Distribusi Weibull | Rumus Statistik

Distribusi Weibull

Distribusi Weibull biasanya digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah yang menyangkut lama waktu (umur) suatu objek yang mampu bertahan hingga akhirnya objek tersebut tidak berfungsi sebagaimana mestinya (rusak atau mati).

Distribusi Weibull memiliki parameter λ dan k, dimana parameter λ dan k tersebut lebih besar dari 0.

Fungsi Kepadatan Peluang


Fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull adalah


dimana λ > 0 adalah parameter bentuk dan k > 0 adalah parameter skala. Fungsi kepadatan peluangnya adalah turunan dari fungsi distribusi kumulatifnya tersebut.


dengan demikian dapat didefinisikan fungsi kepadatan peluangnya adalah


Mean dan varian distribusi Weibull adalah


Mean dan Varian


Mean dan varian dari distribusi Weibull dapat diperoleh dengan metode momen. Proses metode momen untuk mendapatkan mean dan varian adalah sebagai berikut.

Mean


Mean diperoleh dari momen pertama E(X) = µ.


pada persamaan tersebut di misalkan


maka persamaan tersebut akan menjadi


Selanjutnya disubstitusikan dengan fungsi Gamma (baca kembali Fungsi Gamma), dimana pada fungsi Gamma


dengan demikian mean distribusi Weibull adalah


Varian


Varian diperoleh persamaan


untuk menyelesaikan persamaan tersebut harus diketahui terlebih dahulu momen kedua E(X2).


hampir sama dengan penyelesaian pada momen pertama, pada persamaan di atas juga dimisalkan


Sehingga persamaannya menjadi


Selanjutnya, dapat diketahui varian dari distribusi Waibull adalah


31 Komentar untuk "Distribusi Weibull"

boss pleasee. pmbuktian rataan dan varian untuk dstribusi weibullnya. lagi butuh banget ni.
sblumnya mkasih.

Pembuktian mean dan varian distribusi Weibull telah kami buatkan pada artikel di atas. Mohon koreksinya.
Terimakasih.

makasih pak.
tpii fungsi dstribusi yg saya dpatkan beda.
fungsinya bgini.
f(x) = αβx^β-1 e^(-αx^β)
mean dan varianya pun beda.
mksih pak.

Sebenarnya cara penyelesaiannya sama saja. Sebaiknya saudara pelajari terlebih dahulu metode estimasi parameter seperti Metode Momen dan MLE (Maximum Likelihood Estimator).

Untuk penyelesaiaan pada artikel di atas atau penurunan rumus di bawah ini, pelajari terlebih dahulu metode momen dan fungsi gamma agar bisa memahami proses penurunan rumusnya dengan baik.

Misalkan fungsi kepadatan peluang distribusi Weibull adalah \[
f(x;\alpha,\beta) =
\begin{cases}
\alpha \beta \, x^{\beta-1} \, e^{-\alpha x^\beta} &; x\geq 0 ,\\
0 &; x <0,
\end{cases}.\] Dengan metode momen, maka
\begin{align*}
\mu &= \int_{0}^{\infty }x f(x;\alpha,\beta) \, dx \\
&= \int_{0}^{\infty } x \, \alpha \beta \, x^{\beta-1} \, e^{-\alpha x^\beta} \, dx
\end{align*} misalkan $u = \alpha x^\beta$ sehingga $x = \left (\frac{u}{\alpha} \right ) ^{1/\beta}$ dan $du = \alpha \beta \, x^{\beta-1} \, dx$ sehingga persamaannya menjadi \begin{align*}
\mu &= \int_{0}^{\infty} \left (\frac{u}{\alpha} \right ) ^{1/\beta} \, e^{-u}\,du \\
&= \alpha^{-1/\beta} \int_{0}^{\infty }u^{1/\beta} \, e^{-u}\,du \\
&= \alpha^{-1/\beta} \Gamma \left ( 1+\frac{1}{\beta} \right )
\end{align*}

Selanjutnya untuk mendapakan varian, tentukan terlebih dahulu momen kedua $E(X^2)$ terlebih dahulu. Pada penurunan rumusnya di bawah ini permisalannya sama dengan menentukan momen pertama di atas. \begin{align*}
E(X^2) &= \int_{0}^{\infty }x^2 f(x;\alpha,\beta) \, dx \\
&= \int_{0}^{\infty } x^2 \, \alpha \beta \, x^{\beta-1} \, e^{-\alpha x^\beta} \, dx \\
&= \alpha^{-2/\beta} \int_{0}^{\infty }u^{2/\beta} \, e^{-u}\,du \\
&= \alpha^{-2/\beta} \Gamma \left ( 1+\frac{2}{\beta} \right )
\end{align*}
Selanjutnya dapat ditentukan varian yaitu
\begin{align*}
\sigma^2&=E(X^2)-\bar X^2\\
&=\alpha^ {-2/\beta} \left ( \Gamma \left ( 1+\frac{2}{\beta} \right )- \left [\Gamma \left ( 1+\frac{1}{\beta} \right )\right ]^2 \right)\\
\end{align*}

Untuk mengetahui nilai kemungkinan maaksimumnya bagaumana?

apakah distribusi weibull memiliki fungsi pembangkit momen?

