Rata-rata ukur (geometrik) adalah rata-rata yang diperoleh dengan mengalikan semua data dalam suatu kelompok sampel, kemudian diakarpangkatkan dengan banyaknya data sampel tersebut. Karena mengikuti proses akar pangkat, maka apabila terdapat unsur data yang bernilai negatif maka rata-rata ukur tidak bisa dilakukan.
Berikut ini adalah rumus-rumus untuk menghitung rata-rata geometrik untuk data tunggal dan data berkelompok.
1. Rumus Rata-rata Ukur pada Data Tunggal
Ada dua cara untuk menghitung rata-rata ukur yaitu dengan Cara Biasa dan dDengan Logaritma. Pada prinsipnya penghitungan kedua metode tersebut adalah sama. Perbedaannya adalah pada tingkat kesulitan pada proses penghitungannya.
Cara I: Cara Biasa \[ \begin{aligned} G&=\sqrt[n]{x_1\times x_2\times\cdots\times x_n}\\ &=\sqrt[n]{\prod_{i=1}^nx_i} \end{aligned} \] Penghitungan menggunakan Cara Biasa akan sulit dilakukan jika data yang digunakan banyak dan nilainya besar. Hal ini karena hasil perkalian pada saat penghitungan akan menjadi sangat besar. Oleh karena itu, untuk mengurangi hitungan yang terlalu besar maka digunakanlah logaritma (Cara Kedua).
Cara II: Dengan Logaritma \[ \log(G)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\log(x_i) \] Keterangan dari notasi kedua rumus di atas adalah \(G\) adalah rata-rata ukur (geometrik), \(n\) adalah banyaknya sampel, \(\sum\) adalah penjumlahan dan \(\prod\) adalah perkaian. Kegunaan \(\prod\) hampir sama dengan \(\sum\) (bedanya adalah \(\sum\) digunakan untuk penjumlahan, sedangkan \(\prod\) digunakan untuk perkalian serta \(x_i\) adalah nilai data ke-\(i.\)
2. Rumus Rata-rata Ukur pada Data Berkelompok
Rumus rata-rata ukur untuk data berkelompok adalah. \[ \log(G)=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^kf_i.\log(x_i)}{\displaystyle\sum_{i=1}^kf_i} \] dimana \(x_i\) adalah titik tengah, \(k\) adalah banyaknya kelas dan \(f_i\) frekuensi data kelas ke-\(i.\)
Hubungan dengan Rata-rata Aritmatik dan Rata-rata Harmonik
Misalkan \(G\) adalah rata-rata geometrik, \(\bar{X}\) adalah rata-rata aritmatik dan \(H\) adalah rata-rata harmonik, maka nilai dari ketiga jenis rata-rata tersebut dalam suau kelompok data adalah \[ \text{H}\leq\text{G}\leq\bar{X} \]
Contoh Soal No. 1
Diketahui data suku bunga tabungan beberapa bank adalah sebagai berikut.
\[ 6\text{,}75; 5\text{,}75; 6\text{,}50; 6\text{,}25; 6\text{,}25; 6\text{,}10; 5\text{,}70; 5\text{,}90; 6\text{,}25; 5\text{,}60 \] Berapakah rata-rata ukur (geometrik) suku bunga bank-bank tersebut?
Jawab:
Rata-rata ukur (geometrik) bisa dihitung dengan menggunakan rumus cara pertama atau rumus cara kedua. Cara penghitungannya adalah sebagai berikut.
Cara Pertama \[ \begin{aligned} G&=\sqrt[10]{6\text{,}75\times5\text{,}75\times\cdots\times 5\text{,}60}\\ &=\sqrt[10]{70757056\text{,}11}\\ &=6\text{,}095 \end{aligned} \] Jika menggunakan rumus cara kedua, maka proses penghitungannya adalah sebagai berikut.
Cara Kedua \[ \begin{aligned} \log{(G)}&=\frac{\log(6\text{,}75)+\log(5\text{,}75)+\cdots+\log(5\text{,}60)}{10}\\ &=\frac{0\text{,}829303773+0\text{,}759667845+\cdots+0\text{,}748188027}{10}\\ &=0\text{,}7849769756 \end{aligned} \] sehingga \[ \begin{aligned} G&=10^{0\text{,}7849769756}\\ &=6\text{,}095 \end{aligned} \]
Contoh Soal No. 2
Hitunglah rata-rata ukur dari data berkelompok di bawah ini.
Jawab:
Pergunakan tabel di bawah ini untuk mempermudah penyelesaianya.
Dari tabel diperoleh \(\sum_{i=1}^kf_i=30\) dan \(\sum_{i=1}^kf_i.\log(x_i)=33\text{,}1257.\) Dengan menggunakan rumus rata-rata ukur data berkelompok maka \[ \begin{aligned} \log(G)&=\frac{33\text{,}1257}{30}\\ &=1\text{,}1043 \end{aligned} \] sehingga \[ \begin{aligned} G&=10^{1\text{,}1042}\\ &=12\text{,}7113 \end{aligned} \] dengan demikian rata-rata ukurnya adalah 12,7116.
Berikut ini adalah rumus-rumus untuk menghitung rata-rata geometrik untuk data tunggal dan data berkelompok.
1. Rumus Rata-rata Ukur pada Data Tunggal
Ada dua cara untuk menghitung rata-rata ukur yaitu dengan Cara Biasa dan dDengan Logaritma. Pada prinsipnya penghitungan kedua metode tersebut adalah sama. Perbedaannya adalah pada tingkat kesulitan pada proses penghitungannya.
