Distribusi sampling adalah distribusi peluang teoritis dari ukuran-ukuran statistik, misalnya adalah rata-rata, varian dan proporsi, termasuk juga distribusi beda dua rata-rata dan beda dua proporsi. Konsep distribusi sampling ini dijadikan sebagai dasar dari statistik inferensial, dimana dengan distribusi sampling dapat diketahui karakteristik populasi (parameter).
Nilai dari parameter populasi bersifat konstan, sedangkan nilai estimasi parameter (estimator) tidak bersifat konstan. Nilai parameter populasi hanya satu yaitu \(\theta,\) sedangkan estimator \(\hat{\theta}\) akan berbeda-beda tergantung pada sampel yang terambil. Dengan demikian, estimator \(\hat{\theta}\) merupakan variabel acak (random) sehingga memiliki distribusi peluang tertentu. Dengan demikian rata-rata, varian dan proporsi memiliki distribusi peluang tertentu.
Distribusi sampling rata-rata adalah distribusi dari rata-rata yang diperoleh dari semua sampel yang mungkin dari suatu populasi, dimana ukuran sampelnya tersebut yang sama besar.
Misalkan suatu populasi memiliki \(N\) elemen dimana rata-ratanya adalah \(\mu\) dan variannya adalah \(\sigma^2.\) Kemudian dari populasi tersebut diambil sampel sebanyak \(n\) elemen.
Jika pengambilan sampel dilakukan dengan pengembalian maka banyaknya kemungkinan kelompok sampel yang dapat terbentuk adalah \(N^n,\) sedangkan jika pengambilan sampel dilakukan tanpa pengembalian maka banyaknya kemungkinan kelompok sampel yang dapat terbentuk adalah \[^NC_n = \frac {N!}{n!(N-n)!}\] Rata-rata kelompok sampel yang diperoleh dari pengambilan dengan pengembalian adalah \(\bar x_1, \bar x_2, \cdots \bar x_{N^n}\) dan variannya adalah \(s_1^2, s_2^2, \cdots, s_{N^n}^2.\) Selanjutnya rata-rata kelompok sampel yang diperoleh dari pengambilan tanpa pengembalian adalah \(\bar x_1, \bar x_2, \cdots \bar x_{^NC_n}\) dan variannya adalah \(s_1^2, s_2^2, \cdots, s_{^NC_n}^2.\)
Kumpulan rata-rata kelompok sampel yang diperoleh dari pengambilan dengan pengembalian ataupun diperoleh dari pengambilan tanpa pengembalian masing-masing akan membentuk distribusi sampling rata-rata sampel, dimana rata-ratanya adalah \(\mu_{\bar x} =\mu.\)
Selanjutnya, varian dari distribusi sampling rata-rata sampel yang diperoleh dari pengambilan dengan pengembalian adalah \[\sigma_{\bar x}^2 = \frac {\sigma^2}{n}\] sedangkan varian dari distribusi sampling rata-rata sampel yang diperoleh dari pengambilan tanpa pengembalian adalah \[\sigma_{\bar x}^2 = \frac {\sigma^2}{n} \frac {N-n}{N-1}\] Jika ukuran \(N\) sangat besar (menuju tak hingga), maka \(({N-n})/({N-1})\) akan menuju 1, sehingga varian dari distribusi sampling rata-rata sampel yang diperoleh dari pengambilan dengan pengembalian dan varian dari distribusi sampling rata-rata sampel yang diperoleh dari pengambilan tanpa pengembalian akan sama, yaitu \[\sigma_{\bar x}^2 = \frac {\sigma^2}{n}\] Dalam prakteknya, distribusi sampling rata-rata berlaku hal-hal sebagai berikut
Dalam distribusi sampling rata-rata berlaku Dalil Limit Pusat, yaitu ketika pengambilan sampel dengan ukuran \(n\) sampel acak sederhana dari suatu populasi yang berasal dari distribusi apapun, maka distribusi rata-rata sampel dapat didekati dengan Distribusi Normal dengan syarat ukuran sampel yang besar, biasanya disepakati ukuran sampel yang besar adalah \((n\geq30).\)
Teorema Limit Pusat menyatakan hal-hal sebagai berikut:
Distribusi sampling proporsi adalah distribusi dari proporsi yang diperoleh dari semua sampel yang mungkin dari suatu populasi, dimana ukuran sampelnya tersebut yang sama besar. Proporsi populasi dilambangkan dengan \(p\) dimana \(\displaystyle p=\frac{X}{N}\) dan proporsi sampel dilambangkan dengan \(\hat{p}\) dimana \(\displaystyle \hat{p}=\frac{X}{n}.\)
Pada distribusi sampling proporsi berlaku hal-hal sebagai berikut
Nilai dari parameter populasi bersifat konstan, sedangkan nilai estimasi parameter (estimator) tidak bersifat konstan. Nilai parameter populasi hanya satu yaitu \(\theta,\) sedangkan estimator \(\hat{\theta}\) akan berbeda-beda tergantung pada sampel yang terambil. Dengan demikian, estimator \(\hat{\theta}\) merupakan variabel acak (random) sehingga memiliki distribusi peluang tertentu. Dengan demikian rata-rata, varian dan proporsi memiliki distribusi peluang tertentu.
