Distribusi Weibull




Distribusi Weibull biasanya digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah yang menyangkut lama waktu (umur) suatu objek yang mampu bertahan hingga akhirnya objek tersebut tidak berfungsi sebagaimana mestinya (rusak atau mati).

Distribusi Weibull memiliki parameter λ dan k, dimana parameter λ dan k tersebut lebih besar dari 0.

Fungsi Kepadatan Peluang


Fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull adalah


dimana λ > 0 adalah parameter bentuk dan k > 0 adalah parameter skala. Fungsi kepadatan peluangnya adalah turunan dari fungsi distribusi kumulatifnya tersebut.


dengan demikian dapat didefinisikan fungsi kepadatan peluangnya adalah


Mean dan varian distribusi Weibull adalah


Mean dan Varian


Mean dan varian dari distribusi Weibull dapat diperoleh dengan metode momen. Proses metode momen untuk mendapatkan mean dan varian adalah sebagai berikut.

Mean


Mean diperoleh dari momen pertama E(X) = µ.


pada persamaan tersebut di misalkan


maka persamaan tersebut akan menjadi


Selanjutnya disubstitusikan dengan fungsi Gamma (baca kembali Fungsi Gamma), dimana pada fungsi Gamma


dengan demikian mean distribusi Weibull adalah


Varian


Varian diperoleh persamaan


untuk menyelesaikan persamaan tersebut harus diketahui terlebih dahulu momen kedua E(X2).


hampir sama dengan penyelesaian pada momen pertama, pada persamaan di atas juga dimisalkan


Sehingga persamaannya menjadi


Selanjutnya, dapat diketahui varian dari distribusi Waibull adalah



Share:

17 komentar:

  1. boss pleasee. pmbuktian rataan dan varian untuk dstribusi weibullnya. lagi butuh banget ni.
    sblumnya mkasih.

    BalasHapus
    Balasan
    1. Pembuktian mean dan varian distribusi Weibull telah kami buatkan pada artikel di atas. Mohon koreksinya.
      Terimakasih.

      Hapus
  2. makasih pak.
    tpii fungsi dstribusi yg saya dpatkan beda.
    fungsinya bgini.
    f(x) = αβx^β-1 e^(-αx^β)
    mean dan varianya pun beda.
    mksih pak.

    BalasHapus
    Balasan
    1. Sebenarnya cara penyelesaiannya sama saja. Sebaiknya saudara pelajari terlebih dahulu metode estimasi parameter seperti Metode Momen dan MLE (Maximum Likelihood Estimator).

      Untuk penyelesaiaan pada artikel di atas atau penurunan rumus di bawah ini, pelajari terlebih dahulu metode momen dan fungsi gamma agar bisa memahami proses penurunan rumusnya dengan baik.

      Misalkan fungsi kepadatan peluang distribusi Weibull adalah \[
      f(x;\alpha,\beta) =
      \begin{cases}
      \alpha \beta \, x^{\beta-1} \, e^{-\alpha x^\beta} &; x\geq 0 ,\\
      0 &; x <0,
      \end{cases}.\] Dengan metode momen, maka
      \begin{align*}
      \mu &= \int_{0}^{\infty }x f(x;\alpha,\beta) \, dx \\
      &= \int_{0}^{\infty } x \, \alpha \beta \, x^{\beta-1} \, e^{-\alpha x^\beta} \, dx
      \end{align*} misalkan $u = \alpha x^\beta$ sehingga $x = \left (\frac{u}{\alpha} \right ) ^{1/\beta}$ dan $du = \alpha \beta \, x^{\beta-1} \, dx$ sehingga persamaannya menjadi \begin{align*}
      \mu &= \int_{0}^{\infty} \left (\frac{u}{\alpha} \right ) ^{1/\beta} \, e^{-u}\,du \\
      &= \alpha^{-1/\beta} \int_{0}^{\infty }u^{1/\beta} \, e^{-u}\,du \\
      &= \alpha^{-1/\beta} \Gamma \left ( 1+\frac{1}{\beta} \right )
      \end{align*}

      Selanjutnya untuk mendapakan varian, tentukan terlebih dahulu momen kedua $E(X^2)$ terlebih dahulu. Pada penurunan rumusnya di bawah ini permisalannya sama dengan menentukan momen pertama di atas. \begin{align*}
      E(X^2) &= \int_{0}^{\infty }x^2 f(x;\alpha,\beta) \, dx \\
      &= \int_{0}^{\infty } x^2 \, \alpha \beta \, x^{\beta-1} \, e^{-\alpha x^\beta} \, dx \\
      &= \alpha^{-2/\beta} \int_{0}^{\infty }u^{2/\beta} \, e^{-u}\,du \\
      &= \alpha^{-2/\beta} \Gamma \left ( 1+\frac{2}{\beta} \right )
      \end{align*}
      Selanjutnya dapat ditentukan varian yaitu
      \begin{align*}
      \sigma^2&=E(X^2)-\bar X^2\\
      &=\alpha^ {-2/\beta} \left ( \Gamma \left ( 1+\frac{2}{\beta} \right )- \left [\Gamma \left ( 1+\frac{1}{\beta} \right )\right ]^2 \right)\\
      \end{align*}

      Hapus
  3. Untuk mengetahui nilai kemungkinan maaksimumnya bagaumana?

