Faktorial bilangan asli \(n\) adalah perkalian semua bilangan asli yang kurang atau sama dengan \(n.\) Faktorial dilambangkan dengan tanda !. Jadi jika \(n!\), maka dibaca "\(n\) faktorial".
\[n!=1\times 2\times \cdots\times (n-2)\times (n-1)\times n\]
Berikut ini adalah faktorial \(1\) sampai dengan faktorial \(10.\)
\[\begin{aligned}
1! &= 1\\
2! &= 1\times 2 = 2\\
3! &= 1\times 2\times 3 = 6\\
4! &= 1\times 2\times 3\times 4 = 24\\
5! &= 1\times 2\times 3\times 4\times 5 = 120\\
7! &= 1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6\times 7 = 5040\\
8! &= 1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6\times 7\times 8 = 40320\\
9! &= 1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6\times 7\times 8\times 9 = 362880\\
10! &= 1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6\times 7\times 8\times 9\times 10 = 3628800
\end{aligned}\]
Catatan: hasil dari faktorial \(0\) adalah \(1\) \((0! = 1).\) Hasil ini dapat diketahui dari pembuktiannya di artikel:
Mengapa 0 Faktorial Sama Dengan 1.
Faktorial biasa digunakan untuk menghitung banyaknya susunan yang dapat dibentuk dari sekumpulan benda tanpa memperhatikan urutannya.
Contoh Soal No. 1
Empat buah lukisan A, B, C dan D akan dipajang berurutan pada sebuah dinding pameran. Berapakah jumlah susunan yang dapat dibentuk dari keempat lukisan tersebut?
Jawab:
Karena jumlah lukisan yang akan dibentuk susunannya adalah 4 maka jumlah susunan yang bisa dibentuk adalah \(4!.\) \[\begin{aligned} 4! &= 1\times 2\times 3\times 4\\ &= 24 \end{aligned}\] Jadi jumlah susunan yang dapat dibentuk adalah 24 susunan. Ke-24 susunan tersebut adalah ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB, BACD, BADC, BCAD, BCDA, BDAC, BDCA, CABD, CADB, CBAD, CBDA, CDAB, CDBA, DABC, DACB, DBAC, DBCA, DCAB, DCBA.
Contoh Soal No. 2
Carilah nilai \(x\) pada persamaan di bawah ini. \[\frac{x!}{(x-2)!}=6\] Jawab:
Cara penyelesaiannya adalah sebagai berikut. \[\begin{aligned} \frac{x!}{(x-2)!}&=6\\ \frac{1\times 2\times \cdots\times (x-2)\times (x-1)\times x}{1\times 2\times \cdots\times (x-2)}&=6\\ (x-1)x &=6\\ x^2-x &=6\\ x^2-x-6 &=0 \end{aligned}\] Terdapat dua nilai \(x\) yang bisa diperoleh dari penyelesaian persamaan di atas, yaitu \(x=3\) dan \(x=-2.\) Namun demikian, namun demikian faktorial tidak mungkin bernilai negatif, oleh karena itu nilai \(x\) yang mungkin adalah \(3.\)
Contoh Soal No. 3
Hitunglah nilai dari \[\frac{15!}{2!(15-2)!}\] Jawab:
Penyelesaian dari soal di atas adalah \[\begin{aligned} \frac{15!}{2!(15-2)!}&=\frac{15!}{2!13!}\\ &=\frac{1\times 2\times \cdots\times 15}{(1\times 2)(1\times 2\times \cdots\times 13}\\ &=\frac{14\times 15}{1\times 2}\\ &=105 \end{aligned}\]
Faktorial biasa digunakan untuk menghitung banyaknya susunan yang dapat dibentuk dari sekumpulan benda tanpa memperhatikan urutannya.
Contoh Soal No. 1
Empat buah lukisan A, B, C dan D akan dipajang berurutan pada sebuah dinding pameran. Berapakah jumlah susunan yang dapat dibentuk dari keempat lukisan tersebut?
Jawab:
Karena jumlah lukisan yang akan dibentuk susunannya adalah 4 maka jumlah susunan yang bisa dibentuk adalah \(4!.\) \[\begin{aligned} 4! &= 1\times 2\times 3\times 4\\ &= 24 \end{aligned}\] Jadi jumlah susunan yang dapat dibentuk adalah 24 susunan. Ke-24 susunan tersebut adalah ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB, BACD, BADC, BCAD, BCDA, BDAC, BDCA, CABD, CADB, CBAD, CBDA, CDAB, CDBA, DABC, DACB, DBAC, DBCA, DCAB, DCBA.
Contoh Soal No. 2
Carilah nilai \(x\) pada persamaan di bawah ini. \[\frac{x!}{(x-2)!}=6\] Jawab:
Cara penyelesaiannya adalah sebagai berikut. \[\begin{aligned} \frac{x!}{(x-2)!}&=6\\ \frac{1\times 2\times \cdots\times (x-2)\times (x-1)\times x}{1\times 2\times \cdots\times (x-2)}&=6\\ (x-1)x &=6\\ x^2-x &=6\\ x^2-x-6 &=0 \end{aligned}\] Terdapat dua nilai \(x\) yang bisa diperoleh dari penyelesaian persamaan di atas, yaitu \(x=3\) dan \(x=-2.\) Namun demikian, namun demikian faktorial tidak mungkin bernilai negatif, oleh karena itu nilai \(x\) yang mungkin adalah \(3.\)
Contoh Soal No. 3
Hitunglah nilai dari \[\frac{15!}{2!(15-2)!}\] Jawab:
Penyelesaian dari soal di atas adalah \[\begin{aligned} \frac{15!}{2!(15-2)!}&=\frac{15!}{2!13!}\\ &=\frac{1\times 2\times \cdots\times 15}{(1\times 2)(1\times 2\times \cdots\times 13}\\ &=\frac{14\times 15}{1\times 2}\\ &=105 \end{aligned}\]