Distribusi Peluang Diskrit

Pada artikel ini akan dibahas mengenai fungsi massa peluang atau probability mass function (pmf) dan fungsi distribusi kumulatif atau cumulative distribution function (cdf) dari distribusi peluang diskrit.

Distribusi peluang diskrit adalah distribusi peluang terjadinya setiap nilai variabel random diskrit. Sedangkan variabel random diskrit artinya adalah variabel random yang memiliki nilai yang dapat dihitung.

Setiap kemungkinan nilai dari fungsi variabel random diskrit selalu memiliki nilai yang tidak sama dengan nol.

Fungsi Massa Peluang

Misalkan \(X\) adalah variabel random diskrit, dimana fungsi peluangnya adalah \(P(X=x)=f(x).\) Fungsi peluang \(f(x)\) berlaku untuk semua nilai \(x\) yang mungkin, yaitu \(x_1,x_2,\cdots,\) sehingga \(P(X=x_i)=f(x_i),\) dimana \(i=1,2,\cdots.\) Untuk nilai selain \(x,\) fungsi peluangnya adalah \(0\). Distribusi peluang diskrit biasa disajikan dalam bentuk tabel.

Fungsi \(f(x)\) disebut sebagai fungsi peluang apabila memenuhi dua syarat berikut.

1. \( f(x)\geq0.\)
2. \(\displaystyle\sum_x f(x)=1,\) untuk semua nilai \(x\) yang mungkin.

Fungsi Distribusi Kumulatif

Fungsi distribusi kumulatif variabel random diskrit \(X\) adalah \(F(x)=P(X \leq x),\) dimana \(-\infty \leq x \leq \infty.\) Fungsi distribusi kumulatif \(F(x)\) memiliki sifat-sifat sebagai berikut.

1. \(F(x_j) \leq F(x_k)\) jika \(x_j \leq x_k,\)
2. \( \displaystyle \lim_{x \to -\infty} F(x)=0\) dan \( \displaystyle \lim_{x \to \infty} F(x)=1,\)
3. \( \displaystyle \lim_{x \to 0^+} F(x+h)=F(x) \), untuk semua \(x.\)

Fungsi distribusi kumulatif \(F(x)\) dapat diperoleh melalui fungsi peluangnya, yaitu \[ F(x)= \begin{cases} 0 & -\infty \leq x < x_1 \\ f(x_1) & x_1 \leq x < x_2 \\ f(x_1) + f(x_2) & x_2 \leq x < x_3 \\ \vdots \\ f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_n) & x_n \leq x \leq \infty \end{cases} \] atau \[ F(x)=P(X \leq x)=\sum_{i=-\infty}^{x} f(i) \]
Contoh

Sebuah uang logam memiliki sisi Gambar \((G)\) dan sisi Angka \((A)\) yang seimbang. Misalkan \(X\) adalah banyaknya sisi \(A\) yang muncul apabila uang logam tersebut dilemparkan sebanyak dua kali. Tentukan fungsi peluang yang sesuai dengan variabel random \(X!\)

Ada empat kemungkinan hasil yang diperoleh dari pelemparan uang logam sebanyak dua kali. Keempat hasil tersebut diajikan dalam ruang sampel \(S = \{GG, GA, AG, AA\}.\) Nilai-nilai variabel random \(X\) berdasarkan ruang sampel tersebut adalah \(0,1\) dan \(2.\)

Titik Sampel	GG	GA	AG	AA
\(x\)	0	1	1	2

Nilai fungsi peluang \(f(x)\) untuk \(x=0,1,2\) adalah \(f(0)=\displaystyle \frac{1}{4},\) \(f(1)=\displaystyle \frac{1}{2}\) dan \(f(2) = \displaystyle \frac{1}{4}.\) Nilai untuk selain \(x\) adalah \(0\). Tabel fungsi distribusi peluangnya adalah sebagai berikut.

\(x\)	0	1	2
\( f(x) \)	\( \frac{1}{4} \)	\( \frac{1}{2} \)	\( \frac{1}{4} \)

Fungsi distribusi peluang juga dapat disajikan seperti berikut ini. \[f(x)= \begin{cases} \frac{1}{4} && x=0 \\ \frac{1}{2} && x=1 \\ \frac{1}{4} && x=2 \\ 0 && \text{lainnya} \end{cases} \] Fungsi distribusi kumulatif adalah sebagai berikut. \[F(x)= \begin{cases} 0 && -\infty \leq x < 0 \\\frac{1}{4} && 0 \leq x < 1 \\ \frac{3}{4} && 1 \leq x < 2 \\ 1 && 2 \leq x < \infty \end{cases} \] Berikut ini adalah beberapa contoh distribusi peluang diskrit yang sering digunakan dalam pemodelan statistik.

1. Distribusi Bernoulli
pmf:
\(f(x)= p^x \left(1-p\right)^{1-x} \qquad x=0,1 \)
cdf:
\(F(x)= \displaystyle \sum_{i=0}^x p^i \left(1-p\right)^{1-i} \qquad x=0,1 \)


2. Distribusi Binomial
pmf:
\(f(x)= \displaystyle \binom{n}{x}p^x \left( 1-p\right)^{n-x} \qquad x=0,1,\cdots,n \)
cdf:
\(F(x)= \displaystyle \sum_{i=0}^x \binom{n}{i}p^i \left( 1-p\right)^{n-i} \qquad x=0,1,\cdots,n \)


3. Distribusi Binomial Negatif
pmf:
\( \displaystyle f(x)=\binom{x-1}{k-1}p^k\left( 1-p\right)^{x-k} \qquad x=k,k+1,k+2,\cdots \)
cdf:
\( \displaystyle f(x)= \sum_{i=k}^x \binom{i-1}{k-1}p^k\left( 1-p\right)^{i-k} \qquad x=k,k+1,k+2,\cdots \)


4. Distribusi Poisson
pmf:
\( \displaystyle f(x) = \frac {e^x \lambda^x}{x!} \qquad x=0,1, \cdots \)
cdf:
\( \displaystyle F(x) = \sum_{i=0}^x \frac {e^i \lambda^i}{i!} \qquad x=0,1, \cdots \)


5. Distribusi Geometrik
pmf:
\(f(x)=p^k{(1-p)}^{x-1} \qquad x=1,2,\cdots \)
cdf:
\(\displaystyle F(x)=\sum_{x=0}^k p{(1-p)}^{x-1} \qquad x=1,2,\cdots \)


6. Distribusi Hipergeometrik
pmf:
\( \displaystyle f(x)= \frac {\binom {k}{x} \binom {N-k}{n-x}}{\binom{N}{n}} \qquad x=1,2, \cdots ,n \)
cdf:
\( \displaystyle F(x)= \sum_{i=0}^{x} \frac {\binom {k}{i} \binom {N-k}{n-i}}{\binom{N}{n}} \qquad x=1,2, \cdots ,n \)


7. Distribusi Seragam Diskrit
pmf:
\( \displaystyle f(x)= \frac {1}{n} \qquad x=1,2, \cdots ,n\)
cdf:
\( \displaystyle F(x)= \frac {x}{n} \qquad x=1,2, \cdots ,n\)