Distribusi Poisson | Rumus Statistik

Distribusi Poisson

Distribusi poisson adalah kasus khusus dari distribusi binomial, dimana distribusi binomial akan menjadi distribusi poisson ketika \(n\) mendekati tak hingga (\(\infty\)) dan \(p\) mendekati nol (0).

Fungsi Kepadatan Peluang
\[f(x;\lambda)=\displaystyle\frac{\text{e}^{-\lambda}\lambda^x}{x!}\] dimana \(x=1,2,\cdots\)
\(\lambda\) adalah rata-rata kejadian sukses setelah sekian kali percobaan dan \(\text{e}\) adalah logaritma natural yang nilainya 2,718281828459.
Ciri-ciri distribusi poisson:
  • variabel yang digunakan adalah variabel diskret,
  • percobaan bersifat random/acak,
  • percobaan bersifat independen,
  • biasanya digunakan pada percobaan binomial dimana \(n > 50\) dan \(p < 0\text{,}1.\)

Rata-rata \[\text{E}(X)=\lambda\] Varian \[\text{Var}(X)=\lambda\] Fungsi Pembangkit Momen (MGF) \[\text{M}_x(t)=\text{e}^{\lambda(e^t-1)}\] Fungsi Karakteristik \[\text{C}_x(t)=\text{e}^{\lambda(e^{it}-1)}\] Fungsi Pembangkit Peluang \[\text{G}_x(t)=\text{e}^{\lambda(t-1)}\] Baca juga:

Contoh Soal No. 1

Sebuah toko online mencatat bahwa toko tersebut akan mendapatkan komplain dari 50 pelanggan ketika mengirimkan barang ke 10.000 pelanggan. Jika pada suatu hari toko tersebut mengirim barang ke pelanggannya sebanyak 1.000 barang. Hitunglah peluang toko tersebut mendapat komplain dari
a. 7 pelanggan,
b. 5 pelanggan,
c. 2 pelanggan,
d. tidak ada komplain,
e. lebih dari 2 pelanggan.

Jawab:

Diketahui \(p=\displaystyle\frac{50}{10.000}=0\text{,}005.\) Selanjutnya \(n=1.000,\) sehingga \[\begin{aligned} \lambda&=np\\ &=(1.000).(0\text{,}005)\\ &=5. \end{aligned}\] Dengan demikian
a. \(P(X=7)\) \[\begin{aligned} P(X=x)&=\frac{\text{e}^{-\lambda}\lambda^x}{x!}\\ P(X=7)&=\frac{\text{e}^{-5}5^7}{7!}\\ &=\frac{526\text{,}4021}{5040}\\ &=0\text{,}1044 \end{aligned}\] b. \(P(X=5)\) \[\begin{aligned} P(X=5)&=\frac{\text{e}^{-5}5^5}{5!}\\ &=\frac{21\text{,}0561}{120}\\ &=0\text{,}1755 \end{aligned}\] c. \(P(X=2)\) \[\begin{aligned} P(X=2)&=\frac{\text{e}^{-5}5^2}{2!}\\ &=\frac{0\text{,}1684}{2}\\ &=0\text{,}0842 \end{aligned}\] d. \(P(X=0)\) \[\begin{aligned} P(X=0)&=\frac{\text{e}^{-5}5^0}{0!}\\ &=\frac{0\text{,}0067}{1}\\ &=0\text{,}0067 \end{aligned}\] e. \(P(X>2)\) \[\begin{aligned} P(X > 2)&=1-P(X\leq 2)\\ &=1-\left[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\right]\\ &=1-\left[0\text{,}0067+0\text{,}0337+0\text{,}0842\right]\\ &=1-0\text{,}1246\\ &=0\text{,}8754 \end{aligned}\]
Contoh Soal No. 2

Sebuah pabrik TV diketahui bahwa rata-rata terdapat 16 TV yang rusak dari 8000 TV yang dihasilkannya. Berapakah peluang bahwa dari 1000 TV yang akan diproduksinya terdapat
a. 1 TV rusak
b. 2 TV rusak
c. tidak ada yang rusak
d. rusak lebih dari 2

Jawab:

Diketahui \(p=\displaystyle\frac{16}{8000}=0\text{,}002\) dan \(n=1000\) sehingga \[\begin{aligned} \lambda&=np\\ &=(1000).(0\text{,}002)\\ &=2 \end{aligned}\] Dengan demikian
a. \(P(X=1)\) \[\begin{aligned} P(X=x)&=\frac{\text{e}^{-\lambda}\lambda^x}{x!}\\ P(X=1)&=\frac{\text{e}^{-2}2^1}{1!}\\ &=\frac{0\text{,}2707}{1}\\ &=0\text{,}2707 \end{aligned}\] b. \(P(X=2)\) \[\begin{aligned} P(X=2)&=\frac{\text{e}^{-2}2^2}{2!}\\ &=\frac{0\text{,}5413}{2}\\ &=0\text{,}2707 \end{aligned}\] c. \(P(X=0)\) \[\begin{aligned} P(X=0)&=\frac{\text{e}^{-2}2^0}{0!}\\ &=\frac{0\text{,}1353}{1}\\ &=0\text{,}1353 \end{aligned}\] e. \(P(X>2)\) \[\begin{aligned} P(X > 2)&=1-P(X\leq 2)\\ &=1-\left[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\right]\\ &=1-\left[0\text{,}1353+0\text{,}2707+0\text{,}2707\right]\\ &=1-0\text{,}6767\\ &=0\text{,}3233 \end{aligned}\]
Contoh Soal No. 3

Sebuah toko elektronik mencatat bahwa rata-rata penjualan lampu LED sebanyak 4 buah setiap hari. Berapakah peluang pada esok hari akan terjual lampu LED sebanyak
a. 5 lampu
b. 3 lampu

Jawab:

Diketahui \(\lambda=4,\) sehingga
a. \(P(X=5)\) \[\begin{aligned} P(X=x)&=\frac{\text{e}^{-\lambda}\lambda^x}{x!}\\ P(X=5)&=\frac{\text{e}^{-4}4^5}{5!}\\ &=\frac{18\text{,}7552}{120}\\ &=0\text{,}1563 \end{aligned}\] b. \(P(X=3)\) \[\begin{aligned} P(X=3)&=\frac{\text{e}^{-4}4^3}{3!}\\ &=\frac{1\text{,}1722}{6}\\ &=0\text{,}1954 \end{aligned}\]

0 Komentar untuk "Distribusi Poisson"