Simpangan rata-rata (mean deviation) adalah rata-rata jarak antara nilai-nilai data menuju rata-ratanya atau rata-rata penyimpangan absolut data dari rata-ratanya. Simpangan rata-rata termasuk ke dalam ukuran penyebaran data seperti halnya Varian dan Standar Deviasi. Kegunaannya adalah untuk mengetahui seberapa jauh nilai data menyimpang dari rata-ratanya.
Simpangan rata-rata untuk data tunggal telah dibahas di artikel Simpangan Rata-rata Data Tunggal. Artikel kali ini khusus membahas mengenai Simpangan Rata-rata Data Berkelompok.
Rumus simpangan rata-rata untuk data berkelompok adalah sebagai berikut.
Contoh Soal #1
Diketahui data berkelompok adalah sebagai berikut.
Hitunglah simpangan rata-rata data berkelompok di atas!
Jawab :
Langkah-langkah penghitungan:
Contoh Soal #2
Berikut ini adalah data tinggi badan 20 orang mahasiswa.
Hitunglah simpangan rata-rata dari data tinggi badan tersebut!
Jawab :
Langkah-langkah penyelesaiannya sama dengan soal sebelumnya. Pertama tentukan nilai titik tengah kelas interval \((x_i),\) selanjutnya hitung rata-rata \((\bar x)\) dan terakhir hitung simpangan rata-ratanya \((SR).\) Tabel di bawah untuk menentukan nilai titik tengah kelas interval dan menghitung rata-rata.
Nilai rata-rata berkelompok adalah \[ \begin{aligned} \bar{x}&=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^kf_ix_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^kf_i}\\ &=\frac{3305}{20}\\ &=165\text{,}25 \end{aligned} \] Selanjutnya adalah menghitung simpangan rata-rata. Gunakan tabel di bawah ini untuk proses penyelesainnya dan rumus simpangan rata-rata untuk penyelesaian akhir.
Simpangan rata-ratanya adalah \[ \begin{aligned} SR&=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^kf_i\left|x_i-\bar{x}\right|}{\displaystyle\sum_{i=1}^kf_i}\\ &=\frac{125}{20}\\ &=6\text{,}25. \end{aligned} \] Jadi simpangan rata-rata tinggi badan 20 mahasiswa tersebut adalah 6,25.
Simpangan rata-rata untuk data tunggal telah dibahas di artikel Simpangan Rata-rata Data Tunggal. Artikel kali ini khusus membahas mengenai Simpangan Rata-rata Data Berkelompok.
Rumus simpangan rata-rata untuk data berkelompok adalah sebagai berikut.
| Simpangan Rata-rata Data Berkelompok \[ SR=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^kf_i\left|x_i-\bar{x}\right|}{\displaystyle\sum_{i=1}^kf_i}, \] dimana \(SR\) adalah simpangan rata-rata, \(k\) adalah banyaknya kelas interval, \(f_i\) adalah frekuensi kelas interval ke-\(i\), \(x_i\) adalah nilai titik tengah kelas interval ke-\(i,\) \(\bar{x}\) adalah Rata-rata Data Berkelompok yang dirumuskan oleh \[ \bar{x}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^kf_ix_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^kf_i}, \] dan tanda | ... | adalah tanda absolut yang menandakan bahwa semua nilai diubah menjadi nilai positif, jika nanti di dalamnya diperoleh nilai negatif, maka nilai tersebut harus dipositifkan. |
Contoh Soal #1
Diketahui data berkelompok adalah sebagai berikut.
| Kelas Interval | Frekuensi |
|---|---|
| 1 - 3 | 4 |
| 4 - 6 | 5 |
| 7 - 9 | 6 |
| 10 - 12 | 3 |
| 13 - 15 | 2 |
Hitunglah simpangan rata-rata data berkelompok di atas!
Jawab :
Langkah-langkah penghitungan:
- Tentukan Nilai Tengah \((x_i)\) dan Hitung Rata-rata \((\bar x)\)
- Hitung Simpangan Rata-rata
Dilihat dari rumusnya, penghitungan simpangan rata-rata membutuhkan nilai rata-rata \((\bar x)\), sedangkan penghitunggan nilai rata-rata membutuhkan nilai titik tengah kelas interval \((x_i)\). Oleh karena itu, tentukan terlebih dahulu nilai titik tengah kelas interval selanjutnya hitung nilai rata-ratanya. Proses pengerjaannya adalah seperti tabel di bawah ini.