Ya, tentu saja punya dan rumus MGF-nya tersebut bisa diturunkan.

Butuh bantuan nh pak, perbedaan distribusi weibull dengan distribusi boomer itu apa yak?

pak, ini referensinya dari buku apa pak?

apa bedanya probability dan likelihood ya ?

Fungsi peluang adalah fungsi yang menggambarkan peluang dari variabel random. Fungsi likelihood adalah fungsi parameter yang menyatakan seberapa sering nilai parameter diberikan bahwa sampel random telah terobservasi. Fungsi likelihood bukan merupakan fungsi peluang.

Dari catatan-catatan dan diktat-diktat waktu kuliah dulu.

Maaf, saya belu pernah mempelajari distribusi boomer. Mohon petunjuknya.

Penyelesaian MLE pada distribusi weibull tidak dalam bentuk closed form (bentuk tertutup), sehingga penyelesaiannya harus dalam bentuk numerik.

Misalkan fungsi pdf distribusi weibull:
\[
f(x;\lambda,k)= \begin{cases} \frac{k}{\lambda}\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1}e^{-\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k}} & ,\,x\geq0 \\ \\ 0 &,\, x<0 \end{cases}
\]
dimana \(k,\,\lambda>0.\)

1. Fungsi likelihood
\[
\begin {align*}
L(\lambda, k) &= \prod_{i=1}^n \frac{k}{\lambda}\left(\frac{x_i}{\lambda}\right)^{k-1}e^{-\left(\frac{x_i}{\lambda}\right)^{k}} \\
&= \frac{k^n}{\lambda^{n k}} e^{-\sum_{i=1}^n\left(\frac{x_i}{\lambda}\right)^{k}} \prod_{i=1}^n x_i^{k-1}
\end {align*}
\]
2. Fungsi likelihood dalam bentuk logaritma natural
\[
\ln L(\lambda, k)=n\ln k-nk\ln \lambda-\sum_{i=1}^n \left(\frac{x_i}{\lambda}\right)^k+(k-1)\sum_{i=1}^n \ln x_i
\]
3. Turunan terhadap parameter
\[
\begin{align*}
\frac{\partial}{\partial\lambda}\ln L(\lambda, k)&=-nk\frac{1}{\lambda}+k\sum_{i=1}^n x_i^k\frac{1}{\lambda^{k+1}}= 0\\
\frac{\partial}{\partial k}\ln L(\lambda,k)&=\frac{n}{k}-n\ln\lambda-\sum_{i=1}^n \ln\left(\frac{x_i}{\lambda}\right)e^{k \ln\left(\frac{x_i}{\lambda}\right)}+\sum_{i=1}^n \ln x_i=0
\end{align*}
\]
sehingga
\[
\begin{align*}
\lambda^*&=\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^{k^*}\right)^\frac{1}{k^*}\\
k^*&=\left[\frac{\sum_{i=1}^n x_i^{k^*}\ln x_i}{\sum_{i=1}^n x_i^{k^*}}-\overline{\ln x}\right]^{-1}
\end{align*}
\]
Persamaan di atas hanya bisa dilakukan sara numerik. Metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikannya misalnya Newton-Raphson.

mean dan variansi distribusi weibull dengan 3 parameter, apakah sama dengan yang 2 parameter seperti tulisan diatas? mohon jawabannya. terimakasih

Cara penurunan rumusnya hampir sama, misalkan fungsi kepadatan peluang distribusi weibull 3 parameter adalah \[
f\left(x\middle|\gamma,\beta,\alpha\right)=
\begin{cases}
\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)\left(\frac{x-\gamma}{\beta}\right)^{\left(\alpha-1\right)}\exp\left\{{-\left(\frac{x-\gamma}{\beta}\right)}^\alpha\right\}\\
0\\
\end{cases}
\] maka dengan cara penurunan rumus yang sama dengan cara di atas, mean dan varian distribusi weibull 3 parameter tersebut adalah \[
\begin{align*}
\text{E}\left(X\right)&=\gamma+\beta\Gamma\left(\frac{1}{\alpha}+1\right).\\
\text{Var}\left(X\right)&=\beta^2\left\{\Gamma\left(\frac{2}{\alpha}+1\right)-\left[\Gamma^2\left(\frac{1}{\alpha}+1\right)\right]\right\}
\end{align*}
\]

