Uji Hipotesis Rata-rata Satu Populasi, Varian Diketahui (Uji Z)

1. Hipotesis:

    1. dua arah
          Ho : µ = µo
          H1 : µµo
    2. satu arah
          Ho : µ = µo
          H1 : µ > µ
          atau
          Ho : µ = µo
          H1 : µ < µo
    2. Penghitungan (Uji Statistik):


    3. Daerah kritis:
    1. dua arah : zα/2 (lihat tabel z)
    2. satu arah : zα (lihat tabel z)
    4. Keputusan:
    1. dua arah : tolak Ho jika z > zα/2 atau z < - zα/2
    2. satu arah
      untuk H1 : µ > µo, tolak Ho jika z > zα
      untuk H1 : µ < µo, tolak Ho jika z < zα
    Keterangan:
    µ = rata-rata populasi
    µo = rata-rata uji
     = rata-rata sampel
    σ = standar deviasi (simpangan baku) populasi
    n = jumlah sampel
    α = tingkat signifikansi

    Varian dan Standar Deviasi (Simpangan Baku)

    Varian dan standar deviasi (simpangan baku) adalah ukuran-ukuran keragaman (variasi) data statistik yang paling sering digunakan. Standar deviasi (simpangan baku) merupakan akar kuadrat dari varian.
    Oleh karena itu, jika salah satu nilai dari kedua ukuran tersebut diketahui maka akan diketahui juga nilai ukuran yang lain.

    Penghitungan

    Dasar penghitungan varian dan standar deviasi adalah keinginan untuk mengetahui keragaman suatu kelompok data. Salah satu cara untuk mengetahui keragaman dari suatu kelompok data adalah dengan mengurangi setiap nilai data dengan rata-rata kelompok data tersebut, selanjutnya semua hasilnya dijumlahkan.

    Namun cara seperti itu tidak bisa digunakan karena hasilnya akan selalu menjadi 0.

    Oleh karena itu, solusi agar nilainya tidak menjadi 0 adalah dengan mengkuadratkan setiap pengurangan nilai data dan rata-rata kelompok data tersebut, selanjutnya dilakukan penjumlahan. Hasil penjumlahan kuadrat (sum of squares) tersebut akan selalu bernilai positif.

    Nilai varian diperoleh dari pembagian hasil penjumlahan kuadrat (sum of squares) dengan ukuran data (n).

    Namun begitu, dalam penerapannya, nilai varian tersebut bias untuk menduga varian populasi. Dengan menggunakan rumus tersebut, nilai varian populasi lebih besar dari varian sampel.

    Oleh karena itu, agar tidak bias dalam menduga varian populasi, maka n sebagai pembagi penjumlahan kuadrat (sum of squares) diganti dengan n-1 (derajat bebas) agar nilai varian sampel mendekati varian populasi. Oleh karena itu rumus varian sampel menjadi : 

    Nilai varian yang dihasilkan merupakan nilai yang berbentuk kuadrat. Misalkan satuan nilai rata-rata adalah gram, maka nilai varian adalah gram kuadrat. Untuk menyeragamkan nilai satuannya maka varian diakarkuadratkan sehingga hasilnya adalah standar deviasi (simpangan baku).

    Untuk mempermudah penghitungan, rumus varian dan standar deviasi (simpangan baku) tersebut bisa diturunkan :

    Rumus varian :

    Rumus standar deviasi (simpangan baku) :

    Contoh Penghitungan

    Misalkan dalam suatu kelas, tinggi badan beberapa orang siswa yang dijadikan sampel adalah sebagai berikut. 

    172, 167, 180, 170, 169, 160, 175, 165, 173, 170

    Dari data tersebut diketahui bahwa jumlah data (n) = 10, dan (n - 1) = 9. Selanjutnya dapat dihitung komponen untuk rumus varian.
     Dari tabel tersebut dapat ketahui:
     
    Dengan demikian, jika dimasukkan ke dalam rumus varian, maka hasilnya adalah sebagai berikut.


    Dari penghitungan, diperoleh nilai varian sama dengan 30,32.

    Dari nilai tersebut bisa langsung diperoleh nilai standar deviasi (simpangan baku) dengan cara mengakarkuadratkan nilai varian.

    Keterangan:
    s2 = varian
    s = standar deviasi (simpangan baku)
    xi = nilai x ke-i
    = rata-rata
    n = ukuran sampel

    Hasil tersebut bisa dibuktikan dengan menggunakan Microsoft Excel. Untuk varian bisa dilihat di halaman Menghitung Varian Sampel dengan Microsoft Excel, sedangkan untuk standar deviasi bisa dilihat di Menghitung Standar Deviasi (Simpangan Baku) Sampel dengan Microsoft Excel.

