Distribusi Multinomial | Rumus Statistik

Distribusi Multinomial

Jika sebuah percobaan memiliki dua kemungkinan hasil (misalnya "Sukses" dan "Gagal") maka percobaan tersebut akan mengikuti Distribusi Binomial.

Jika sebuah percobaan memiliki lebih dari dua kemungkinan hasil maka percobaan tersebut akan mengikuti Distribusi Multinomial.

Definisi
Jika sebuah percobaan memiliki kemungkinan hasil yaitu \(E_1,E_2,\ldots,E_k\) dengan peluang masing-masing \(p=\{p_1,p_2,\ldots,p_k\}\) maka distribusi peluang dari variabel random \(X=\{X_1,X_2,\ldots,X_k\}\) yang menggambarkan jumlah kemunculan \(E_1,E_2,\ldots,E_k\) dalan \(n\) percobaan independen akan mengikuti Distribusi Multinomial dengan fungsi kepadatan peluang (pdf) \[ f(x;n,p)=\frac{n!}{x_1!x_2!\cdots x_1!}p_1^{x_1}p_2^{x_2}\cdots p_k^{x_k} \] dimana \[ \begin{aligned} x_1+x_2+\cdots+x_k&=n\\ p_1+p_2+\cdots+p_k&=1 \end{aligned} \]

Distribusi Binomial sebenarnya merupakan Distribusi Multinomial dimana Distribusi Binomial adalah kasus khusus dari Distribusi Multinomial dengan dua kemungkinan hasil.

Mean

\[ E(X_i)=np_i \]

Varian

\[ Var(X_i)=np_i(1-p_i) \]

MGF

\[ M_x(t)=\left(\sum_{i=1}^kp_ie^{t_i}\right)^n \]

CGF

\[ \varphi_x(t)=\left(\sum_{j=1}^kp_je^{it_j}\right)^n \]

Contoh Soal


Contoh Soal #1

Dua buah dadu dilempar enam kali, berapa peluang muncul bilangan yang hasil penjumlahannya adalah 7 atau 11 sebanyak dua kali, bilangan yang sama muncul sekali dan hasil yang lainnya muncul tiga kali?

Jawab

Banyaknya titik sampel pada pelemparan dua buah dadu adalah 36 titik sampel.
  1. Kejadian \(E_1,\) muncul bilangan yang hasil penjumlahannya adalah 7 atau 11 sebanyak dua kali. Peluangnya adalah \(\frac{6}{36}+\frac{2}{36}=\frac{2}{9}.\)
  2. Kejadian \(E_2,\) muncul bilangan yang sama sebanyak dua sekali. Peluangnya adalah \(\frac{6}{36}=\frac{1}{6}.\)
  3. Kejadian \(E_3,\) muncul hasil lainnya sebanyak dua sekali. Peluangnya adalah \(1-\frac{2}{9}-\frac{1}{6}=\frac{11}{18}.\)
Diketahui juga \(n=6\) dimana \(x_1=2,\) \(x_2=1,\) dan \(x_3=3,\) maka persoalan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus Distribusi Multinomial. \[ \begin{aligned} f(x;n,p)&=\frac{6!}{2!1!3!}\left(\frac{2}{9}\right)^2\left(\frac{1}{6}\right)^1\left(\frac{11}{18}\right)^3\\ &=0\text{,}1127 \end{aligned} \]
Contoh Soal #2

Seorang pemain bridge sedang memegang 12 kartu bridge yaitu 5 kartu spade, 4 kartu heart dan 3 kartu diamond. Jika 6 kartu diambil dari tangan pemain bridge tersebut secara acak, berapakah peluang terambilnya 3 kartu spade, 2 kartu heart dan 1 kartu diamond?

Jawab

Diketahui \(n=6,\) \(x_1=3,\) \(x_2=2\) \(x_3=1\) dan \(p_1=\frac{5}{12},\) \(p_1=\frac{4}{12},\) \(p_1=\frac{3}{12}.\) Penyelesaian dengan menggunakan rumus Distribusi Multinomial adalah \[ \begin{aligned} f(x;n,p)&=\frac{6!}{3!2!1!}\left(\frac{5}{12}\right)^3\left(\frac{4}{12}\right)^2\left(\frac{3}{12}\right)^1\\ &=0\text{,}1206 \end{aligned} \]

0 Komentar untuk "Distribusi Multinomial"