Distribusi Sampling Rata-rata
Distribusi sampling rata-rata adalah distribusi dari rata-rata yang diperoleh dari semua sampel yang mungkin dari suatu populasi, dimana ukuran sampelnya tersebut yang sama besar.
Misalkan suatu populasi memiliki \(N\) elemen dimana rata-ratanya adalah \(\mu\) dan variannya adalah \(\sigma^2.\) Kemudian dari populasi tersebut diambil sampel sebanyak \(n\) elemen.
Jika pengambilan sampel dilakukan dengan pengembalian maka banyaknya kemungkinan kelompok sampel yang dapat terbentuk adalah \(N^n,\) sedangkan jika pengambilan sampel dilakukan tanpa pengembalian maka banyaknya kemungkinan kelompok sampel yang dapat terbentuk adalah \[^NC_n = \frac {N!}{n!(N-n)!}\] Rata-rata kelompok sampel yang diperoleh dari pengambilan dengan pengembalian adalah \(\bar x_1, \bar x_2, \cdots \bar x_{N^n}\) dan variannya adalah \(s_1^2, s_2^2, \cdots, s_{N^n}^2.\) Selanjutnya rata-rata kelompok sampel yang diperoleh dari pengambilan tanpa pengembalian adalah \(\bar x_1, \bar x_2, \cdots \bar x_{^NC_n}\) dan variannya adalah \(s_1^2, s_2^2, \cdots, s_{^NC_n}^2.\)
Kumpulan rata-rata kelompok sampel yang diperoleh dari pengambilan dengan pengembalian ataupun diperoleh dari pengambilan tanpa pengembalian masing-masing akan membentuk distribusi sampling rata-rata sampel, dimana rata-ratanya adalah \(\mu_{\bar x} =\mu.\)
Selanjutnya, varian dari distribusi sampling rata-rata sampel yang diperoleh dari pengambilan dengan pengembalian adalah \[\sigma_{\bar x}^2 = \frac {\sigma^2}{n}\] sedangkan varian dari distribusi sampling rata-rata sampel yang diperoleh dari pengambilan tanpa pengembalian adalah \[\sigma_{\bar x}^2 = \frac {\sigma^2}{n} \frac {N-n}{N-1}\] Jika ukuran \(N\) sangat besar (menuju tak hingga), maka \(({N-n})/({N-1})\) akan menuju 1, sehingga varian dari distribusi sampling rata-rata sampel yang diperoleh dari pengambilan dengan pengembalian dan varian dari distribusi sampling rata-rata sampel yang diperoleh dari pengambilan tanpa pengembalian akan sama, yaitu \[\sigma_{\bar x}^2 = \frac {\sigma^2}{n}\] Dalam prakteknya, distribusi sampling rata-rata berlaku hal-hal sebagai berikut
- jika \(\displaystyle \frac{n}{N}\leq 5\%\) atau populasinya tak berhingga maka digunakan \[\sigma_{\bar x}^2 = \frac {\sigma^2}{n},\]
- sedangkan jika \(\displaystyle \displaystyle \frac{n}{N}>5\%\) atau populasinya berhingga maka digunakan \[\sigma_{\bar x}^2 = \frac {\sigma^2}{n} \frac {N-n}{N-1}.\]
Dalam distribusi sampling rata-rata berlaku Dalil Limit Pusat, yaitu ketika pengambilan sampel dengan ukuran \(n\) sampel acak sederhana dari suatu populasi yang berasal dari distribusi apapun, maka distribusi rata-rata sampel dapat didekati dengan Distribusi Normal dengan syarat ukuran sampel yang besar, biasanya disepakati ukuran sampel yang besar adalah \((n\geq30).\)
Teorema Limit Pusat menyatakan hal-hal sebagai berikut:
- Jika populasi cukup besar dan berdistribusi normal maka distribusi samplingnya juga akan berdistribusi normal.
- Jika populasi tidak berdistribusi normal maka distribusi sampling rata-ratanya akan mendekati normal jika ukuran sampel cukup besar, biasanya 30 atau lebih \((n\geq30).\)
- Distribusi normal dari rata-rata sampel memiliki rata-rata yang sama dengan rata-rata populasi \((\mu_{\bar x}=\mu)\) dan varian \(\sigma_{\bar x}^2=\displaystyle\frac {\sigma^2}{n}.\) \
Distribusi Sampling Proporsi
Distribusi sampling proporsi adalah distribusi dari proporsi yang diperoleh dari semua sampel yang mungkin dari suatu populasi, dimana ukuran sampelnya tersebut yang sama besar. Proporsi populasi dilambangkan dengan \(p\) dimana \(\displaystyle p=\frac{X}{N}\) dan proporsi sampel dilambangkan dengan \(\hat{p}\) dimana \(\displaystyle \hat{p}=\frac{X}{n}.\)
Pada distribusi sampling proporsi berlaku hal-hal sebagai berikut
- jika \(\displaystyle \frac{n}{N}\leq 5\%\) atau populasinya tak berhingga maka \[\sigma_{\hat{p}}^2 = \frac {p(1-p)}{n},\]
- sedangkan jika \(\displaystyle \displaystyle \frac{n}{N}>5\%\) atau populasinya berhingga maka digunakan \[\sigma_{\hat{p}}^2 = \frac {p(1-p)}{n} \frac {N-n}{N-1}.\]