Distribusi Bernoulli


Distribusi Bernoulli adalah distribusi yang bersumber dari Percobaan Bernoulli. Percobaan Bernoulli adalah percobaan yang menghasilkan dua kemungkinan hasil, yaitu Sukses dan Gagal. Contohnya adalah pelemparan satu buah mata uang logam, dimana terdapat 2 kemungkinan hasil yang bisa diperoleh dari satu kali pelemparan, yaitu Angka dan Gambar.

Misalkan munculnya Angka dianggap kejadian yang "Sukses" dimana peluang munculnya adalah $p$ dan munculnya Gambar dianggap kejadian yang "Gagal" dimana peluang munculnya adalah $1-p$. Selanjutnya, variabel random $X$ terkait percobaan tersebut diberi nilai 1 dengan peluang $p$ jika "Sukses" terjadi dan diberi nilai 0 jika "Gagal" terjadi dengan peluang $1-p.$ Dengan demikian, variabel random $X$ dikatakan berdistribusi Bernoulli.

Fungsi Kepadatan Peluang

Fungsi kepadatan peluang distribusi bernoulli tersebut adalah \[ f(x)= \begin{cases} p^x \left( 1-p \right)^{1-x} & x=1,2 \\ \\ 0 & lainnya \end{cases} \] dimana $x$ merupakan variabel random, $p$ merupakan parameter dimana $0\leqslant p \leqslant 1.$ Variabel random $X$ yang berdistribusi bernoulli dapat ditulis $X\sim B(p).$

Fungsi Kumulatif

Fungsi kumulatif distribusi bernoulli adalah \[ F(x)= \begin{cases} 0 & \;\;\; x<0 \\ 1-p& \;\;\; 0\leqslant x<1\\ 1 & \;\;\; x\geqslant 1 \end{cases}\]
Rata-rata (Mean)

Rata-rata (Mean) dari distribusi bernoulli adalah $E(X) = p.$
Bukti: \[\begin{align*} E(X) &=\sum_{x=0}^{1}xf(x) \\ &= \sum_{x=0}^{1}x p^x \left( 1-p \right)^{1-x} \\ &= \left ( 0p^0\left ( 1-p \right )^{1-0} \right )+\left ( 1p^1\left ( 1-p \right )^{1-1} \right ) \\ &= 0+p \\ &= p \end{align*}\]

Varian

Varian dari distribusi bernoulli adalah $Var(X) = p(1 - p)$
Bukti: \[ \begin{align*} Var(x) &= E\left [ \left (x-E(X) \right )^2 \right ] \\ &= E(X^2)-\left [E(X) \right ]^2 \end{align*} \] Untuk menyelesaikannya dicari terlebih dahulu nilai $E(X^2).$ \[ \begin{align*} E(X^2) &=\sum_{x=0}^{1}x^2f(x) \\ &= \sum_{x=0}^{1}x^2 p^x \left( 1-p \right)^{1-x} \\ &= p \end{align*} \] Dengan demikian, \[ \begin{align*} Var(X) &= p-p^2 \\ &= p(1-p) \end{align*} \]

Fungsi Pembangkit Momen (MGF)

Fungsi pembangkit momen dari distribusi bernoulli adalah $M_x(t) = 1 – p + pe^t.$
Bukti: \[\begin{align*} M_x(t) &= E(e^{tx})\\ &= \sum_{x=0}^1 e^{tx}f(x)\\ &= \sum_{x=0}^1 e^{tx}p^x(1-p)^{1-x}\\ &= 1-p-pe^t \end{align*}\]
Dengan cara yang sama dari pembuktian tersebut, dapat juga diperoleh \[\begin{align*} M'_x(t) &= pe^t\\ M''_x(t) &= pe^t\\ M^{(n)}_x(t) &= pe^t \end{align*}\] Selanjutnya dari fungsi pembangkit momen tersebut dapat diperoleh momen-momen mentah (raw moments) \[\begin{align*} \mu'_1 &= p \\ \mu'_2 &= p\\ &\vdots \\ \mu'_n &= p \end{align*}\] dan momen-momen pusat (central moments) \[\begin{align*} \mu_1 &= p \\ \mu_2 &= p(1-p)\\ \mu_3 &= p(1-p)(1-2p)\\ \mu_4 &= p(1-p)(3p^2-3p+1). \end{align*}\]
Kemencengan (skewness)

Kemencengan (skewness) dari distribusi bernoulli adalah $\gamma_1 = \displaystyle\frac{1-2p}{p(1-p)}.$
Bukti: \[\begin{align*} \gamma_1 &=E\left [ \left ( \frac{X-E(X)}{\sqrt{Var(X)}} \right )^3 \right ] \\ &=\frac{\mu_3}{\sqrt{\mu_2^3}} \\ &= \frac{1-2p}{\sqrt{p(1-p)}} \end{align*}\]

Keruncingan (kurtosis)

Keruncingan (kurtosis) dari distribusi bernoulli adalah $\gamma_2 = \displaystyle\frac{6p^2-6p+1}{p(1-p)}.$
Bukti: \[\begin{align*} \gamma_2 &= \frac{\mu_4}{\mu_2^2}-3 \\ &=\frac{p(1-p)(3p^2-3p+1)}{\left [p(1-p) \right ]^2}-3 \\ &= \frac{6p^2-6p+1}{p(p-1)} \end{align*}\]

Fungsi Karakteristik

Fungsi karakteristik distribusi bernoulli adalah $\varphi_x(t) = 1 – p + pe^{it}.$
Bukti: \[\begin{align*} \varphi _x(t) &= E(e^{itx})\\ &= \sum_{x=0}^1 e^{itx}f(x)\\ &= \sum_{x=0}^1 e^{itx}p^x(1-p)^{1-x}\\ &= 1-p-pe^{it} \end{align*} \]

Fungsi Pembangkit Peluang

$Gx(t) = 1 – p + pt$

Hubungan dengan Distribusi Binomial

Distribusi bernoulli adalah kasus khusus dari distribusi binomial. Pada distribusi binomial terdapat $n$ kali percobaan sedangkan pada distribusi bernoulli hanya 1 kali percobaan. Dengan demikian, setiap distribusi binomial adalah distribusi dari penjumlahan $n$ percobaan bernoulli masing-masing dengan $p$ yang sama. Variabel random $X$ yang mengikuti distribusi binomial dinotasikan dengan $X \sim B(n,p)$, maka notasi pada distribusi bernoulli adalah $X \sim B(1,p)$ atau hanya ditulis $X \sim B(p)$ saja.

0 Response to "Distribusi Bernoulli"

Posting Komentar

Powered by MathJax