Skip to main content

Sifat-sifat dari Notasi Sigma (∑)

Sigma (∑) merupakan aksara ke-18 dalam susunan abjad Yunani. Dalam ilmu matematika dan statistik, notasi sigma digunakan untuk mempersingkat suatu urutan penjumlahan.

Misalkan penjumlahan 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 = 91. Penjumlahan tersebut bisa disingkat menjadi

\[\sum_{i=1}^{6} i^2 = 91\]

Dalam mempelajari statistik, wajib hukumnya memahami sifat dari notasi sigma. Dalam ilmu statistik, notasi ini adalah notasi yang paling sering digunakan. Saking seringnya, ketika seseorang melihat notasi sigma ini, ia akan langsung teringat dengan statistik.

Berikut ini adalah beberapa sifat dari sigma yang sering digunakan.

  1. \(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} i = 1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}\)
  2. \(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} i^2 = 1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
  3. \(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} i^3 = 1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2\)
  4. \(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} k = nk,\) dimana \(k\) adalah konstanta.
  5. \(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} kx_i = k \sum_{i=1}^{n} x_i\).
  6. \(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_i = x_1 + x_2 + \cdots + x_n\)
  7. \(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_i^2 = x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2\)
  8. \(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} (x_i + y_i) = \sum_{i=1}^{n} x_i + \sum_{i=1}^{n} y_i\)
  9. \(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} (x_i - y_i) = \sum_{i=1}^{n} x_i - \sum_{i=1}^{n} y_i\)

Contoh Soal

  1. Hitunglah
  2. \[\sum_{i=1}^{5} 3n - 2 = \cdots\]

    Penyelesaian:

    \[\begin{aligned} \sum_{i=1}^{5} 3n - 2 &= [3(1) - 2]+[3(2) - 2]+[3(3) - 2]+[3(4) - 2]+[3(5) - 2]\\ &= (3-2) + (6-2) + (9-2) + (12-2) + (15-2)\\ &= 1 + 4 + 7 + 10 + 13\\ &=35 \end{aligned}\]
  3. Buktikan bahwa
  4. \[\sum_{k=1}^{n} (3k-2) = \frac{1}{2} n(3n-1)\]

    Penyelesaian:

    \[\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n} (3k-2) &= 3\sum_{k=1}^{n}k - 2n\\ &= 3\left(\frac{n(n+1)}{2}\right) - 2n\\ &= 3\left(\frac{n^2+n)}{2}\right) - 2n\\ &= \frac{3}{2} n^2 + \frac{3}{2}n - \frac{4}{2}n\\ &= \frac{3}{2} n^2 - \frac{1}{2}n\\ &= \frac{1}{2} n(3n-1) \end{aligned}\]

    (Terbukti)