Skip to main content
Home Statistik Inferensial Selang Kepercayaan

Selang Kepercayaan

Ada dua bentuk estimasi parameter populasi \((\theta)\) dalam statistika, yaitu estimasi titik dan estimasi selang. Peluang menghasilkan nilai parameter dengan menggunakan estimasi titik biasanya sangat kecil. Oleh karena itu, dirancanglah suatu bentuk estimasi parameter populasi yaitu dengan menggunakan selang (interval) kepercayaan. Dengan estimasi selang kepercayaan, peluang mendapatkan nilai parameter akan menjadi lebih besar.

Jika \(\theta\) adalah parameter populasi dan \(\hat{\theta}\) adalah estimator titiknya, maka bentuk selang kepercayaan dari parameter \(\theta\) adalah \[P(\hat{\theta}-d<\theta<\hat{\theta}+d)=(1-\alpha)100\%,\] dimana \(d\) adalah margin of error, \((1-\alpha)\) adalah tingkat kepercayaan dan \(\alpha\) adalah tingkat signifikansi. Selang kepercayaan biasanya juga ditulis dalam bentuk \[\hat{\theta}-d<\theta<\hat{\theta}+d\] atau \[\hat{\theta}\pm d.\]

Dari bentuk persamaan di atas, maka selang kepercayaan adalah sebuah interval antara dua nilai yang memuat nilai parameter. Selang yang terbaik dalam mengestimasi parameter adalah selang yang terpendek dan mempunyai tingkat kepercayaan paling tinggi.

Berikut ini adalah beberapa bentuk selang kepercayaan dalam pendugaan parameter populasi yang sering digunakan.

Rata-rata \((\mu)\)

Selang kepercayaan untuk rata-rata populasi dapat dilakukan jika \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) berasal dari populasi yang mengikuti Distribusi Normal dengan rata-rata \(\mu\) dan varian \((\sigma^2).\) Selang kepercayaan rata-rata ini memiliki dua kasus yaitu kasus:

  1. varian populasi \(\sigma^2\) diketahui,
    2. \[\bar{x}-Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}<\mu<\bar{x}+Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}\]
  2. varian populasi \(\sigma^2\) tidak diketahui (sampel kecil).
    3. \[\bar{x}-t_{\alpha/2,df}\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}<\mu<\bar{x}+t_{\alpha/2,df}\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}\]

Varian \((\sigma^2)\)

Sama seperti selang kepercayaan untuk rata-rata, selang kepercayaan untuk varian dapat dilakukan jika \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) juga berasal dari populasi yang berdistribusi normal dengan rata-rata dan varian. Selang kepercayaan varian ini juga memiliki dua kasus yaitu kasus untuk:

  1. varian populasi \(\sigma^2\) diketahui,
  2. varian populasi \(\sigma^2\) tidak diketahui (sampel kecil).

Proporsi \((p)\)

Selang kepercayaan untuk proporsi dapat dilakukan jika \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) berasal dari populasi yang berdistribusi binomial dengan jumlah sampel \((n)\) dan proporsi \((p)\) atau bentuknya bisa ditulis dengan \(\text{Binomial}(n,p).\)

\[\hat{p}-Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}<p<\hat{p}+Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\]

Selisih Dua Rata-rata \((\mu_1-\mu_2)\)

Selang kepercayaan untuk selisih rata-rata \(\mu_1\) dan \(\mu_2\) dapat dilakukan jika \(x_{11},x_{12},\cdots,x_{1n}\) dan \(x_{21},x_{22},\cdots,x_{2n}\) masing-masing berasal dari populasi yang berdistribusi normal dengan rata-rata \(\mu_1\) dan \(\mu_2\) serta varian \(\sigma_1^2\) dan \(\sigma_2^2.\) Selang kepercayaan rata-rata ini memiliki tiga kasus yaitu kasus untuk:

  1. varian kedua populasi \(\sigma_1^2\) dan \(\sigma_2^2\) diketahui,
    2. \[(\bar{x}_1-\bar{x}_2) - Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}} <\mu_1-\mu_2< (\bar{x}_1-\bar{x}_2) + Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}\]
  2. varian kedua populasi \(\sigma_1^2\) dan \(\sigma_2^2\) tidak diketahui dan diasumsikan sama,
    3. \[(\bar{x}_1-\bar{x}_2) - t_{\alpha/2,df}\,S_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}} <\mu_1-\mu_2< (\bar{x}_1-\bar{x}_2) + t_{\alpha/2,df}\,S_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}\] dimana \[Sp=\sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}\] dan \[df=n_1+n_2-2.\]
  3. varian kedua populasi \(\sigma_1^2\) dan \(\sigma_2^2\) tidak diketahui dan diasumsikan tidak sama.
    4. \[(\bar{x}_1-\bar{x}_2) - t_{\alpha/2,df}\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}} <\mu_1-\mu_2< (\bar{x}_1-\bar{x}_2) + t_{\alpha/2,df}\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}\] dimana \[df=\frac{\left(\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\frac{\left(\frac{s_1^2}{n_1}\right)^2}{n_1-1}+\frac{\left(\frac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{n_2-1}}\]

Perbandingan Dua Varian \((\sigma_1^2 / \sigma_2^2)\)

Selang kepercayaan untuk perbandingan dua varian \(\sigma_1^2\) dan \(\sigma_2^2\) dapat dilakukan jika \(x_{11},x_{12},\cdots,x_{1n}\) dan \(x_{21},x_{22},\cdots,x_{2n}\) masing-masing berasal dari populasi yang berdistribusi normal dengan rata-rata \(\mu_1\) dan \(\mu_2\) serta varian \(\sigma_1^2\) dan \(\sigma_2^2.\)

Selisih Dua Proporsi \((p_1-p_2)\)

Selang kepercayaan untuk selisih dua proporsi antara \(p_1\) dan \(p_2\) dapat dilakukan jika \(x_{11},x_{12},\cdots,x_{1n}\) dan \(x_{21},x_{22},\cdots,x_{2n}\) masing-masing berasal dari populasi yang berdistribusi binomial dengan jumlah sampel \(n_1\) dan \(n_2\) dan proporsi \(p_1\) dan \(p_2\) atau bentuk masing-masing populasi bisa ditulis dengan \(\text{Bin}(n_1,p_1)\) dan \(\text{Bin}(n_2,p_2).\) \[(\hat{p}_1-\hat{p}_2)-Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1}+\frac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}}<p_1-p_2<(\hat{p}_1-\hat{p}_2)+Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1}+\frac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}}\]

Artikel yang berhubungan: