Estimasi Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Ranking Median | Rumus Statistik

Estimasi Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Ranking Median

Penjelasan distribusi weibull secara teori dapat dipelajari di artikel Distribusi Weibull. Artikel ini membahas estimasi parameter distribusi weibull dengan menggunakan Metode Ranking Median dengan Pendekatan Benard

Fungsi kepadatan peluang distribusi weibull adalah \[f(x)=\frac{k}{\lambda}\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1}e^{-\left(\frac{x}{\lambda}\right)^k}.\] Estimasi parameter \(\lambda\) dan \(k\) dapat dilakukan dengan menggunakan Metode Maximum Likelihood Estimation (MLE). Namun metode ini akan menghasilkan penyelesaian yang tidak dalam bentuk closed form, sehingga penyelesaiannya harus dilanjutkan dalam bentuk numerik, misalnya menggunakan algoritma Newton-Raphson.

Pendekatan lain yang dapat dilakukan dalam mengestimasi parameter distribusi weibull adalah dengan Metode Ranking Median. Dengan metode ini, parameter distribusi weibull diestimasi melalui fungsi peluang kumulatifnya.

Coba perhatikan turunan rumus fungsi kumulatif distribusi weibull berikut ini. \[ \begin{aligned} F(x)&=1-e^{-\left(\frac{x}{\lambda}\right)^k}\\ 1-F(x)&=e^{-\left(\frac{x}{\lambda}\right)^k}\\ \ln{(1-F(x))}&=-\left(\frac{x}{\lambda}\right)^k\\ \ln{\left(\frac{1}{1-F(x)}\right)}&=\left(\frac{x}{\lambda}\right)^k\\ \ln{\left[\ln{\left(\frac{1}{1-F(x)}\right)}\right]}&=k\ln{\left(\frac{x}{\lambda}\right)}\\ \ln{\left[\ln{\left(\frac{1}{1-F(x)}\right)}\right]}&=-k\ln{\lambda}+k\ln{x} \end{aligned} \] Persamaan ini mirip dengan persamaan regresi linier sederhana yaitu \[\hat{y}=a+bt\] dimana sebagai variabel dependen adalah \(\displaystyle\hat{y}=\ln{\left[\ln{\left(\frac{1}{1-F(x)}\right)}\right]},\) sebagai variabel independen adalah \(t=\ln{x},\) sebagai intersep adalah \(a=-k\ln{\lambda}\) dan sebagai slope adalah \(b=k.\)

Dengan menyelesaikan bentuk regresi linier sederhana tersebut maka estimator parameter distribusi weibull dapat diketahui, yaitu \[ \begin{aligned} \hat{\lambda}&=e^{-\left(\frac{a}{\hat{k}}\right)}\\ \hat{k}&=b \end{aligned} \] Fungsi distribusi kumulatif \(F(x)\) dapat didekati dengan Rangking Median Pendekatan Benard, yaitu \[RM=\frac{i-0\text{,}3}{n+0.4}\]

Contoh Soal


Berikut ini adalah contoh data berdistribusi weibull. Tentukan parameter dari distribusi tersebut.

\(x\)
53
42
31
61
56
65
18
47
32
28
Jawab:

Langkah pertama untuk menentukan parameter distribusi weilbull adalah dengan membuat rangking data yang diurutkan dari yang terkecil hingga yang terbesar. Selanjutnya dihitung \(\ln{(x)}\)

Ranking
\((i)\)
\(x\) \(\ln{(x)}\)
1 18 2,8904
2 28 3,3322
3 31 3,4340
4 32 3,4657
5 42 3,7377
6 47 3,8501
7 53 3,9703
8 56 4,0254
9 61 4,1109
10 65 4,1744
Hitung Rangking Median \((RM)\) dengan Pendekatan Benard, selanjutnya hitung \[\ln{\left[\ln{\left(\frac{1}{1-RM}\right)}\right]}\]
Ranking
\((i)\)
Ranking Median
\((RM)\)
\(\displaystyle\ln{\left[\ln{\left(\frac{1}{1-RM}\right)}\right]}\)
1 0.0673 -2.6638
2 0.1635 -1.7233
3 0.2596 -1.2020
4 0.3558 -0.8217
5 0.4519 -0.5086
6 0.5481 -0.2304
7 0.6442 0.0329
8 0.7404 0.2990
9 0.8365 0.5940
10 0.9327 0.9927
Regresikan \(\ln{(x)}\) dan \(\displaystyle\ln{\left[\ln{\left(\frac{1}{1-RM}\right)}\right]}\) sehingga diperoleh model regresi \[\ln{\left[\ln{\left(\frac{1}{1-RM}\right)}\right]}=-10\text{,}4627+2\text{,}6867\ln{(x)}\] Selanjutnya dapat dihitung \(\hat{k}=2\text{,}6867\) dan \[\begin{aligned} \hat{\lambda}&=e^{-\left(\frac{a}{k}\right)}\\ &=e^{-\left(\frac{-10\text{,}4627}{2\text{,}6867}\right)}\\ &=49\text{,}12 \end{aligned} \]

0 Komentar untuk "Estimasi Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Ranking Median"