    Rata-rata Hitung (Mean)

    Rata-rata atau Mean merupakan ukuran statistik kecenderungan terpusat yang paling sering digunakan. Rata-rata ada beberapa macam, yaitu rata-rata hitung (aritmatik), rata-rata geometrik, rata-rata harmonik dan lain-lain. Tetapi jika hanya disebut dengan kata "rata-rata" saja, maka rata-rata yang dimaksud adalah rata-rata hitung (aritmatik).

    Penghitungan

    Penghitungan rata-rata dilakukan dengan menjumlahkan seluruh nilai data suatu kelompok sampel, kemudian dibagi dengan jumlah sampel tersebut. Jadi jika suatu kelompok sampel acak dengan jumlah sampel n, maka bisa dihitung rata-rata dari sampel tersebut dengan rumus sebagai berikut.


    Jika dinotasikan dengan notasi sigma, maka rumus di atas menjadi:

    Keterangan:
     = rata-rata hitung
    xi = nilai sampel ke-i
    n = jumlah sampel

    Contoh Penghitungan

    Misalkan kita ingin mengetahui rata-rata tinggi badan siswa di suatu kelas. Kita bisa mengambil sampel misalnya sebanyak 10 siswa dan kemudian diukur tinggi badannya. Dari hasil pengukuran diperoleh data tinggi badan kesepuluh siswa tersebut dalam ukuran sentimeter (cm) sebagai berikut.

    172, 167, 180, 170, 169, 160, 175, 165, 173, 170

    Dari data di atas dapat dihitung rata-rata dengan menggunakan rumus rata-rata :

    sehingga

    Dari hasil penghitungan, bisa diambil kesimpulan bahwa rata-rata tinggi badan siswa di kelas tersebut adalah 170,1 cm.

    Hasil tersebut bisa dibuktikan dengan menggunakan Microsoft Excel di halaman Menghitung Rata Dengan Microsoft Excel

    Perubahan Jumlah Penduduk

    Perubahan jumlah penduduk di suatu wilayah disebabkan oleh 3 komponen, yaitu fertilitas(kelahiran), mortalitas (kematian) dan migrasi (perpindahan penduduk).

    Pt = Po + (B – D) + (I – E)

    Keterangan:
    Pt = penduduk pada tahun t (penduduk yang akan dihitung jumlahnya)
    Pt = jumlah penduduk pada tahun dasar
    B = jumlah kelahiran
    D = jumlah kematian
    I = jumlah migrasi masuk
    E = jumlah migrasi keluar

    Rentang (Range)

    Dalam sekelompok data kuantitatif akan terdapat data dengan nilai terbesar dan data dengan nilai terkecil. Rentang (range) atau disebut juga dengan jangkauan adalah selisih antara data dengan nilai yang terbesar dengan data denga nilai yang terkecil tersebut.

    R = xb – xk

    R = Rentang
    xb = nilai data tang terbesar
    xk = nilai data tang terkecil

    Distribusi Beta

    Distribusi beta digunakan sebagai penaksiran kasar dari suatu missing data distribusi dari suatu proporsi.

    Fungsi Padat Peluang


    dimana a > 0 dan b > 0
    dan fungsi beta adalah


    Mean
    E(X) = a (b + a)-1

    Varian
    Var(X) = ab (a + b + 1)-1 (ba)-2

    Fungsi Pembangkit Momen


    Fungsi Karakteristik


    Distribusi Weibull

    Distribusi Weibull biasanya digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah yang menyangkut lama waktu (umur) suatu objek yang mampu bertahan hingga akhirnya objek tersebut tidak berfungsi sebagaimana mestinya (rusak atau mati).

    Distribusi Weibull memilik parameter α dan β, dimana α dan β lebih besar dari 0. Bentuk distribusinya adalah sebagai berikut.





    Rataan dan varian:







    Distribusi Khi-Kuadrat (Chi Square)

    Jika parameter α pada distribusi gamma adalah v/2, dan β sama dengan 2, dimana v adalah bilangan bulat positif, maka distribusi gamma tersebut akan menjadi distribusi khi-kuadrat. Distribusi khi-kuadrat ini memiliki parameter tunggal yaitu v, atau disebut juga dengan derajat kebebasan.






    Rataam dan varian:
    µ = v
    σ2 = 2v

    Rasio Beban Tanggungan (Dependency Ratio)

    Rasio beban tanggungan atau disebut juga rasio tanggungan keluarga adalah perbandingan antara jumlah penduduk usia tidak produktif (penduduk usia muda dan penduduk usia lanjut) dengan jumlah penduduk usia produktif.