| Kelas Interval | Frekuensi \((f_i)\) |
Nilai Tengah \((x_i)\) |
\((f_ix_i)\) |
|---|---|---|---|
| 1 - 3 | 4 | 2 | 8 |
| 4 - 6 | 5 | 5 | 25 |
| 7 - 9 | 6 | 8 | 48 |
| 10 - 12 | 3 | 11 | 33 |
| 13 - 15 | 2 | 14 | 28 |
| Jumlah | 20 | 142 |
Dari tabel di atas diperoleh komponen \[\sum_{i=1}^k f_i = 20\] dan \[\sum_{i=1}^k f_ix_i =142.\] Selanjutnya rata-rata dapat dihitung menggunakan rumus berikut. \[ \begin{aligned} \bar{x}&=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^k f_ix_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^kf_i}\\ &=\frac{142}{20}\\ &=7\text{,}1. \end{aligned} \] Dengan demikian rata-ratanya adalah 7,1.
Proses penghitungan simpangan rata-rata menggunakan tabel sebagai berikut.
| \(x_i\) | \(f_i\) | \(\left|x_i-\bar{x}\right|\) | \(f_i\left|x_i-\bar{x}\right|\) |
|---|---|---|---|
| 2 | 4 | 5,1 | 20,4 |
| 5 | 5 | 2,1 | 10,5 |
| 8 | 6 | 0,9 | 5,4 |
| 11 | 3 | 3,9 | 11,7 |
| 14 | 2 | 6,9 | 13,8 |
| Jumlah | 20 | 61,8 |
Komponen yang diperoleh dari penghitungan tersebut adalah \[\sum_{i=1}^k f_i\left|x_i-\bar{x}\right|=61\text{,}8.\] Dengan demikian simpangan rata-ratanya dapat dihitung dengan rumus berikut. \[ \begin{aligned} SR&=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^kf_i\left|x_i-\bar{x}\right|}{\displaystyle\sum_{i=1}^kf_i}\\ &=\frac{61\text{,}8}{20}\\ &=3\text{,}09 \end{aligned} \]
Contoh Soal #2
Berikut ini adalah data tinggi badan 20 orang mahasiswa.
| Tinggi Badan | Frekuensi |
|---|---|
| 151-155 | 2 |
| 156-160 | 4 |
| 161-165 | 4 |
| 166-170 | 5 |
| 171-175 | 3 |
| 176-180 | 2 |
Hitunglah simpangan rata-rata dari data tinggi badan tersebut!
Jawab :
Langkah-langkah penyelesaiannya sama dengan soal sebelumnya. Pertama tentukan nilai titik tengah kelas interval \((x_i),\) selanjutnya hitung rata-rata \((\bar x)\) dan terakhir hitung simpangan rata-ratanya \((SR).\) Tabel di bawah untuk menentukan nilai titik tengah kelas interval dan menghitung rata-rata.
| Nilai Tengah \((x_i)\) |
Frekuensi \((f_i)\) |
\((f_ix_i)\) |
|---|---|---|
| 153 | 2 | 306 |
| 158 | 4 | 632 |
| 163 | 4 | 652 |
| 168 | 5 | 840 |
| 173 | 3 | 519 |
| 178 | 2 | 356 |
| Jumlah | 20 | 3305 |
Nilai rata-rata berkelompok adalah \[ \begin{aligned} \bar{x}&=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^kf_ix_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^kf_i}\\ &=\frac{3305}{20}\\ &=165\text{,}25 \end{aligned} \] Selanjutnya adalah menghitung simpangan rata-rata. Gunakan tabel di bawah ini untuk proses penyelesainnya dan rumus simpangan rata-rata untuk penyelesaian akhir.
| \(x_i\) | \(f_i\) | \(\left|x_i-\bar{x}\right|\) | \(f_i\left|x_i-\bar{x}\right|\) |
|---|---|---|---|
| 153 | 2 | 12,25 | 24,5 |
| 158 | 4 | 7,25 | 29 |
| 163 | 4 | 2,25 | 9 |
| 168 | 5 | 2,75 | 13,75 |
| 173 | 3 | 7,75 | 23,25 |
| 178 | 2 | 12,75 | 25,5 |
| Jumlah | 20 | 125 |
Simpangan rata-ratanya adalah \[ \begin{aligned} SR&=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^kf_i\left|x_i-\bar{x}\right|}{\displaystyle\sum_{i=1}^kf_i}\\ &=\frac{125}{20}\\ &=6\text{,}25. \end{aligned} \] Jadi simpangan rata-rata tinggi badan 20 mahasiswa tersebut adalah 6,25.