Tapi masi bingung dengan penurunanya. terus mengestimasi parameter dengan momennya gimana dengan 3 parameter ini?

mohon jawabannya. terimakasi

Saya bantu penurunan rumus mean dan variannya ya, kalau ada langkah-langkah yang bikin bingung silakan ditanya. Untuk MLE dicoba sendiri dulu ya, caranya hampir sama dengan yang 2 parameter.
Diketahui fungsi padang peluang distribusi weibull 3 parameter adalah \[
f(x)=\frac{\alpha}{\beta}\left(\frac{x-\gamma}{\beta}\right)^{\alpha-1}\exp\left\{-\left(\frac{x-\gamma}{\beta}\right)^\alpha
\right\}.
\] mean dan varian dapat diperoleh dengan metode momen. Misalkan \(u=\left(\frac{x-\gamma}{\beta}\right)^\alpha,\) maka \(x=\gamma+\beta u^{1/\alpha}\) dan \(du=\frac{\alpha}{\beta}\left(\frac{x-\gamma}{\beta}\right)^{\alpha-1}dx,\) sehingga \[
\begin{align*}
E(X)&=\int_0^\infty x.f(x)\ dx\\
&=\int_0^\infty\left(\gamma+\beta u^{1/\alpha}\right)e^{-u}\ du\\
&=\gamma\int_0^\infty e^{-u}du+\beta\int_0^\infty u^{1/\alpha}e^{-u}du\\
&=\gamma+\beta\Gamma\left(\frac{1}{\alpha}+1\right)
\end{align*}
\] selanjutnya \[
\begin{align*}
E(X^2)&=\int_0^\infty x^2.f(x)\ dx\\
&=\int_0^\infty\left(\gamma+\beta u^{1/\alpha}\right)^2e^{-u}\ du\\
&=\int_0^\infty\left(\gamma^2+2\gamma\beta u^{1/\alpha}+\beta^2u^{2/\alpha}\right)e^{-u}du\\
&=\gamma^2\int_0^\infty e^{-u}du+2\gamma\beta\int_0^\infty u^{1/\alpha}e^{-u}du+\beta^2\int_0^\infty u^{2/\alpha}e^{-u}du\\
&=\gamma^2+2\gamma\beta\Gamma\left(\frac{1}{\alpha}+1\right)+\beta^2\Gamma\left(\frac{2}{\alpha}+1\right)
\end{align*}
\] sehingga \[
\begin{align*}
Var(X)&=E(X^2)-\left(E(X)\right)^2\\
&=\gamma^2+2\gamma\beta\Gamma\left(\frac{1}{\alpha}+1\right)+\beta^2\Gamma\left(\frac{2}{\alpha}+1\right)-\left(\gamma+\beta\Gamma\left(\frac{1}{\alpha}+1\right)\right)^2\\
&=\beta^2\left(\Gamma\left(\frac{2}{\alpha}+1\right)-\Gamma^2\left(\frac{1}{\alpha}+1\right)\right)
\end{align*}
\]

gan mau nanya dari kalimat diatas "Distribusi Weibull biasanya digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah yang menyangkut lama waktu (umur) suatu objek yang mampu bertahan hingga akhirnya objek tersebut tidak berfungsi sebagaimana mestinya (rusak atau mati)" itu sumbernya bisa diterangkan kah?

Coba baca Life Data Analysis (Weibull Analysis), atau kalau ingin journal atau buku tentang analisis weibull bisa saya kirimkan lewat email.

saya sudah mencari nilai estimasi alfa, beta, dan gamma, dengan metode momen tapi gak dapat juga. Apakah harus dengan trial and error ya??
mohon tanggapannya, terimakasi..

Untuk estimasi parameter, gunakan MLE. Nanti diperoleh persamaan yang tidak closed-form. Penyelesaian dapat dilakukan dengan algoritma Newton-Rhapson. Gunakan software R untuk proses dengan algoritma tersebut.

Kalo dengan metode momen? gak bisa gan??
KAlo momen juga tidak closed-form?

Saya lebih menyarankan menggunakan MLE karena secara matematis penghitungannya lebih mudah apalagi jenis distribusinya diketahui.

mohon bantuannya pak
apakah ada referensi tentang konvolusi distribusi weibull

dalam distribusi Weibull kegunaan dari mean dan variansi apa ya?

maaf mau bertanya cara untuk mencari variansi dan mean dalam distribusi log normal gimana? terimaksih

Mohon bantuan pak bagaimana menurunkan rumus fungsi pembangkit momen distribusi weibull dan distribusi hipergeometrik. Terimaksh sebelumnya.

pak mohon bantuannya, saya bingung dengan notasi Γ. untuk mencari MTTF ada konstanta itu, itu mencarinya bagaimana ? terimakasih