Coba perhatikan penjumlahan berpangkat dua berikut ini
\[ \begin{aligned} {(x+y)}^2&=(x+y)(x+y)\\&=x^2+2xy+y^2\\ &=\binom{2}{0}x^2+\binom{2}{1}xy+\binom{2}{2}y^2\\ &=\sum_{k=0}^2\binom{2}{k}x^{2-k}y^k \end{aligned} \]
dan penjumlahan berpangkat tiga berikut ini
\[ \begin{aligned}
{(x+y)}^3&=(x+y)(x+y)(x+y)\\ &=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3\\ &=\binom{3}{0}x^3+\binom{3}{1}x^2y+\binom{3}{2}xy^2+\binom{3}{3}y^3\\ &=\sum_{k=0}^3\binom{3}{k}x^{3-k}y^k \end{aligned} \]
begitu seterusnya, sehingga untuk penjumlahan berpangkat \(n\) adalah
\[ {(x+y)}^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^{n-k}y^k \]
Rumus di atas disebut juga dengan Rumus Teorema Binomial. Koefisien \(\binom{n}{k}\) disebut juga dengan koefisien binomial.
Deret Binomial
Coba perhatikan koefisien persamaan \(\binom{n}{k}\) di bawah ini.
\[ \binom{n}{k}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k-1)}{k!} \]
koefisien tersebut berlaku untuk sembarang bilangan real \(n\) dan \(k\) bilangan buat positif. Oleh karena iu, Newton pada tahun 1665 menemukan Deret Binomial, yaitu
\[ \begin{aligned} {(1+x)}^\alpha&=1+\binom{\alpha}{1}x+\binom{\alpha}{2}x^2+\cdots+\binom{\alpha}{n}x^n+\cdots\\ &=1+\sum_{k=1}^\infty\binom{\alpha}{k}x^k\\ \end{aligned} \]
dimana \(p\) adalah bilangan real, \(k\) adalah bilangan bulat positif dan \(\left|x\right|<1.\)
Sifat-sifat Teorema Binomial
| Kofisien binomial bersifat simetris hal ini ditunjukkan oleh
\[ \binom{n}{k}=\binom{n}{n-k} \] |
Bukti:
\[ \begin{aligned} \binom{n}{n-k}&=\frac{n!}{(n-n+k)!(n-k)!}\\ &=\frac{n!}{k!(n-k)!}\\ &=\binom{n}{k} \end{aligned} \]
|
\[ \binom{n}{k}=\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1} \] |
|
\[ \sum_{r=0}^k\binom{m}{r}\binom{n}{k-r}=\binom{m+n}{k} \] |
|
\[ \binom{n}{k}=\sum_{m=k-1}^{n-1}\binom{m}{k-1} \] |