Distribusi Weibull

Distribusi Weibull biasanya digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah yang menyangkut lama waktu (umur) suatu objek yang mampu bertahan hingga akhirnya objek tersebut tidak berfungsi sebagaimana mestinya (rusak atau mati).

Distribusi Weibull memiliki parameter λ dan k, dimana parameter λ dan k tersebut lebih besar dari 0.

Fungsi Kepadatan Peluang


Fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull adalah


dimana λ > 0 adalah parameter bentuk dan k > 0 adalah parameter skala. Fungsi kepadatan peluangnya adalah turunan dari fungsi distribusi kumulatifnya tersebut.


dengan demikian dapat didefinisikan fungsi kepadatan peluangnya adalah


Mean dan varian distribusi Weibull adalah


Mean dan Varian


Mean dan varian dari distribusi Weibull dapat diperoleh dengan metode momen. Proses metode momen untuk mendapatkan mean dan varian adalah sebagai berikut.

Mean


Mean diperoleh dari momen pertama E(X) = µ.


pada persamaan tersebut di misalkan


maka persamaan tersebut akan menjadi


Selanjutnya disubstitusikan dengan fungsi Gamma (baca kembali Fungsi Gamma), dimana pada fungsi Gamma


dengan demikian mean distribusi Weibull adalah


Varian


Varian diperoleh persamaan


untuk menyelesaikan persamaan tersebut harus diketahui terlebih dahulu momen kedua E(X2).


hampir sama dengan penyelesaian pada momen pertama, pada persamaan di atas juga dimisalkan


Sehingga persamaannya menjadi


Selanjutnya, dapat diketahui varian dari distribusi Waibull adalah


9 Responses to "Distribusi Weibull"

  1. boss pleasee. pmbuktian rataan dan varian untuk dstribusi weibullnya. lagi butuh banget ni.
    sblumnya mkasih.

    BalasHapus
    Balasan
    1. Pembuktian mean dan varian distribusi Weibull telah kami buatkan pada artikel di atas. Mohon koreksinya.
      Terimakasih.

      Hapus
  2. makasih pak.
    tpii fungsi dstribusi yg saya dpatkan beda.
    fungsinya bgini.
    f(x) = αβx^β-1 e^(-αx^β)
    mean dan varianya pun beda.
    mksih pak.

    BalasHapus
    Balasan
    1. Sebenarnya cara penyelesaiannya sama saja. Sebaiknya saudara pelajari terlebih dahulu metode estimasi parameter seperti Metode Momen dan MLE (Maximum Likelihood Estimator).

      Untuk penyelesaiaan pada artikel di atas atau penurunan rumus di bawah ini, pelajari terlebih dahulu metode momen dan fungsi gamma agar bisa memahami proses penurunan rumusnya dengan baik.

      Misalkan fungsi kepadatan peluang distribusi Weibull adalah \[
      f(x;\alpha,\beta) =
      \begin{cases}
      \alpha \beta \, x^{\beta-1} \, e^{-\alpha x^\beta} &; x\geq 0 ,\\
      0 &; x <0,
      \end{cases}.\] Dengan metode momen, maka
      \begin{align*}
      \mu &= \int_{0}^{\infty }x f(x;\alpha,\beta) \, dx \\
      &= \int_{0}^{\infty } x \, \alpha \beta \, x^{\beta-1} \, e^{-\alpha x^\beta} \, dx
      \end{align*} misalkan $u = \alpha x^\beta$ sehingga $x = \left (\frac{u}{\alpha} \right ) ^{1/\beta}$ dan $du = \alpha \beta \, x^{\beta-1} \, dx$ sehingga persamaannya menjadi \begin{align*}
      \mu &= \int_{0}^{\infty} \left (\frac{u}{\alpha} \right ) ^{1/\beta} \, e^{-u}\,du \\
      &= \alpha^{-1/\beta} \int_{0}^{\infty }u^{1/\beta} \, e^{-u}\,du \\
      &= \alpha^{-1/\beta} \Gamma \left ( 1+\frac{1}{\beta} \right )
      \end{align*}

      Selanjutnya untuk mendapakan varian, tentukan terlebih dahulu momen kedua $E(X^2)$ terlebih dahulu. Pada penurunan rumusnya di bawah ini permisalannya sama dengan menentukan momen pertama di atas. \begin{align*}
      E(X^2) &= \int_{0}^{\infty }x^2 f(x;\alpha,\beta) \, dx \\
      &= \int_{0}^{\infty } x^2 \, \alpha \beta \, x^{\beta-1} \, e^{-\alpha x^\beta} \, dx \\
      &= \alpha^{-2/\beta} \int_{0}^{\infty }u^{2/\beta} \, e^{-u}\,du \\
      &= \alpha^{-2/\beta} \Gamma \left ( 1+\frac{2}{\beta} \right )
      \end{align*}
      Selanjutnya dapat ditentukan varian yaitu
      \begin{align*}
      \sigma^2&=E(X^2)-\bar X^2\\
      &=\alpha^ {-2/\beta} \left ( \Gamma \left ( 1+\frac{2}{\beta} \right )- \left [\Gamma \left ( 1+\frac{1}{\beta} \right )\right ]^2 \right)\\
      \end{align*}

      Hapus
    2. anda itu pdf pak bukan cdf

      Hapus
  3. Untuk mengetahui nilai kemungkinan maaksimumnya bagaumana?

    BalasHapus
  4. apakah distribusi weibull memiliki fungsi pembangkit momen?

    BalasHapus
    Balasan
    1. Ya, tentu saja punya dan rumus MGF-nya tersebut bisa diturunkan.

      Hapus
  5. saya butuh contoh perhitungan estimasi MLE terhadap parameter Dist. Weibull. mohon pencerahannya :)

    BalasHapus

Powered by MathJax