Analisis faktor digunakan untuk mengetahui faktor-faktor yang dominan dalam menjelaskan suatu masalah. Analisis ini dapat dipandang sebagai perluasan Analisis Komponen Utama (Principal Component Analysis) yang pada dasarnya bertujuan untuk mendapatkan sejumlah kecil faktor yang memiliki sifat-sifat sebagai berikut:
dimana:
μ = rata-rata dari variabel ke-i
εi = faktor spesifik (specific factors) ke-i.
λi = loading untuk variabel ke-i pada faktor ke-j.
Fj = common factors ke-j
i = 1, 2, … , p dan j = 1, 2, …, q
Dalam notasi matriks dapat dituliskan sebagai berikut:
Adapun struktur kovarian untuk model adalah:
Model (X - μ) = LF + ε adalah linier dalam faktor bersama. Bagian dari Var(Xi) yang dapat diterangkan oleh faktor bersama disebut communality ke-i. Sedangkan bagian dari Var(Xi) karena faktor spesifik disebut varian spesifik ke-i.
dimana:
hi2 = communality
ψi = varian spesifik ke-i
Faktor-faktor yang diperoleh melalui metode komponen utama pada umumnya masih sulit diinterpretasikan secara langsung. Untuk itu dilakukan manipulasi dengan cara merotasi loading L dengan menggunakan metode Rotasi Tegak Lurus Varimax (Varimax Orthogonal Rotation) sesuai dengan saran beberapa ahli, karena rotasi tegak lurus varimax lebih mendekati kenyataan dibanding yang lain. Rotasi varimax adalah rotasi yang memaksimalkan faktor pembobot, dan mengakibatkan korelasi variabel-variabel dengan suatu faktor mendekati satu, serta korelasi dengan faktor lainnya mendekati nol, sehingga mudah diinterpretasikan.
Dari rotasi tersebut menghasilkan matriks loading baru L*, yaitu L*(pxq) = L(pxq) . T(qxq), dimana T adalah matriks transformasi yang dipilih sehingga T'T = TT' = I. Matriks transformasi T ditentukan sedemikian serupa hingga total keragaman kuadrat loading L, yaitu:
menjadi maksimum, dimana V = Σ merupakan keragaman dari kuadrat loading untuk faktor ke-j dan hi2 = λi12 + λi22 + ⋯ + λiq2 (communality, yaitu jumlah varians dari suatu variable ke-i yang dapat dijelaskan oleh sejumlah m common factors).
Dari perumusan di atas, rotasi merupakan suatu upaya untuk menghasilkan faktor penimbang baru yang lebih mudah diinterpretasikan yaitu dengan mengalikan faktor penimbang awal dengan matriks transformasi yang bersifat orthogonal, sehingga matriks korelasinya tidak akan berubah. Dari merotasi matriks loading tadi menyebabkan setiap variabel asal mempunyai korelasi yang tinggi dan faktor tertentu saja, sedangkan dengan faktor lain mempunyai korelasi relatif rendah sehingga pada akhirnya setiap faktor akan lebih mudah diinterpretasikan.
- Mampu menerangkan semaksimal mungkin keragaman data.
- Faktor-faktor tersebut saling bebas.
- Tiap-tiap faktor dapat diinterpretasikan.
dimana:
μ = rata-rata dari variabel ke-i
εi = faktor spesifik (specific factors) ke-i.
λi = loading untuk variabel ke-i pada faktor ke-j.
Fj = common factors ke-j
i = 1, 2, … , p dan j = 1, 2, …, q
Dalam notasi matriks dapat dituliskan sebagai berikut:
X(p×1) - μ(p×1) = L(p×q)F(q×1) + ε(p×1)
Adapun struktur kovarian untuk model adalah:
- Cov(X) = LL' + ψ
Var(Xi) = li12 + li22 + ⋯ + lim2
Cov(Xi,Yj) = li12lj12 + li22lj22 + ⋯ + lim2ljm2
- Cov(X,F) = L
Cov(Xi,Yj) = lim
Model (X - μ) = LF + ε adalah linier dalam faktor bersama. Bagian dari Var(Xi) yang dapat diterangkan oleh faktor bersama disebut communality ke-i. Sedangkan bagian dari Var(Xi) karena faktor spesifik disebut varian spesifik ke-i.
dimana:
hi2 = communality
ψi = varian spesifik ke-i
Faktor-faktor yang diperoleh melalui metode komponen utama pada umumnya masih sulit diinterpretasikan secara langsung. Untuk itu dilakukan manipulasi dengan cara merotasi loading L dengan menggunakan metode Rotasi Tegak Lurus Varimax (Varimax Orthogonal Rotation) sesuai dengan saran beberapa ahli, karena rotasi tegak lurus varimax lebih mendekati kenyataan dibanding yang lain. Rotasi varimax adalah rotasi yang memaksimalkan faktor pembobot, dan mengakibatkan korelasi variabel-variabel dengan suatu faktor mendekati satu, serta korelasi dengan faktor lainnya mendekati nol, sehingga mudah diinterpretasikan.
Dari rotasi tersebut menghasilkan matriks loading baru L*, yaitu L*(pxq) = L(pxq) . T(qxq), dimana T adalah matriks transformasi yang dipilih sehingga T'T = TT' = I. Matriks transformasi T ditentukan sedemikian serupa hingga total keragaman kuadrat loading L, yaitu:
Dari perumusan di atas, rotasi merupakan suatu upaya untuk menghasilkan faktor penimbang baru yang lebih mudah diinterpretasikan yaitu dengan mengalikan faktor penimbang awal dengan matriks transformasi yang bersifat orthogonal, sehingga matriks korelasinya tidak akan berubah. Dari merotasi matriks loading tadi menyebabkan setiap variabel asal mempunyai korelasi yang tinggi dan faktor tertentu saja, sedangkan dengan faktor lain mempunyai korelasi relatif rendah sehingga pada akhirnya setiap faktor akan lebih mudah diinterpretasikan.