\]
Sifat-sifat Turunan Logaritma Natural
| \[
\begin{aligned}
f(x)&={^c}\log{x}&\rightarrow &f'(x)=\frac{1}{x}.{^c}\log e\\
f(x)&={^c}\log{g(x)}&\rightarrow&f'(x)=\frac{g'(x)}{g(x)}.{^c}\log e
\end{aligned}
\]
dimana \(e\) adalah bilangan euler yang nilainya adalah \(e=2\text{,}7182818.\) |
Sifat-sifat Turunan Logaritma
| \[
\begin{aligned}
f(x)&=\sin{x}&\rightarrow&f'(x)=\cos{x}\\
f(x)&=\cos{x}&\rightarrow&f'(x)=-\sin{x}\\
f(x)&=\tan{x}&\rightarrow&f'(x)=\sec^2{x}\\
f(x)&=\cot{x}&\rightarrow&f'(x)=-\csc^2{x}\\
f(x)&=\sec{x}&\rightarrow&f'(x)=\sec{x}.\tan{x}\\
f(x)&=\csc{x}&\rightarrow&f'(x)=-\csc{x}.\cot{x}
\end{aligned}\]
Perluasan Turunan Fungsi Trigonometri
\[
\begin{aligned}
f(x)&=\sin{g(x)}&\rightarrow&f'(x)=g'(x).\cos{g(x)}\\
f(x)&=\cos{g(x)}&\rightarrow&f'(x)=g'(x).-\sin{g(x)}\\
f(x)&=\tan{g(x)}&\rightarrow&f'(x)=g'(x).\sec^2{g(x)}\\
f(x)&=\cot{g(x)}&\rightarrow&f'(x)=g'(x).-\csc^2{g(x)}\\
f(x)&=\sec{g(x)}&\rightarrow&f'(x)=g'(x).\sec{g(x)}.\tan{g(x)}\\
f(x)&=\csc{g(x)}&\rightarrow&f'(x)=g'(x).-\csc{g(x)}.\cot{g(x)}
\end{aligned}
\]
|