    BalasHapus
    Balasan
    1. Penyelesaian MLE pada distribusi weibull tidak dalam bentuk closed form (bentuk tertutup), sehingga penyelesaiannya harus dalam bentuk numerik.

      Misalkan fungsi pdf distribusi weibull:
      \[
      f(x;\lambda,k)= \begin{cases} \frac{k}{\lambda}\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1}e^{-\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k}} & ,\,x\geq0 \\ \\ 0 &,\, x<0 \end{cases}
      \]
      dimana \(k,\,\lambda>0.\)

      1. Fungsi likelihood
      \[
      \begin {align*}
      L(\lambda, k) &= \prod_{i=1}^n \frac{k}{\lambda}\left(\frac{x_i}{\lambda}\right)^{k-1}e^{-\left(\frac{x_i}{\lambda}\right)^{k}} \\
      &= \frac{k^n}{\lambda^{n k}} e^{-\sum_{i=1}^n\left(\frac{x_i}{\lambda}\right)^{k}} \prod_{i=1}^n x_i^{k-1}
      \end {align*}
      \]
      2. Fungsi likelihood dalam bentuk logaritma natural
      \[
      \ln L(\lambda, k)=n\ln k-nk\ln \lambda-\sum_{i=1}^n \left(\frac{x_i}{\lambda}\right)^k+(k-1)\sum_{i=1}^n \ln x_i
      \]
      3. Turunan terhadap parameter
      \[
      \begin{align*}
      \frac{\partial}{\partial\lambda}\ln L(\lambda, k)&=-nk\frac{1}{\lambda}+k\sum_{i=1}^n x_i^k\frac{1}{\lambda^{k+1}}= 0\\
      \frac{\partial}{\partial k}\ln L(\lambda,k)&=\frac{n}{k}-n\ln\lambda-\sum_{i=1}^n \ln\left(\frac{x_i}{\lambda}\right)e^{k \ln\left(\frac{x_i}{\lambda}\right)}+\sum_{i=1}^n \ln x_i=0
      \end{align*}
      \]
      sehingga
      \[
      \begin{align*}
      \lambda^*&=\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^{k^*}\right)^\frac{1}{k^*}\\
      k^*&=\left[\frac{\sum_{i=1}^n x_i^{k^*}\ln x_i}{\sum_{i=1}^n x_i^{k^*}}-\overline{\ln x}\right]^{-1}
      \end{align*}
      \]
      Persamaan di atas hanya bisa dilakukan sara numerik. Metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikannya misalnya Newton-Raphson.

      Hapus
  4. apakah distribusi weibull memiliki fungsi pembangkit momen?

    BalasHapus
    Balasan
    1. Ya, tentu saja punya dan rumus MGF-nya tersebut bisa diturunkan.

      Hapus
  5. Butuh bantuan nh pak, perbedaan distribusi weibull dengan distribusi boomer itu apa yak?

    BalasHapus
    Balasan
    1. Maaf, saya belu pernah mempelajari distribusi boomer. Mohon petunjuknya.

      Hapus
  6. pak, ini referensinya dari buku apa pak?

    BalasHapus
    Balasan
    1. Dari catatan-catatan dan diktat-diktat waktu kuliah dulu.

      Hapus
  7. apa bedanya probability dan likelihood ya ?

    BalasHapus
    Balasan
    1. Fungsi peluang adalah fungsi yang menggambarkan peluang dari variabel random. Fungsi likelihood adalah fungsi parameter yang menyatakan seberapa sering nilai parameter diberikan bahwa sampel random telah terobservasi. Fungsi likelihood bukan merupakan fungsi peluang.

      Hapus
  8. mean dan variansi distribusi weibull dengan 3 parameter, apakah sama dengan yang 2 parameter seperti tulisan diatas? mohon jawabannya. terimakasih

    BalasHapus
    Balasan
    1. Cara penurunan rumusnya hampir sama, misalkan fungsi kepadatan peluang distribusi weibull 3 parameter adalah \[
      f\left(x\middle|\gamma,\beta,\alpha\right)=
      \begin{cases}
      \left(\frac{\alpha}{\beta}\right)\left(\frac{x-\gamma}{\beta}\right)^{\left(\alpha-1\right)}\exp\left\{{-\left(\frac{x-\gamma}{\beta}\right)}^\alpha\right\}\\
      0\\
      \end{cases}
      \] maka dengan cara penurunan rumus yang sama dengan cara di atas, mean dan varian distribusi weibull 3 parameter tersebut adalah \[
      \begin{align*}
      \text{E}\left(X\right)&=\gamma+\beta\Gamma\left(\frac{1}{\alpha}+1\right).\\
      \text{Var}\left(X\right)&=\beta^2\left\{\Gamma\left(\frac{2}{\alpha}+1\right)-\left[\Gamma^2\left(\frac{1}{\alpha}+1\right)\right]\right\}
      \end{align*}
      \]

      Hapus
    2. Tapi masi bingung dengan penurunanya. terus mengestimasi parameter dengan momennya gimana dengan 3 parameter ini?

      Hapus