Cara I: Cara Biasa \[ \begin{aligned} G&=\sqrt[n]{x_1\times x_2\times\cdots\times x_n}\\ &=\sqrt[n]{\prod_{i=1}^nx_i} \end{aligned} \] Penghitungan menggunakan Cara Biasa akan sulit dilakukan jika data yang digunakan banyak dan nilainya besar. Hal ini karena hasil perkalian pada saat penghitungan akan menjadi sangat besar. Oleh karena itu, untuk mengurangi hitungan yang terlalu besar maka digunakanlah logaritma (Cara Kedua).
Cara II: Dengan Logaritma \[ \log(G)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\log(x_i) \] Keterangan dari notasi kedua rumus di atas adalah \(G\) adalah rata-rata ukur (geometrik), \(n\) adalah banyaknya sampel, \(\sum\) adalah penjumlahan dan \(\prod\) adalah perkaian. Kegunaan \(\prod\) hampir sama dengan \(\sum\) (bedanya adalah \(\sum\) digunakan untuk penjumlahan, sedangkan \(\prod\) digunakan untuk perkalian serta \(x_i\) adalah nilai data ke-\(i.\)
| Penerapan rumus rata-rata ukur dapat kita lihat pada penghitungan IPM: Cek artikelnya di Metode Penghitungan Indeks Komposit IPM. |
|---|
2. Rumus Rata-rata Ukur pada Data Berkelompok
Rumus rata-rata ukur untuk data berkelompok adalah. \[ \log(G)=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^kf_i.\log(x_i)}{\displaystyle\sum_{i=1}^kf_i} \] dimana \(x_i\) adalah titik tengah, \(k\) adalah banyaknya kelas dan \(f_i\) frekuensi data kelas ke-\(i.\)
Hubungan dengan Rata-rata Aritmatik dan Rata-rata Harmonik
Misalkan \(G\) adalah rata-rata geometrik, \(\bar{X}\) adalah rata-rata aritmatik dan \(H\) adalah rata-rata harmonik, maka nilai dari ketiga jenis rata-rata tersebut dalam suau kelompok data adalah \[ \text{H}\leq\text{G}\leq\bar{X} \]
Contoh Soal No. 1
Diketahui data suku bunga tabungan beberapa bank adalah sebagai berikut.
\[ 6\text{,}75; 5\text{,}75; 6\text{,}50; 6\text{,}25; 6\text{,}25; 6\text{,}10; 5\text{,}70; 5\text{,}90; 6\text{,}25; 5\text{,}60 \] Berapakah rata-rata ukur (geometrik) suku bunga bank-bank tersebut?
Jawab:
Rata-rata ukur (geometrik) bisa dihitung dengan menggunakan rumus cara pertama atau rumus cara kedua. Cara penghitungannya adalah sebagai berikut.
Cara Pertama \[ \begin{aligned} G&=\sqrt[10]{6\text{,}75\times5\text{,}75\times\cdots\times 5\text{,}60}\\ &=\sqrt[10]{70757056\text{,}11}\\ &=6\text{,}095 \end{aligned} \] Jika menggunakan rumus cara kedua, maka proses penghitungannya adalah sebagai berikut.
Cara Kedua \[ \begin{aligned} \log{(G)}&=\frac{\log(6\text{,}75)+\log(5\text{,}75)+\cdots+\log(5\text{,}60)}{10}\\ &=\frac{0\text{,}829303773+0\text{,}759667845+\cdots+0\text{,}748188027}{10}\\ &=0\text{,}7849769756 \end{aligned} \] sehingga \[ \begin{aligned} G&=10^{0\text{,}7849769756}\\ &=6\text{,}095 \end{aligned} \]
| Penghitungan di atas dapat diselesaikan dengan Microsoft Excel. Lihat penyelesaiannya di artikel: Menghitung Rata-rata Geometrik Dengan Microsoft Excel. |
|---|
Contoh Soal No. 2
Hitunglah rata-rata ukur dari data berkelompok di bawah ini.
| Kelas Interval | Frekuensi |
|---|---|
| 7-9 | 8 |
| 10-12 | 5 |
| 13-15 | 6 |
| 16-18 | 7 |
| 19-21 | 4 |
Jawab:
Pergunakan tabel di bawah ini untuk mempermudah penyelesaianya.
| \(x_i\) | \(f_i\) | \(\log(x_i)\) | \(f_i\log(x_i)\) |
|---|---|---|---|
| 8 | 8 | 0,9031 | 7,2247 |
| 11 | 5 | 1,0414 | 5,2070 |
| 14 | 6 | 1,1461 | 6,8768 |
| 17 | 7 | 1,2304 | 8,6131 |
| 20 | 4 | 1,3010 | 5,2041 |
| \(\sum\) | 30 | \(\sum\) | 33,1257 |
Dari tabel diperoleh \(\sum_{i=1}^kf_i=30\) dan \(\sum_{i=1}^kf_i.\log(x_i)=33\text{,}1257.\) Dengan menggunakan rumus rata-rata ukur data berkelompok maka \[ \begin{aligned} \log(G)&=\frac{33\text{,}1257}{30}\\ &=1\text{,}1043 \end{aligned} \] sehingga \[ \begin{aligned} G&=10^{1\text{,}1042}\\ &=12\text{,}7113 \end{aligned} \] dengan demikian rata-rata ukurnya adalah 12,7116.