Fungsi Pembangkit Momen (MGF) Distribusi Binomial Negatif | Rumus Statistik

Fungsi Pembangkit Momen (MGF) Distribusi Binomial Negatif

Fungsi peluang dari distribusi binomial negatif adalah

\[f(x)=\binom{x-1}{k-1}p^k(1-p)^{x-k}\]
Penjelaan mengenai distribusi binomial negatif dapat dilihat di artikel Binomial Negatif

Fungsi Pembangkit Moment


Moment Generating Fuction (MGF) dari distribusi binomial negatif adalah

\[M_x(t)=\left(\frac {pe^t}{1-(1-p)e^t}\right)^k\]
Bukti:

MGF diperoleh dari \(E(e^{tX}).\) \[ \begin{aligned} M_x(t) &= E(e^{tX})\\ &= \sum_{x=k}^\infty e^{tX} \frac {(x-1)!}{(k-1)!(x-k)!}p^k \left( 1-p \right )^{x-k}\\ &= \sum_{x=k}^\infty \frac {(x-1)!}{(k-1)!(x-k)!} \left ( pe^t \right )^k \left ( (1-p)e^t \right )^{x-k}\\ &= \left ( \frac {pe^t}{1-(1-p)e^t} \right )^k \sum_{x=k}^\infty \frac {(x-1)!}{(k-1)!(x-k)!} \left ( (1-p)e^t \right )^{x-k} \left ( 1-(1-p)e^t \right )^k\\ &= \left ( \frac {pe^t}{1-(1-p)e^t} \right )^k \end{aligned} \]

Mean


Mean dari distribusi binomial negatif adalah

\[\mu=\frac{k}{p}\]
Bukti:

Mean diperoleh dari turunan pertama dari MGF. Turunan pertama MGF distribusi binomial negatif adalah \[M'(t)=\frac{\left[1-(1-p)e^t\right]^k k\left(pe^t\right)^{k-1}pe^t-\left(pe^t\right)^k k\left[1-(1-p)e^t\right]^{k-1}\left[-(1-p)e^t\right]}{\left[1-(1-p)e^t\right]^{2k}}\] Mean adalah \(M'(0).\) \[ \begin{aligned} \mu&=M'(0)\\ &=\frac{[1-(1-p)]^k kp^{k-1}p+p^k k[1-(1-p)]^{k-1}(1-p)}{[1-(1-p)]^{2k}}\\ &=\frac{p^kkp^kp^{-1}p+p^kkp^kp{-1}(1-p)}{p^{2k}}\\ &=\frac{k}{p} \end{aligned} \]

Varian


Varian dari distribusi binomial negatif adalah

\[\sigma^2=\frac{k(1-p)}{p^2}\]
Varian diperoleh dai turunan pertama dan kedua MGF, dimana varian adalah \[ \sigma^2=M''(0)+(M'(0))^2 \] Turunan kedua MGF distribusi binomial negatif adalah \[ M''(t)=k(pe^t)^k(-k-1)[1-(1-p)e^t]^{-k-2}[-(1-p)e^t]+k^2(pe^t)^{k-1}(pe^t)[1-(1-p)e^t]^{-k-1} \] dan \[ M''(0)=\frac{k(k+1-p)}{p^2}\] Sehingga variannya adalah \[ \begin{aligned} \sigma^2&=M''(0)-(M'(0))^2\\ &=\frac{k(k+1-p)}{p^2}-\frac{k^2}{p^2}\\ &=\frac{k(1-p)}{p^2} \end{aligned} \] Sebagai perbandingan untuk artikel ini, baca juga artikel Nilai Harapan Distribusi Binomial Negatif.

2 Komentar untuk "Fungsi Pembangkit Momen (MGF) Distribusi Binomial Negatif"

bagaimana cara mendapatkan bentuk turunan kedua seperti itu? dengan rumus apa yg digunakan? mohon penjelasannya terima kasih

Silakan pelajari video Negative Binomial Distribution. Mudah-mudahan bisa membantu.