    P0-14 = Penduduk usia muda (0-14 tahun)
    P65+ = Penduduk usia lanjut (65 tahun ke atas)
    P15-64 = Penduduk usia produktif (15-64 tahun)

    Distribusi Eksponensial

    Distribusi eksponensial diterapkan dalam teori relibilitas (waktu tahan), waktu tunggu, masalah antrian.

    Fungsi Padat Peluang



    Mean
    E(X) = θ-1

    Varian
    Var(X) = θ-2

    Fungsi Pembangkit Momen
    Mx(t) = θ (θ – t)-1

    Fungsi Karakteristik
    Cx(t) = θ (θ – it)-1

    Fungsi Pembangkit Peluang
    Gx(t) = θ (θ – ln t)-1

    Distribusi Gamma

    Distribusi gamma diaplikasikan dalam lamanya waktu untuk menyelesaikan pekerjaan. Distribusi gamma sering diterapkan dalam teori antrian dan teori reabiliti.

    Fungsi Padat Peluang






    dimana α > 0 dan β > 0

    Mean
    E(X) = αβ

    Varian
    Var(X) = αβ2

    Fungsi Pembangkit Momen
    Mx(t) = (1 – βt)-α

    Fungsi Karakteristik
    Cx(t) = (1 – βit)-α

    Fungsi Pembangkit Peluang
    Gx(t) = (1 – β ln t)-α

    Rasio Anak Wanita (Child Woman Ratio)

    Rasio Anak Wanita adalah perbandingan jumlah anak laki-laki dan perempuan berumur 0-4 tahun dengan jumlah wanita usia reproduksi (15-49 tahun).





    C0-4 = jumlah anak laki-laki dan perempuan berumur 0-4 tahun
    W15-49 = jumlah wanita usia reproduksi (15-49 tahun)

    Hampiran Normal Terhadap Binomial

    Peluang distribusi binomial b(x;n,p) bisa dihitung jika n kecil. Namun bila n besar atau mendekati tidak terhingga (∞), maka peluang distribusi binomial bisa dihampiri dengan distribusi normal.

    Jika X adalah peubah acak binomial dengan rataan µ = np dan variansi σ2 = npq maka hampiran normal terhadap binomial adalah sebagai berikut.





    Jika n mendekati tak berhingga (∞), maka terbentuk distribusi normal baku n(z;0,1).

    Rasio Jenis Kelamin (Sex Ratio)

    Rasio Jenis Kelamin (Sex Ratio) adalah perbandingan antara jumlah penduduk laki-laki dan jumlah penduduk perempuan di suatu daerah atau negara pada suatu waktu tertentu.





    Keterangan:
    SR = Sex Ratio (Rasio Jenis Kelamin)
    Pl = Jumlah Penduduk Laki-laki
    Pp = Jumlah Penduduk Perempuan

    Jika diperoleh rasio jenis kelamin sama dengan 102, maka bisa dikatakan bahwa dalam 100 penduduk perempuan terdapat 102 penduduk laki-laki.

    Distribusi Normal Baku (Normal Standar)

    Distribusi normal baku (standar) adalah distribusi peubah acak dengan rata-rata 0 dan varian 1. Peubah acak normal baku dilambangkan dengan Z yang merupakan hasil transformasi dari peubah acak X yang berdistribusi normal. Bentuk transformasi peubah acak tersebut adalah sebagai berikut.

    Oleh karena itu fungsi :

    Perbandingan distribusi normal peubah acak x dan dengan distribusi normal standar z:



    Nilai probabilitas dari P(Z < z) telah dihitung dan ditabelkan dalam tabel z distribusi normal.

    Luas di Bawah Kurva Normal

    Luas di bawah kurva distribusi normal dapat dihitung dengan rumus peluang sebagai berikut.
    Keterangan:
    x = peubah acak kontinu
    µ = rata-rata
    σ = standar deviasi
    π = 3,14258
    e = 2.71828183

    Penghitungan peluang di atas sangat menyulitkan. Oleh karena itu, distribusi normal dengan rata-rata µ dan varian σ2 biasanya ditransformasi ke distribusi normal standar dengan rata-rata 0 dan varian 1. luas di bawah kurva berdistribusi normal standar sudah ditabelkan yang biasanya disebut dengan tabel normal.

    Distribusi Normal

    Peubah acak pada distribusi normal merupakan peubah acak yang kontinu, dimana distribusinya tersebut berbentuk lonceng. Distribusi normal disebut juga dengan Distribusi Gauss. Fungsi kepadatan peluang distribusi normal adalah sebagai berikut:
    -∞ ≤ x ≤ ∞
    -∞ ≤ µ ≤ ∞
    σ2 > 0
    Keterangan:
    x = peubah acak kontinu
    µ = rata-rata
    σ2 = varian
    π = 3,14258
    e = 271828

    Tanya

    Nama

    Email *

    Pesan *